Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
본문 바로가기
대수학(Abstract Algebra)/군론

부분군(Subgroup)

by Gosamy 2024. 2. 23.
반응형

 

집합에는 부분집합이 있고 벡터공간부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다.


1. 부분군

1) 정의

 

정의(A.A) 2-9) 부분군(Subgroups)
군 G 의 부분집합 H 가 G 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, H 를 G 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 HG 라 표기한다.
HG 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, {1} 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다.

 

여기서 부등호 기호로 사용된 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 로 쓰고, 숫자 간의 단순 대소 관계를 나타낼 때는 를 쓰는 편입니다만 정해진 것은 아니고 그냥 취향 차이입니다.

 

 

 

2) 부분군 시험법

 

부분군이 되기 위한 조건을 찾아봅시다.

 

정리(A.A) 2.13) 부분군 시험법(Subgroup test)
G 에 대하여 HG 가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 것이다.
① 항등원의 존재와 상등 : 1G=1HH
② 닫혀 있음[각주:1] : 만일 h1H 이고 h2H 이면, h1h2H 이다.
③ 역원의 존재와 상등 : 만일 hH 이면 h1H 이다.
이 경우, HG 이고 G 의 항등원은 H 의 그것과 같으며,[각주:2] gG,H 의 역원 g1 역시 동일하다. 즉 모든 hH 에 대하여 h1H 이 존재한다.

증명) : HG 가 위의 세 조건을 모두 만족한다고 하자. ② 에 의하면 H 는 주어진 연산에 대하여 닫혀있는 것이고, ① 은 항등원이 존재함을 뜻하며, ③ 은 역원의 존재를 함의한다. 그리고 H 는 군 G 의 부분집합임으로 결합법칙을 만족한다.

: H 가 부분군이라고 하자. HG 의 부분군이니, 그 자체로 H 에 포함된 임의의 두 원소에 대해 주어진 G 의 연산에 대해서는 닫혀 있다. 다음으로 항등원을 e 라 하자. 그러면 e2=ee=e=e1G 이고, 좌측 소거법을 사용하면 1G=e=1H 이다. 또한 만일 hH 일 때 h 의 역원 중 H 에 포함된 것을 a라 하고, G 에 포함된 것을 b 라 하자. 그러면 bh=1G=1H=ah 가 된다. 따라서 bh=ah 에서 우측 소거법을 사용하면 b=ah1 은 유일하며 G,H 에 모두 포함되는 원소이다.

 

 

반면, H 가 공집합이 아닌 유한집합인 경우에는 닫힘성만 확인해도 충분합니다.

 

정리(A.A) 2.14) 유한 부분군 시험법(Finite Subgroup test)
G 에 대하여 HG 가 공집합이 아닌 유한집합인 부분집합(finite nonempty subset)이면, H가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 H 가 주어진 G 의 연산에 대해 닫혀있는 것이다.

증명) : 자명하다. 부분군이니 닫혀있다.

: H 가 닫혀 있으면, 어떤 hH 에 대하여 h2,h3, 역시 모두 H 에 포함되어야 한다. 그런데 H 는 유한집합이므로 이들은 모두 서로 다를 수는 없다. 따라서 hn=hn+m 이 되는 n1,m1 이 존재한다. 이는 곧 소거법을 사용하면 hm=1 임을 뜻한다.[각주:3] 따라서 자연스럽게 1H=hmH 이다. 또한 1=hm=hhm1=hm1h 으로부터,[각주:4] 역원의 정의를 고려하면 h1=hm1 임을 알 수 있다. 따라서 임의의 hH 에 대하여 H 가 공집합이 아닌 유한집합이면, 닫혀있기만 하더라도 역원, 항등원이 존재하므로 HG 이다.

 

 

이 증명으로부터 알 수 있는 것이 있는데, 사실 어떤 군 G 가 유한집합인 경우에는 반드시 gn=1 이 되는 어떤 자연수 n 이 존재해야 합니다. 증명 방식이 위 증명과 똑같습니다. 군은 닫혀 있어야 하므로 어떤 gG 가 존재하면 자기 자신을 곱해서 g2 역시 G 에 포함되어야 하고, 그럼 다시 이 g2 에 대해 g 와의 곱인 g3, 그리고 자기 자신과의 곱 g4, 이렇게 계속해서 전부 다 G 에 포함되어 있어야만 한다는 결과를 얻고 그런데 G 가 유한집합이면 어디선가 멈춰 다시 1 로 돌아와야 겠지요.


예제 1) n0nZ 에 대하여 nZ;{nkkZ} 라 하자. nZZ 임을 보여라.

 

 

Sol) 자연스럽게 군으로 Z 가 주어지면 연산은 덧셈이다.[각주:5]

 

i) 항등원의 존재 : 1Z=0 이다. 이때 1Z=0=n0=1nZnZ 이 성립한다. 즉 k=0 으로 택하면 된다.

 

ii) 닫힘성 : a,bnZ 를 생각하자. a=nk,b=mk(k,mZ) 라 적을 수 있다. 그러면 a+b=n(k+m)nZ 가 성립하므로 덧셈에 대해 닫혀있다.

 

iii) 역원 : anZ 라 하자. 그러면 a=nk=n(k) 이고 kZ 가 성립하므로 anZ 이며, a+(a)=0=1nZ 이므로 역원 또한 anZ 로 포함되어 있다. 따라서 부분군 시험법에 의해 nZZ 이다.


예제 2) 클레인 군(Klein group) K4={1,a,b,c} 을 생각하자. 이는 위수가 4 인 군의 두 종류 중 하나이다.[각주:6] 이때 a2=b2=c2=1 을 만족하고, ab=c,bc=a,ca=b 가 성립한다. K4 의 모든 부분군을 구하여라.

 

 

Sol) 부분군을 찾을 때는 자기 자신 K4 와 자명 부분군 {1} 을 먼저 우선적으로 고려하고 나머지를 판단한다. 제시된 군이 유한군이기 때문에, HK4 역시 유한군이다. 따라서 유한군 시험법을 사용하여 H 가 주어진 연산(곱셈)에 대해 닫혀있기만 하면 유한군이 된다는 사실을 이용하자. 이들은 오직 {1,a},{1,b},{1,c} 뿐이다. 원소의 개수가 3개가 되는 순간, 예컨대 {1,a,b} 의 경우 ab=c{1,a} 이므로 부분군이 아니다.


예제 4) G 가 군일 때 HG 라 하자. HG 일 필요충분조건은 임의의 a,bH 일 때 ab1H 것이다. 이를 증명하여라.

 

 

Sol) : HG 라 하자. 그러면 1G=1H 로 항등원이 존재하고, 임의의 a,bH 일 때 abH 이며, a1H 이고 b1H 가 성립한다. H 가 주어진 연산에 의해 닫혀있고 aH 이며 b1H 이기에, ab1H 가 성립한다.

 

: 임의의 a,bH 에 대하여 ab1H 라 가정하자. b=a 로 택하면 aa1=eH 로 항등원이 존재한다. 그러면 a=e 로 택했을 때 eb1=bH 가 되어 bH 또한 성립하기에, abH 또한 성립한다. 마지막으로 eH 가 성립하므로, b=a 로 택하면 eb1=ea1=a1H 가 되어 역원 또한 존재한다. 따라서 부분군 시험법에 의해 HG 이다.

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

 

  1. 여기서는 연산을 곱셈처럼 쓰기는 하지만, 사실 주어진 군에 대한 연산이면 곱셈이 아니더라도 그 연산을 따르면 됩니다. 하지만 일반적인 연산 표현을 할 때는 대표적으로 곱셈 형식을 사용하는 편입니다. [본문으로]
  2. 1G=1H 여야 합니다. 항등원은 유일하고 HG 의 부분집합이기 때문이죠. [본문으로]
  3. 그래서 사실 순환군(cyclic group) 입니다. 순환군은 더 뒤에서 등장할 것입니다. [본문으로]
  4. 여기서 교환법칙을 막 써도 되나? 라고 생각할 수 있으나, 원래 자기 자신의 거듭제곱에 대해서는 당연히 교환법칙이 성공합니다. 사실상 일반화된 결합법칙의 일종입니다. [본문으로]
  5. 정수집합은 뺄셈, 나눗셈, 곱셈에 대해서 군을 이루지 못하기 때문. 뺄셈에 대해서는 결합법칙을 만족하지 않고, 나눗셈에서는 닫혀 있지 않으며, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. [본문으로]
  6. 나머지 하나는 순환군 C4 이다. [본문으로]

댓글