부분군(Subgroup)

 

집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다.

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1. 부분군

1) 정의

 

정의($A.A$) 2-9) 부분군(Subgroups)
군 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 $G$ 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, $H$ 를 $G$ 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 $H\leqslant G$ 라 표기한다.
$H\neq G$ 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, $\left\{ 1 \right\}$ 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다.

 

여기서 부등호 기호로 사용된 $\leqslant$ 는 $\leq$ 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 $\leqslant$ 로 쓰고, 숫자 간의 단순 대소 관계를 나타낼 때는 $\leq$ 를 쓰는 편입니다만 정해진 것은 아니고 그냥 취향 차이입니다.

 

 

 

2) 부분군 시험법

 

부분군이 되기 위한 조건을 찾아봅시다.

 

정리($A.A$) 2.13) 부분군 시험법(Subgroup test)
군 $G$ 에 대하여 $H\subseteq G$ 가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 것이다.
① 항등원의 존재와 상등 : $1_G=1_H\in H$
② 닫혀 있음^[각주:1] : 만일 $h_1\in H$ 이고 $h_2\in H$ 이면, $h_1h_2\in H$ 이다.
③ 역원의 존재와 상등 : 만일 $h\in H$ 이면 $h^{-1}\in H$ 이다.
이 경우, $H\leqslant G$ 이고 $G$ 의 항등원은 $H$ 의 그것과 같으며,^[각주:2] $g\in G,H$ 의 역원 $g^{-1}$ 역시 동일하다. 즉 모든 $h\in H$ 에 대하여 $h^{-1} \in H $ 이 존재한다.

증명) $\Longleftarrow$ : $H\subseteq G$ 가 위의 세 조건을 모두 만족한다고 하자. ② 에 의하면 $H$ 는 주어진 연산에 대하여 닫혀있는 것이고, ① 은 항등원이 존재함을 뜻하며, ③ 은 역원의 존재를 함의한다. 그리고 $H$ 는 군 $G$ 의 부분집합임으로 결합법칙을 만족한다.

$\Longrightarrow$ : $H$ 가 부분군이라고 하자. $H$ 는 $G$ 의 부분군이니, 그 자체로 $H$ 에 포함된 임의의 두 원소에 대해 주어진 $G$ 의 연산에 대해서는 닫혀 있다. 다음으로 항등원을 $e$ 라 하자. 그러면 $e^2=e\cdot e=e=e\cdot 1_G$ 이고, 좌측 소거법을 사용하면 $1_G=e=1_H$ 이다. 또한 만일 $h\in H$ 일 때 $h$ 의 역원 중 $H$ 에 포함된 것을 $a$라 하고, $G$ 에 포함된 것을 $b$ 라 하자. 그러면 $bh=1_G=1_H=ah$ 가 된다. 따라서 $bh=ah$ 에서 우측 소거법을 사용하면 $b=a$ 로 $h^{-1}$ 은 유일하며 $G,H$ 에 모두 포함되는 원소이다. $_\blacksquare$

 

 

반면, $H$ 가 공집합이 아닌 유한집합인 경우에는 닫힘성만 확인해도 충분합니다.

 

정리($A.A$) 2.14) 유한 부분군 시험법(Finite Subgroup test)
군 $G$ 에 대하여 $H\subseteq G$ 가 공집합이 아닌 유한집합인 부분집합(finite nonempty subset)이면, $H$가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 $H$ 가 주어진 $G$ 의 연산에 대해 닫혀있는 것이다.

증명) $\Longrightarrow$ : 자명하다. 부분군이니 닫혀있다.

$\Longleftarrow$ : $H$ 가 닫혀 있으면, 어떤 $h\in H$ 에 대하여 $h^2, h^3, \cdots $ 역시 모두 $H$ 에 포함되어야 한다. 그런데 $H$ 는 유한집합이므로 이들은 모두 서로 다를 수는 없다. 따라서 $h^n=h^{n+m}$ 이 되는 $n\ge 1, m\ge 1$ 이 존재한다. 이는 곧 소거법을 사용하면 $h^m=1$ 임을 뜻한다.^[각주:3] 따라서 자연스럽게 $1_H=h^m \in H$ 이다. 또한 $1=h^m=hh^{m-1}=h^{m-1}h$ 으로부터,^[각주:4] 역원의 정의를 고려하면 $h^{-1}=h^{m-1}$ 임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $h\in H$ 에 대하여 $H$ 가 공집합이 아닌 유한집합이면, 닫혀있기만 하더라도 역원, 항등원이 존재하므로 $H\leqslant G$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

이 증명으로부터 알 수 있는 것이 있는데, 사실 어떤 군 $G$ 가 유한집합인 경우에는 반드시 $g^n=1$ 이 되는 어떤 자연수 $n$ 이 존재해야 합니다. 증명 방식이 위 증명과 똑같습니다. 군은 닫혀 있어야 하므로 어떤 $g\in G$ 가 존재하면 자기 자신을 곱해서 $g^2$ 역시 $G$ 에 포함되어야 하고, 그럼 다시 이 $g^2$ 에 대해 $g$ 와의 곱인 $g^3$, 그리고 자기 자신과의 곱 $g^4$, 이렇게 계속해서 전부 다 $G$ 에 포함되어 있어야만 한다는 결과를 얻고 그런데 $G$ 가 유한집합이면 어디선가 멈춰 다시 $1$ 로 돌아와야 겠지요.

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예제 1) $n\geq 0$ 인 $n\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 $n\mathbb{Z};\{ nk\mid k\in\mathbb{Z} \}$ 라 하자. $n\mathbb{Z}\leqslant \mathbb{Z}$ 임을 보여라.

 

 

Sol) 자연스럽게 군으로 $\mathbb{Z}$ 가 주어지면 연산은 덧셈이다.^[각주:5]

 

i) 항등원의 존재 : $1_\mathbb{Z} =0$ 이다. 이때 $1_\mathbb{Z}=0=n\cdot 0=1_{n\mathbb{Z}}\in n\mathbb{Z}$ 이 성립한다. 즉 $k=0$ 으로 택하면 된다.

 

ii) 닫힘성 : $a,b\in n\mathbb{Z}$ 를 생각하자. $a=nk, b=mk\;\;(k,m\in\mathbb{Z})$ 라 적을 수 있다. 그러면 $a+b=n(k+m)\in n\mathbb{Z}$ 가 성립하므로 덧셈에 대해 닫혀있다.

 

iii) 역원 : $a\in n\mathbb{Z}$ 라 하자. 그러면 $-a=-nk=n(-k)$ 이고 $-k\in\mathbb{Z}$ 가 성립하므로 $-a\in n\mathbb{Z}$ 이며, $a+(-a)=0=1_{n\mathbb{Z}}$ 이므로 역원 또한 $-a\in n\mathbb{Z}$ 로 포함되어 있다. 따라서 부분군 시험법에 의해 $n\mathbb{Z}\leqslant \mathbb{Z}$ 이다. $_\blacksquare$

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예제 2) 클레인 군(Klein group) $K_4=\{ 1,a,b,c \}$ 을 생각하자. 이는 위수가 $4$ 인 군의 두 종류 중 하나이다.^[각주:6] 이때 $a^2=b^2=c^2=1$ 을 만족하고, $ab=c, bc=a, ca=b$ 가 성립한다. $K_4$ 의 모든 부분군을 구하여라.

 

 

Sol) 부분군을 찾을 때는 자기 자신 $K_4$ 와 자명 부분군 $\{1\}$ 을 먼저 우선적으로 고려하고 나머지를 판단한다. 제시된 군이 유한군이기 때문에, $H\leqslant K_4$ 역시 유한군이다. 따라서 유한군 시험법을 사용하여 $H$ 가 주어진 연산(곱셈)에 대해 닫혀있기만 하면 유한군이 된다는 사실을 이용하자. 이들은 오직 $\left\{ 1,a \right\}, \left\{ 1,b \right\}, \left\{ 1,c \right\}$ 뿐이다. 원소의 개수가 3개가 되는 순간, 예컨대 $\left\{ 1,a,b \right\}$ 의 경우 $ab=c\notin \left\{ 1,a \right\}$ 이므로 부분군이 아니다. $_\blacksquare$

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예제 4) $G$ 가 군일 때 $\emptyset\neq H\subseteq G$ 라 하자. $H\leqslant G$ 일 필요충분조건은 임의의 $a,b\in H$ 일 때 $ab^{-1}\in H$ 것이다. 이를 증명하여라.

 

 

Sol) $\Longrightarrow$ : $H\leqslant G$ 라 하자. 그러면 $1_G=1_H$ 로 항등원이 존재하고, 임의의 $a,b\in H$ 일 때 $ab\in H$ 이며, $a^{-1}\in H$ 이고 $b^{-1}\in H$ 가 성립한다. $H$ 가 주어진 연산에 의해 닫혀있고 $a\in H$ 이며 $b^{-1}\in H$ 이기에, $ab^{-1}\in H$ 가 성립한다.

 

$\Longleftarrow$ : 임의의 $a,b\in H$ 에 대하여 $ab^{-1}\in H$ 라 가정하자. $b=a$ 로 택하면 $aa^{-1}=e\in H$ 로 항등원이 존재한다. 그러면 $a=e$ 로 택했을 때 $eb^{-1}=b\in H$ 가 되어 $b\in H$ 또한 성립하기에, $ab\in H$ 또한 성립한다. 마지막으로 $e\in H$ 가 성립하므로, $b=a$ 로 택하면 $eb^{-1}=ea^{-1}=a^{-1}\in H$ 가 되어 역원 또한 존재한다. 따라서 부분군 시험법에 의해 $H\leqslant G$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

 

1. 여기서는 연산을 곱셈처럼 쓰기는 하지만, 사실 주어진 군에 대한 연산이면 곱셈이 아니더라도 그 연산을 따르면 됩니다. 하지만 일반적인 연산 표현을 할 때는 대표적으로 곱셈 형식을 사용하는 편입니다. [본문으로]
2. $1_G=1_H$ 여야 합니다. 항등원은 유일하고 $H$ 가 $G$ 의 부분집합이기 때문이죠. [본문으로]
3. 그래서 사실 순환군(cyclic group) 입니다. 순환군은 더 뒤에서 등장할 것입니다. [본문으로]
4. 여기서 교환법칙을 막 써도 되나? 라고 생각할 수 있으나, 원래 자기 자신의 거듭제곱에 대해서는 당연히 교환법칙이 성공합니다. 사실상 일반화된 결합법칙의 일종입니다. [본문으로]
5. 정수집합은 뺄셈, 나눗셈, 곱셈에 대해서 군을 이루지 못하기 때문. 뺄셈에 대해서는 결합법칙을 만족하지 않고, 나눗셈에서는 닫혀 있지 않으며, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. [본문으로]
6. 나머지 하나는 순환군 $C_4$ 이다. [본문으로]