
집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다.
1. 부분군
1) 정의
정의(A.A) 2-9) 부분군(Subgroups)
군 G 의 부분집합 H 가 G 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, H 를 G 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 H⩽G 라 표기한다.
H≠G 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, {1} 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다.
여기서 부등호 기호로 사용된 ⩽ 는 ≤ 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 ⩽ 로 쓰고, 숫자 간의 단순 대소 관계를 나타낼 때는 ≤ 를 쓰는 편입니다만 정해진 것은 아니고 그냥 취향 차이입니다.
2) 부분군 시험법
부분군이 되기 위한 조건을 찾아봅시다.
정리(A.A) 2.13) 부분군 시험법(Subgroup test)
군 G 에 대하여 H⊆G 가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 것이다.
① 항등원의 존재와 상등 : 1G=1H∈H
② 닫혀 있음 : 만일 1h1∈H 이고 h2∈H 이면, h1h2∈H 이다.
③ 역원의 존재와 상등 : 만일 h∈H 이면 h−1∈H 이다.
이 경우, H⩽G 이고 G 의 항등원은 H 의 그것과 같으며, 2g∈G,H 의 역원 g−1 역시 동일하다. 즉 모든 h∈H 에 대하여 h−1∈H 이 존재한다.
증명) ⟸ : H⊆G 가 위의 세 조건을 모두 만족한다고 하자. ② 에 의하면 H 는 주어진 연산에 대하여 닫혀있는 것이고, ① 은 항등원이 존재함을 뜻하며, ③ 은 역원의 존재를 함의한다. 그리고 H 는 군 G 의 부분집합임으로 결합법칙을 만족한다.
⟹ : H 가 부분군이라고 하자. H 는 G 의 부분군이니, 그 자체로 H 에 포함된 임의의 두 원소에 대해 주어진 G 의 연산에 대해서는 닫혀 있다. 다음으로 항등원을 e 라 하자. 그러면 e2=e⋅e=e=e⋅1G 이고, 좌측 소거법을 사용하면 1G=e=1H 이다. 또한 만일 h∈H 일 때 h 의 역원 중 H 에 포함된 것을 a라 하고, G 에 포함된 것을 b 라 하자. 그러면 bh=1G=1H=ah 가 된다. 따라서 bh=ah 에서 우측 소거법을 사용하면 b=a 로 h−1 은 유일하며 G,H 에 모두 포함되는 원소이다. ◼
반면, H 가 공집합이 아닌 유한집합인 경우에는 닫힘성만 확인해도 충분합니다.
정리(A.A) 2.14) 유한 부분군 시험법(Finite Subgroup test)
군 G 에 대하여 H⊆G 가 공집합이 아닌 유한집합인 부분집합(finite nonempty subset)이면, H가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 H 가 주어진 G 의 연산에 대해 닫혀있는 것이다.
증명) ⟹ : 자명하다. 부분군이니 닫혀있다.
⟸ : H 가 닫혀 있으면, 어떤 h∈H 에 대하여 h2,h3,⋯ 역시 모두 H 에 포함되어야 한다. 그런데 H 는 유한집합이므로 이들은 모두 서로 다를 수는 없다. 따라서 hn=hn+m 이 되는 n≥1,m≥1 이 존재한다. 이는 곧 소거법을 사용하면 hm=1 임을 뜻한다. 따라서 자연스럽게 31H=hm∈H 이다. 또한 1=hm=hhm−1=hm−1h 으로부터, 역원의 정의를 고려하면 4h−1=hm−1 임을 알 수 있다. 따라서 임의의 h∈H 에 대하여 H 가 공집합이 아닌 유한집합이면, 닫혀있기만 하더라도 역원, 항등원이 존재하므로 H⩽G 이다. ◼
이 증명으로부터 알 수 있는 것이 있는데, 사실 어떤 군 G 가 유한집합인 경우에는 반드시 gn=1 이 되는 어떤 자연수 n 이 존재해야 합니다. 증명 방식이 위 증명과 똑같습니다. 군은 닫혀 있어야 하므로 어떤 g∈G 가 존재하면 자기 자신을 곱해서 g2 역시 G 에 포함되어야 하고, 그럼 다시 이 g2 에 대해 g 와의 곱인 g3, 그리고 자기 자신과의 곱 g4, 이렇게 계속해서 전부 다 G 에 포함되어 있어야만 한다는 결과를 얻고 그런데 G 가 유한집합이면 어디선가 멈춰 다시 1 로 돌아와야 겠지요.
예제 1) n≥0 인 n∈Z 에 대하여 nZ;{nk∣k∈Z} 라 하자. nZ⩽Z 임을 보여라.
Sol) 자연스럽게 군으로 Z 가 주어지면 연산은 덧셈이다. 5
i) 항등원의 존재 : 1Z=0 이다. 이때 1Z=0=n⋅0=1nZ∈nZ 이 성립한다. 즉 k=0 으로 택하면 된다.
ii) 닫힘성 : a,b∈nZ 를 생각하자. a=nk,b=mk(k,m∈Z) 라 적을 수 있다. 그러면 a+b=n(k+m)∈nZ 가 성립하므로 덧셈에 대해 닫혀있다.
iii) 역원 : a∈nZ 라 하자. 그러면 −a=−nk=n(−k) 이고 −k∈Z 가 성립하므로 −a∈nZ 이며, a+(−a)=0=1nZ 이므로 역원 또한 −a∈nZ 로 포함되어 있다. 따라서 부분군 시험법에 의해 nZ⩽Z 이다. ◼
예제 2) 클레인 군(Klein group) K4={1,a,b,c} 을 생각하자. 이는 위수가 4 인 군의 두 종류 중 하나이다. 이때 6a2=b2=c2=1 을 만족하고, ab=c,bc=a,ca=b 가 성립한다. K4 의 모든 부분군을 구하여라.
Sol) 부분군을 찾을 때는 자기 자신 K4 와 자명 부분군 {1} 을 먼저 우선적으로 고려하고 나머지를 판단한다. 제시된 군이 유한군이기 때문에, H⩽K4 역시 유한군이다. 따라서 유한군 시험법을 사용하여 H 가 주어진 연산(곱셈)에 대해 닫혀있기만 하면 유한군이 된다는 사실을 이용하자. 이들은 오직 {1,a},{1,b},{1,c} 뿐이다. 원소의 개수가 3개가 되는 순간, 예컨대 {1,a,b} 의 경우 ab=c∉{1,a} 이므로 부분군이 아니다. ◼
예제 4) G 가 군일 때 ∅≠H⊆G 라 하자. H⩽G 일 필요충분조건은 임의의 a,b∈H 일 때 ab−1∈H 것이다. 이를 증명하여라.
Sol) ⟹ : H⩽G 라 하자. 그러면 1G=1H 로 항등원이 존재하고, 임의의 a,b∈H 일 때 ab∈H 이며, a−1∈H 이고 b−1∈H 가 성립한다. H 가 주어진 연산에 의해 닫혀있고 a∈H 이며 b−1∈H 이기에, ab−1∈H 가 성립한다.
⟸ : 임의의 a,b∈H 에 대하여 ab−1∈H 라 가정하자. b=a 로 택하면 aa−1=e∈H 로 항등원이 존재한다. 그러면 a=e 로 택했을 때 eb−1=b∈H 가 되어 b∈H 또한 성립하기에, ab∈H 또한 성립한다. 마지막으로 e∈H 가 성립하므로, b=a 로 택하면 eb−1=ea−1=a−1∈H 가 되어 역원 또한 존재한다. 따라서 부분군 시험법에 의해 H⩽G 이다. ◼
[참고문헌]
Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson
- 여기서는 연산을 곱셈처럼 쓰기는 하지만, 사실 주어진 군에 대한 연산이면 곱셈이 아니더라도 그 연산을 따르면 됩니다. 하지만 일반적인 연산 표현을 할 때는 대표적으로 곱셈 형식을 사용하는 편입니다. [본문으로]
- 1G=1H 여야 합니다. 항등원은 유일하고 H 가 G 의 부분집합이기 때문이죠. [본문으로]
- 그래서 사실 순환군(cyclic group) 입니다. 순환군은 더 뒤에서 등장할 것입니다. [본문으로]
- 여기서 교환법칙을 막 써도 되나? 라고 생각할 수 있으나, 원래 자기 자신의 거듭제곱에 대해서는 당연히 교환법칙이 성공합니다. 사실상 일반화된 결합법칙의 일종입니다. [본문으로]
- 정수집합은 뺄셈, 나눗셈, 곱셈에 대해서 군을 이루지 못하기 때문. 뺄셈에 대해서는 결합법칙을 만족하지 않고, 나눗셈에서는 닫혀 있지 않으며, 곱셈에 대해서는 역원이 없다. [본문으로]
- 나머지 하나는 순환군 C4 이다. [본문으로]
'대수학(Abstract Algebra) > 군론' 카테고리의 다른 글
순환군과 위수(Cyclic group and order of group) (0) | 2024.07.02 |
---|---|
여러가지 군(Various named group) (1) | 2024.06.21 |
대수학에서 군의 정의(Group in Algebra) (0) | 2024.02.23 |
대수학에서 모노이드(Monoid in Algebra) (0) | 2024.02.23 |
이항연산과 마그마(Binary operations and Magma) (1) | 2023.04.15 |
댓글