집합론에서 유계, 상한, 하한, 극대, 극소

보통 유계, 상한, 하한과 같은 용어는 수열의 극한을 접하면서 미적분학에서 해석학에서 주로 사용되고, 극대와 극소 역시 함수의 극값에서 사용하는 용어이긴 하지만 집합론에서 부분순서집합에 대해서 사용되는 용어이기도 합니다. 이때 상계와 하계, 상한과 하한은 수열이나 함수에서의 사용하는 용어와 본질적으로도, 외적으로도 큰 차이가 없습니다.

 

그런데 극대  극소원소라는 개념은 함수의 그래프에서의 그것들과 약간 다른 점이 있습니다. 미적분학이나 해석학에서 극대나 극소는 국소적인 부분에서(local) 최대 또는 최소를 말하는데, 이 집합론에서의 극대와 극소는 어떤 국소적인 범위라기 보다는 최대·최소의 개념에 가깝습니다. 하지만 그렇다고 또 이 개념이 집합의 모든 원소에 대해서 순서가 최대이거나 최소라는 개념과는 또 차이가 있습니다. 그리하여 영어로는 'maximal'과 'minimal' 을 최대·최소보다 극대·극소로 번역한 것이 아닌가 싶습니다.

 

이 용어들을 숙지하게 되면, 선택공리로부터 하우스도르프 극대원리를 이끌어낼 수 있습니다. 일단  정의 위주로 정확하게 개념을 잘 기억해 보도록 합시다.

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1. 집합론에서 유계, 상한, 하한, 극대, 극소

 

정의($S.T$) 5-4) 부분순서집합에서 유계, 상한, 하한
$(A,\leq)$ 가 부분순서집합이라 하고, $B\subseteq A$ 라 하며 $(B,\leq_B)$ 또한 부분순서집합이라 하자.

① $u\in A$ 가 집합 $B$ 의 '상계(upper bound)'라는 것은, 모든 $b\in B$ 에 대하여 $u\geq b$ 가 성립한다는 것과 필요충분조건이다. 반면 $l\in A$ 가 집합 $B$ 의 '하계(lower bound)'라는 것은, 모든 $b\in B$ 에 대하여 $l\leq b$ 가 성립한다는 것과 필요충분조건이다.

② 위에서 언급한 $B$ 의 상계 $u\in A$ 가 존재할 때, 각 상계 $u$ 에 대하여 $u_0\leq u$ 를 만족하는 어떤 상계 $u_0$ 를 집합 $B$ 의 '최소상계(least upper bound)' 또는 '상한(supremum)' 이라 하고 $\sup B$ 로 표기한다.
반면 위에서 언급한 $B$ 의 하계 $l\in A$ 가 존재할 때, 각 하계 $l$ 에 대하여 $l_0\geq l$ 을 만족하는 어떤 하계 $l_0$ 를 집합 $B$ 의 '최대하계(greast lower bound)' 또는 '하한(infimum)' 이라 하고 $\inf B$ 로 표기한다.

이상에서 언급한 상계와 하계를 통틀어 '유계(bound)'라 한다.

정의($S.T$) 5-5) 부분순서집합에서 극대와 극소
위의 상황을 그대로 이어간다.
③ $M\in A$ 가 '극대(maximal)'라는 것은 모든 $a\in A$ 에 대하여 $M\in A$ 가 존재함으로서, $M\leq a \;\;\Longrightarrow \;\; M=a$ 이 성립하는 것과 필요충분조건이다.
$m\in A$ 가 '극소(minimal)'라는 것은 모든 $a\in A$ 에 대하여 $m\in A$ 가 존재함으로서, $m \geq a \;\; \Longrightarrow \;\; m=a$ 가 성립하는 것과 필요충분조건이다.

 

상계와 하계를 처음 배울 때 숙지해야 할 개념이 있습니다. 어떤 부분순서집합 $A$ 의 부분집합을 $B$ 로 잡은 다음, 집합 $B$ 에 대한 상계와 하계가 각각 $u,l$ 라는 것입니다. 그러나 이때 상계와 하계 자체는 $A$ 의 원소입니다. 즉, 상계와 하계는 $B$ 의 원소일 수도 있지만 본질적으로 $B$ 의 원소여야만 하는 것은 아니며 $A$ 의 원소이면 충분하고, 대신 이 상계와 하계가 집합 $B$ 에 대한 유계라는 것입니다.

 

상계와 하계는 마치 어떤 닫힌 구간의 집합을 가로막는 천장과 바닥의 개념에 비유할 수 있습니다. 예를 들어 어떤 항공기가 순항해야만 하는 고도가 $12,000\mathrm{km}$ 부터 $9,000\mathrm{km}$ 이라고 해봅시다. 그러면 가능한 모든 고도의 집합을 $A$ 라고 했을 때, $A=\left\{ h\in\mathbb{R}\mid h\geq 0 \right\}$ 라 정의할 수 있습니다. 그리고 이의 부분집합인 $B$ 를 위에서 언급한 순항고도, 즉 $B=\left\{ h\in\mathbb{R}\mid 9,000\leq h \leq 12,000\right\}$ 로 정할 수 있지요.

 

비행기는 난기류를 만나거나 조종사의 의지 등을 통해 $B$ 에 속한 고도를 벗어날 수도 있기는 합니다. 하지만 그런 가능성을 일단 배제한다면, 조종사는 $9,000\leq h \leq 12,000$ 의 범위에서 순항하려 노력할 것입니다. 이때 넘지 말하야 하는 '선'이라는 개념이 바로 '상한'과 '하한'입니다. $B$ 의 원소보다 더 높은 값을 가지는 $u\in A$ 들은 $u > 12,000$ 입니다. 따라서 $12,000$ 보다 큰 모든 실수는 $B$ 의 상계입니다. 하지만 그 중 가장 낮은 값인 $12,000$ 은 상한인 셈입니다. 이때 상한은 $B$ 의 원소에 해당하기는 하나 반드시 $B$ 의 원소일 필요는 없습니다. 마찬가지로 하한은 $9,000$ 이고, $0$ 보다 같거나 크고 $9,000$ 보다 작은 모든 수는 $B$ 의 하계입니다. 따라서 상한과 하한은, 주어진 집합이 벗어나서는 안될 천장과 밑바닥의 개념에 비유할 수 있을 것입니다.

 

그 다음, 극대와 극소를 봅시다. 극대의 정의에서 우측 화살표 전부터 보면, 일단 극대를 정의하기 위해서 $M\in A$ 의 존재성이 보장되어야 함을 알 수 있습니다. 그리고 나서 조건문을 보면 조건문은 가정이 거짓이면 반드시 참이므로, 가정이 참인 경우를 따져보는 것이 중요합니다. 즉, 모든 $a\in A$ 에 대하여 $M\leq a$ 가 성립해야 한다는 것이죠. 이 가정이 참이면, 반드시 $M=a$ 이 성립해야만 극대입니다.

 

다시 말하자면, 부등호는 원래 'or' 구조이죠. $M\leq a \;\; \Longleftrightarrow \;\; M=a\;\;\vee \;\; M < a$ 입니다. 여기서 후자의 가능성인 $M < a$ 가 전혀 없어야 한다는 것입니다. 즉, 어떤 $a$ 를 가져와서 $M$ 이랑 순서 비교를 하였을 때 $M \leq a$ 가 성립하는 순간 자동으로 $M=a$ 가 되어야 함을 뜻합니다. 이는 곧 극대원소라는 것은, 주어진 집합의 그 어떤 원소와 순서 비교를 하였을 때 순서가 밀리는 상황($M\leq a$) 이 발생하는 순간 그 원소는 곧 $M$ 뿐이라는 것을 말합니다. 극대원소는 그 어떤 원소에게도 순서가 밀리지 않는 셈입니다.

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예제 1) $X=\left\{  a,b,c\right\}$ 에 대하여 $\left( \mathcal{P}(X),\subseteq \right)$ 는 부분순서이다. 비슷한 상황을 이 글의 예제 1) 에서 다룬 바가 있고 비슷하게 부분순서임을 보일 수 있다. 이때 체인(= 사슬 = 전순서부분집합)으로 $B=\left\{ \left\{ b,c \right\},\left\{ b \right\} \right\}$ 을 잡자. $B$ 의 상계, 하계, 상한, 하한을 찾아라. 그리고 $\mathcal{P}(X)$ 의 극대, 극소원소도 찾아라.

 

[그림 1] 집합 $X$ 의 부분순서 다이어그램

 

Sol) 정의를 사용하자.

 

1) 상계 : $B=\left\{ \left\{ b,c \right\},\left\{ b \right\} \right\}$ 의 상계는 $X$ 의 원소로 $X=\left\{ a,b,c \right\}$ 자신과 $\left\{ b,c \right\}$ 로 두 개이다. 상계를 찾고 싶으면 부분순서 다이어그램에서 $B$ 의 원소 중 가장 높은 원소와 $B$ 바깥에 있는 원소 중 $B$ 보다 높은 위치에 있는 원소들을 택하면 된다.

 

2) 하계 : $B$ 의 하계는 $\left\{ b \right\}$ 와 공집합이다. 1)의 논리처럼, $B$ 의 하계를 찾고 싶으면 부분순서 다이어그램에서 $B$ 의 가장 아래쪽 원소와 $B$ 에 포함되지 않은 원소 중 $B$ 보다 아래쪽에 있는 원소들을 택하면 된다.

 

3) 상한 : $B$ 의 상계 중 최솟값(= 순서가 가장 낮은)은 $\left\{ b,c \right\}$ 이다.

 

4) 하한 : $B$ 의 하계 중 최댓값(= 순서가 가장 높은)은 $\left\{ b \right\}$ 이다. $_\blacksquare$

5) 극대원소 : $\mathcal{P}(X)$ 의 극대원소는 $\mathcal{P}(X)$ 의 원소 중 그 어떤 것도 다른 원소에 포함되지 않는 것을 말하므로 $X=\{ a,b,c\}$ 이다.

 

6) 극소원소 : $\mathcal{P}(X)$ 의 극소원소는 $\mathcal{P}(X)$ 의 원소 중 그 어떤 다른 것을 포함하지 않는 원소를 말하므로 공집합 $\emptyset$ 에 해당한다.

 

[그림 2] 파란색 부분이 $B$ 라는 사슬이다.

 

 

 

 

[참고문헌]

You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery