실직선에서의 연결 부분공간과 중간값의 정리(Connected subspaces of the Real line and the Intermediate Value Theorem)

연결성과 분리에 대한 기초 작업이 끝나게 되면, 우선 실수에서의 연결성을 먼저 들여다보는 작업이 필요합니다. 실수의 연결성을 살펴볼 때는 연결공간의 기초 개념들을 마구 사용하기 때문에 연결성에 대한 글을 반드시 먼저 참고하시기 바랍니다. 그리고 나아가 실수의 연결성을 학습하면 중간값의 정리를 가장 추상적으로 증명하는 것이 가능합니다.

 

[그림 1] 실수의 임의의 구간은 연결집합이므로 실직선을 분리할 수는 없다.

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1. 실수의 연결성

 

우선 실수의 연결성을 가장 먼저 다루는 것으로 시작하겠습니다.

 

정리($T.P$) 4.10) 실수는 연결집합이다.
$\mathbb{R}$ 은 연결되어 있다. 즉 연결공간, 연결집합이다.

증명) $\mathbb{R}$ 이 연결되어 있지 않다고 가정하여 귀류법을 사용하자. 그러면 $\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합 $U,V$ 가 존재하여 $U,V\neq \emptyset$ 이고 $U\cap V=\emptyset$ 이며 $\mathbb{R}=U\cup V$ 이다. 또한 $V=\mathbb{R}-U$ 와 $U=\mathbb{R}-V$ 에 의하여 둘은 클로펜집합이다. 

일반성을 잃지 않고 두 실수 $a<b$ 에 대해 $a\in U$ 이고 $b\in V$ 라 하자. $W:=(U\cap [a,b])$ 이라고 정의하면, $W\subset U$ 가 성립한다. $W$ 는 분명히($U$ 와 $V$ 의 경계가 존재하니) 유계이고, 따라서 실수의 완비성 공리에 의하여 $W$ 는 최소상계를 반드시 갖고 그것을 $c$ 라 하자. 그리고 $W$ 는 두 닫힌집합 $U$ 와 $[a,b]$ 의 교집합이므로 닫힌집합이기에, $c\in W$ 이고 따라서 $c\in U$ 가 성립한다. 그런데 $W\cap V=\emptyset$ 이므로 $c\neq b$ 가 성립한다. $c$ 가 $W$ 의 상한이라는 것을 다시 상기하면, $(c,b]\subset V$ 가 성립하게 된다. 그러면 $c\in \overline{V} \underset{\text{V is clopen set}}{=} V$ 가 되어 $c\in (U\cap V)$ 이다. 이는 $U,V$ 가 $\mathbb{R}$ 을 분리한다는 우리의 가정에 모순이다. 따라서 $\mathbb{R}$ 은 연결되어 있다. $_\blacksquare$

 

 

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2. 구간

 

1) 구간에 관한 보조정리

 

보조정리($T.P$) 4.1)
$\emptyset \neq A\subset\mathbb{R}$ 이 구간(interval)일 필요충분조건은, $A$ 의 임의의 두 원소 $a,b(a<b)$ 를 택할 때마다 $a,b$ 사이의 모든 실수가 $A$ 에 속하는 것이다.

증명) $\Longrightarrow$ : 구간의 정의에 의하여 자명하다.

$\Longleftarrow$ : $\emptyset \neq A\subset \mathbb{R}$ 이 $A$ 에 속한 두 점 사이의 모든 실수를 포함한다고 생각하자. 

i) $A$ 가 상한과 하한을 모두 포함할 때 : $a,b$ 가 각각 $A$ 의 상한과 하한이라고 하면, 상한과 하한의 정의에 의하여 $a< x < b$ 인 $x\in\mathbb{R}$ 은 $x\in A$ 이다. 이때 $A=[a,b]$ 가 되고, 이는 구간이다.

ii) $A$ 가 상한과 하한을 모두 포함하지 않을 때 : 어떤 실수 $a,b\in A$ 가 존재하여 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 은 $a<x <b$ 를 만족한다. 그러면 $x\in A$ 이므로 결국 $A=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ 이다.

iii) $A$ 의 하한을 $l$ 라고 하였을 때 $l\notin A$ 이고 상한은 없을 때 : $x\leq l$ 를 만족하는 $x\in\mathbb{R}$ 는 $A$ 에 포함되지 않는다. 만일 $y>l$ 인 $y\in\mathbb{R}$ 을 생각한다면 $A$ 는 최소상계를 가지지 않는다 하였으니 상계 또한 없어서, $y$ 는 $A$ 의 상계가 아니고, 고로 $y < b$ 인 $b\in A$ 가 존재해야 한다. 또한 $y$ 는 $A$ 의 하한이지도 않기 때문에 $a< y$ 를 만족하는 $a\in A$ 또한 존재해야 한다. 그러므로 $a< y< b$ 를 만족하는 $y$ 는 $A$ 에 포함되며, 이를 정리하면 $A=(a,\infty)$ 로 구간이다.

그 외의 경우도 위의 방법들을 이용하면 비슷하게 증명할 수 있다. $_\blacksquare$

 

 

 

2) 구간의 연결성에 관한 정리들

 

정리($T.P$) 4.11) 실직선에서 임의의 구간은 모두 연결되어 있다.
① $\mathbb{R}$ 에서 임의의 열린구간은 연결집합이다.
② $\mathbb{R}$ 에서 비퇴화 닫힌구간은 연결집합이다.
③ $\mathbb{R}$ 에서 공집합은 연결집합이다.^[각주:1]
④ $\mathbb{R}$ 에서 단원소집합은 연결집합이다.^[각주:2]

증명) ① 임의의 열린구간을 $(a,b)$ 라 하자. 응당 $a<b$ 이고 $a,b\in\mathbb{R}$ 이다. 그러면 이는 $\mathbb{R}$ 과 위상동형임을 정리($T.P$) 2.34) 에서 증명했었다. 함수 $f:\mathbb{R}\longrightarrow (a,b)$ 를 생각하면 $f$ 는 전사 연속함수이고, 위의 정리($T.P$) 4.9) 에 의해 $\mathbb{R}$ 이 연결공간이기 때문에,  따름정리($T.P$) 4.4.1) 에 의하여 $(a,b)$ 또한 연결공간임을 알 수 있다.

② 정리($T.P$) 4.6) 에 의하면 $\mathbb{R}$ 에서 $(a,b)$ 가 연속이므로 그것의 폐포 $\overline{(a,b)}=[a,b]$ 또한 연결되어 있다.

③ 공집합은 공집합이 아닌 부분집합을 포함하지 않는다. 따라서 분리 가능하지 않고, 연결되어 있다.^[각주:3]

④ 퇴화 닫힌구간은 단원소집합이다. 단원소집합은 서로소인 두 열린 부분집합으로 분리할 수가 없다. 따라서 연결집합이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($T.P$) 4.12)
$A\subseteq \mathbb{R}$ 가 연결되어 있을 필요충분조건은 $A$ 가 구간인 것이다.^[각주:4]

증명) $\Longleftarrow$ : 정리($T.P$) 4.11) 에서 이미 실직선에서 임의의 구간이 연결되어 있음을 보였다.

$\Longrightarrow$ : 충분조건 방향을 증명하기 위해서 대우명제를 증명한다. 즉 만일 $A\subseteq \mathbb{R}$ 이 구간이 아니라면 $A$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 항상 비연결집합임을 보이면 된다. $A$ 가 $\mathbb{R}$ 에서 구간이 아니라고 하자. 위의 보조정리($T.P$) 4.1) 에 의하면 $A$ 가 구간이 아닐 경우 $c,d\in A$ 에 대하여 $c<y<d$ 를 만족하는 $y$ 가 존재하여, $y\notin A$ 가 성립한다고 할 수 있다. 그러면 $U:=(-\infty,y)$ 이고 $V:=(y,\infty)$ 가 되도록 두 열린집합을 설정할 수 있다. 이 두 열린집합은

i) $c\in (U\cap A)$ 이므로 $U\cap A\neq \emptyset$ 이고 $d\in (V\cap A)$ 이므로  $V\cap A \neq \emptyset$ 이다.
ii) $U\cap V=\emptyset$ 이므로 $U\cap V\cap A=\emptyset \cap A=\emptyset$ 이다.
iii) $A\subseteq (U\cup V)$

따라서 정리($T.P$) 4.5) 에 의하여 $A$ 는 비연결되어 있다. $_\blacksquare$

 

 

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3. 중간값의 정리

 

정리($T.P$) 4.13) 실직선에서 중간값의 정리(Intermediate value theorem, IVT)
연결공간 $X\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 함수 $f:X\longrightarrow \mathbb{R}$ 이 연속이라고 하자. 만일 $a,b\in X$ 에 대하여 $f(a)< f(b)$ 이고 $k\in \mathbb{R}$ 이 존재하여 $f(a) < k < f(b)$ 를 만족하면, $f(c)=k$ 가 되게 하는 어떤 실수 $c\in X$ 가 반드시 존재한다.

증명) 따름정리($T.P$) 4.4.1) 에 의하여 $X$ 가 연결공간이고 $f$ 가 연속이면 치역 $f(X)$ 또한 $\mathbb{R}$ 의 연결 부분공간이다. $f(X)$ 가 연결되어 있으므로 이는 구간이다. 그런데 $f(a)\in f(X)$ 이고 $f(b)\in f(X)$ 이며 $f(a) < f(b)$ 가 성립한다. 그러면 보조정리($T.P$) 4.1) 에 의하여 $[f(a),f(b)]\subseteq f(X)$ 가 성립한다. 따라서 $f(c)=k$ 가 되게 하는 $c\in X$ 가 존재한다. $_\blacksquare$

 

 

중간값의 정리에서 함수를 잡을 때는 정의역을 $[a,b]$ 와 같이 닫힌구간으로 잡는 경우가 많습니다. 고등학교 수학이나 미적분학, 해석학에서도 그렇게 잡는 경우가 많습니다.

 

하지만 기본적으로 중간값의 정리는 $X$ 가 연결공간이기만 해도 됩니다. 그리고 모든 구간은 연결공간이기 때문에 사실 $X$ 를 열린구간이나 반열린구간 등으로 잡더라도 문제가 없습니다. 그럼에도 불구하고 중간값의 정리를 표현할 때 정의역을 굳이 닫힌구간으로 표현하는 이유는 일단 중간값의 정리를 설명할 때는 어떤 $X$ 의 두 원소 $a,b\in X$ 를 택한 뒤 그것의 함숫값 $f(a), f(b)$ 사이에 놓여 있는 $k$ 를 설정해야 하기 때문입니다. 그래서 양 끝 함숫값인 $f(a), f(b)$ 를 택할 수 있는 가장 작은 구간을 잡아야 하다 보니 정의역에서 $[a,b]$ 를 으레 잡는 것입니다. 그러니 만일 열린구간을 사용해서 중간값의 정리를 사용한다면 정의역을 $(c,d)$ 와 같이 잡고 이때 $c<a< b< d$ 의 관계가 성립하면 된다는 뜻입니다.

 

또한 여기서 함수 $f$ 를 택할 때 $\mathbb{R}$ 을 공역으로 삼았지만, 실수집합 자체 대신에 공역으로 어떤 순서위상의 순서집합을 택해도 됩니다. 다만 그렇게 되면 조금 더 난이도와 추상성이 올라가게 됩니다. 저는 여러 교재를 참고했을 때 함수의 정의역은 연결공간 $X$, 공역은 $\mathbb{R}$ 로 잡아 함수를 건설하여 중간값의 정리를 설명하는 것이 학부 수준에서 가장 적절하다고 생각해서 그와 같이 택했으니 참고해 보시기 바랍니다.

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H Croom, principles of Topology

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 퇴화구간은 본질적으로 공집합이기 때문에 이는 퇴화구간도 연결집합이라는 개념까지 내포한다. [본문으로]
2. 닫힌 퇴화구간은 단원소집합이기 때문에 이는 닫힌 퇴화구간도 연결집합이라는 개념까지 내포한다. [본문으로]
3.   이 말은 약간 주의해야 하는데, 연결성의 정의에 의하면 공집합은 연결집합이 맞습니다. 하지만 공집합은 실제로 원소가 아예 없는 집합이기 때문에 일반적인 공집합이 아닌 연결집합과는 차이가 있다고 보아야 적절합니다. [본문으로]
4. 어떤 교재를 보면, 이 명제의 결론을 '$A$ 가 구간이거나 광선(ray)이거나 실수집합 그 자체이다'라고 적어둔 경우가 있습니다. 하지만 광선이나 실수집합도 구간의 한 종류로 생각할 수 있기 때문에 저는 그냥 구간만 언급하였습니다. [본문으로]