정렬정리(정렬원리)와 자연수의 정렬성(Well-ordering theorem, Well-ordering principle)

정렬정리, 정렬원리, 정렬이론 등으로 번역되는 이것은 선택공리를 통해 차례로 하우스도르프 극대원리, 초른의 보조정리를 유도했을 때 초른의 보조정리로부터 따라 나오는 결과입니다. 그리고 다시 정렬정리를 믿으면 선택공리를 도출할 수 있는 순환 관계를 완성할 수 있습니다. 집합론의 공리계에서 선택공리를 받아들였을 때 가장 믿기 난해한 정리가 바로 이 마지막 정렬정리에 해당합니다. 이것은 다른 정리와 유사하게 존재성만을 보장하기 때문에, 실제 그것이 예시로서 있는지 확인이 어렵기 때문입니다. 출발해 보도록 합시다.

 

 

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1. 정렬집합

 

정의($S.T$) 5-8) 정렬집합(Well-ordered set)
전순서집합 $(A,\leq)$ 가 '정렬되었다(well-ordered)' 또는 '정렬집합(well-ordered set)'이라는 것은 공집합이 아닌 $A$ 의 모든 부분집합 $B$ 가 유일한 극소원소를 가지는 것과 필요충분조건이다. 즉, 만일 모든 $x\in B$ 에 대하여 $x\geq b$ 를 만족하는 $b\in B$ 가 존재함을 말한다. 이러한 $b\in B$ 는 $B$ 의 '최소원소(least element)' 라 한다.
만일 전순서집합 $(A,\leq)$ 가 잘 정렬된 집합이면 이때의 관계 $\leq$ 를 '정렬관계(well-order relation)'이라 한다. 집합 $A$ 에 정렬순서관계가 존재하는 경우 $A$ 를 '정렬이 가능하다(can be well-ordered)'라 부른다.

 

용어를 번역할 때, 보통 'well' 은 '잘'로 번역하고 'order'는 '순서'로 번역하지만, 순서가 잘 지어졌다는 말이 곧 바르게 세워져있다는 것을 뜻하니 '정렬(整列)'로 적는답니다. 

 

정의를 보면 정렬되어있다는 것은 전순서가 존재할 뿐만 아니라, $A$ 에서 임의의 공집합이 아닌 부분집합을 뽑았을 때 그 안에서^[각주:1] 유일한 극소원소를 선택할 수 있는 경우를 말합니다. 여기서 관계에 어떻게 순서를 매기느냐에 따라 꼭 대소관계(부등호)로 순서를 매기지 않을 수 있으니, 사실 극소원소를 택한다는 것은 순서가 가장 낮은 원소를 택한다는 것과 같고, 또 어떻게 보면 순서를 잘 주었을 때 대표원소를 뽑을 수 있다는 것과 비슷하다고 볼 수 있습니다. 다시 말해 전체에서 어떤 부분을 선택해도 내가 전체에서 순서를 매겼던 것과 같은 방법으로 그 부분에 매겼을 때, 꼴지(대표의 개념)가 있어야 한다는 것입니다.

 

같은 집합이라고 해도 순서를 어떻게 매기느냐에 따라 정렬집합이 될 수도 있고 안될 수도 있습니다. 또 같은 순서라고 해도 집합이 무엇으로 주어지느냐에 따라 정렬이 될 수도, 안될 수도 있습니다. 간단한 예제를 살펴봅시다.

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예제 1) 순서를 대소관계(부등호)로 주었을 때 전순서집합 $(\mathbb{N},\leq)$ 는 정렬집합이다. 임의의 자연수로 구성된 부분집합을 뽑아도 언제나 최소원소가 존재하기 때문이다. 그러나 정수집합에 똑같이 대소관계를 순서로 부여하면 $(\mathbb{Z},\leq)$ 는 전순서집합이지만, 정렬집합은 아니다. 왜 그러한지 반례를 제시해라.

 

 

Sol) 아주 간단히 $B=\left\{ x\in\mathbb{Z}\mid x\leq 0 \right\}$ 이라 해보자. 그러면 $B\subset \mathbb{Z}$ 인데 극소원소를 가지지 않는다. 물론 극대원소는 있다.$_\blacksquare$

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이 예제 1)을 보면 자연수 집합과 정수 집합의 운명은 밑바닥이 없다는 것에서 갈립니다. 자연수의 극소원소는 $1$ 로 말하자면 바닥이 존재하는 셈이나, 정수는 바닥도, 천장도 없습니다. 여기서 자연수에 대한 결과는 매우 중요하고 요긴하게 쓰여서 특별한 이름을 붙여줍니다. 그것이 아래의 정리입니다.

 

 

정리($S.T$) 5.3) 자연수의 정렬성(Well-ordering principle)^[각주:2]
순서를 대소관계(부등호)로 주었을 때 $(\mathbb{N},\leq)$ 는 정렬집합이다.
다시 말하면 공집합이 아닌 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 의 부분집합 $S$ 를 생각할 때, $S$ 는 반드시 '최소원소(least element)' 를 갖는다.^[각주:3]

증명) 수학적 귀납법(Strong induction)을 사용하자.

1) Base step : $S_1=\{ 1\}$ 일 때 자명히 $1\in S_1$ 이고 $1$ 은 $S_1$ 의 최소원소이다.
2) Inductive hypothesis : $k\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $p(k)$ 를 '$1$ 부터 $k$ 까지의 모든 자연수를 포함하는 공집합이 아닌 집합 $S_k$ 은 최소원소를 가진다'라고 하자. 그리고 $ p(k)$ 가 참이라고 가정한다.
3) Inductive step : $S_{k+1}=\{ 1,2,\cdots , k,k+1\}$ 에서, $1\leq 2\leq \cdots \leq k \leq k+1$ 이 성립한다. $p(k)$ 에 의하여 $S_{k}$ 는 최소원소를 가진다. 그런데 $k\leq k+1$ 이기 때문에 $S_k \cup \{ k+1 \}=S_{k+1}$ 의 최소원소는 $k+1$ 이 절대로 될 수 없고 ($p(k)$ 가 참이라고 가정하였기 때문에) $1,2,\cdots ,k$ 에 존재한다. (실제로는 1임) 따라서 $p(k+1)$ 은 참이다. $_\blacksquare$

 

 

이 정리의 증명에 대해 고찰할 것이 있습니다. 이 정리는 수학적 귀납법을 사용합니다. 그런데 우리가 공리계를 다루고 있는만큼, 수학적 귀납법의 유효성을 검증해야 한다고 생각할 수 있습니다. 수학적 귀납법의 근거는 한 단계 깊게 파내어 내려가보면 자연수를 어떻게 정의하는지에 대한 방법인 페아노 공리계에 바탕을 두고 있습니다. 페아노 공리계로부터 수학적 귀납법이 태동되며, 이를 통해 보이는 것이 자연수의 정렬성입니다. 페아노 공리계의 내용은 어렵진 않으나 일반적으로 집합론 교재에서 간단히만 언급되고, 정렬정리를 마무리 짓고 나서 소개할 것입니다.

 

그런데 일부 해석학의 교재를 보면 이 자연수의 정렬성을 실수의 완비성 공리로부터 증명하는 경우가 있습니다. 그 증명 자체에 모순은 없으나, 이후 자연수의 정렬성을 바탕으로 수학적 귀납법을 유도하는 방식으로 서술될 때가 있습니다. 그러면 집합론의 논리와 충돌하는 것처럼 보입니다. 모순이라는 것이 아니라, 방향이 반대라는 것입니다. 즉 실수의 완비성 공리 > 자연수의 정렬성 > 수학적 귀납법의 방향은, 집합론에서 페아노 공리계 > 수학적 귀납법 > 자연수의 정렬성과 방향이 반대이지요. 일단 실수의 완비성도 공리이기 때문에 공리에서 출발하여 모순 없는 연역 논리를 펼치면 그 자체의 논리는 문제가 없습니다. 이러한 방향성의 차이는 과목상의 특성이라 보아야 합니다. 즉 집합론은 페아노 공리계에서 출발하는 셈이고, 해석학은 실수에 초점을 맞추어 실수의 완비성 공리에서 출발한다는 것입니다. 하지만, 개인적인 생각으로 자연수가 무엇인지를 정의해야 실수도 연구할 수 있는 만큼 집합론의 방법이 정통적(orthodox)이며, 단지 완비성 공리 방식은 완비성 공리에서 출발하더라도 자연수의 본질적 성질을 보일 수 있다는 점에서 그것을 공리로서 받아들일만하다는 믿음을 보여준다고 이해하는 것이 가장 좋을 것 같습니다.

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예제 2) 순서관계를 대소관계(부등호)로 주었을 때 부분순서집합 $(\mathbb{Q},\leq)$ 는 전순서집합이지만 정렬집합이 아니다. 반례를 들어라.

 

 

Sol) 간단히 집합 $B=\left\{ x\in \mathbb{Q}\mid x > 0 \right\}$ 을 생각해보자, 양의 유리수 중 최소값을 가지는 것을 하나로 결정할 수 없다.$_\blacksquare$

 

그래서 당연히 실수집합도 $\leq$ 가 대소관계(부등호)로 주어지면 정렬집합이 되지 않습니다.

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2. 정렬정리

 

이제 임의의 집합은 적절한 정렬순서를 부여해서 정렬할 수 있음에 관한 정리를 증명할 것입니다. 증명 과정 역시 복잡하고 까다로운 편입니다.

 

정리($S.T$) 5-9) 정렬정리(Well-ordering Theorem)
공집합이 아닌 모든 집합은 정렬가능하다.
단, 이 정리는 주어진 집합을 정렬하는 어떠한 정렬순서가 존재한다는 것만을 말할 뿐 그 정렬순서가 무엇인지를 말하는 것이 아니다.

증명) 임의의 $\emptyset \neq A$ 가 주어졌다고 하자. $A^*$ 를 모든 정렬집합 $(A_0,\leq)$ 들의 집합족(family)이라 하고, 이때 $A_0\subseteq A$ 가 만족된다고 하자. $A^*$ 위의 부분순서 $\leq^*$ 를 다음과 같이 정의하자.

$(A_0,\leq_0) \leq ^* (A_1,\leq _1)$ 가 성립한다고 함은 다음 세 가지 조건이 만족되는 것과 필요충분조건이다.

i) $A_0\subseteq A_1$
ii) $x,y\in A_0\;\wedge x\leq_0 y\;\Longrightarrow x\leq _1 y$
iii) $x\in (A_1-A) \; \Longrightarrow \; y\leq_1 x $ for $\forall y\in A_0$

◆ 예를 들면, $A= \left\{  1,2,3 \right\}$ 이라 할 때 $A_0=\left\{  1,2\right\}$, $A_1=\left\{ 1,2,3 \right\}$ 라 해보자. 그리고 두 $A_0, A_1$ 의 순서는 각각 $\leq_0, \leq_1$ 인데 모두 일반적인 대소관계(부등호) $\leq$ 라 주어졌다고 해보자. 그러면 $(A_0,\leq_0)\in A^*\;,\; (A_1,\leq _1)\in A^*$ 인 것이며, 이때 i) $A_0\subseteq A_1$ 이고 ii) 임의의 $x,y\in A_0$ 에 대하여 $x\leq _0$ 이면 $x\leq_1 y$ 가 성립하며 iii) $x\in (A_1-A_0)= \{ 3 \}$ 일 때 모든 $y\in A_0$ 에 대하여 $y\leq_1 x$ 가 성립한다.

① 우선 실제로 이렇게 정의한 $\leq^*$ 이 $A^*$ 위의 부분순서인가를 확인해 보아야 한다. 

1) 반사성 : i) 에서 $A_0\subseteq A_0$ 이고, ii) 에서 $x\leq_0 y$ 이면 자명히 $x\leq_0 y$ 이며, iii) 에서 $A_0-A_0=\emptyset$ 임므로 이에 해당하는 원소가 없어 조건문의 가정이 거짓이므로 참이다.

2) 반대칭성 : 임의의 $(A_0,\leq_0)\in A^*$ 와 $(A_1,\leq_1)\in A^*$ 에 대하여 $(A_0,\leq_0)\leq^* (A_1,\leq _1)$ 이고 $(A_1,\leq_1)\leq^* (A_0,\leq _0)$ 가 성립한다고 가정하자. 이는 곧 다음의 i)~iii) 이 성립함을 의미한다.
i) $A_0\subseteq A_1\;\wedge \; A_1\subseteq A_0$ 이면 $A_1=A_0$ 이고, ii) 모든 $x,y\in A$ 에 대하여 $x\leq_0 y$ 이면 $x\leq _1 y$ 이며역으로 모든 $x,y\in A_1$ 에 대하여 $x\leq_1 y$ 이면 $x\leq_0 y$ 가 성립하니, 또한 성립한다. 그리고 i) 에서 $A_0=A_1$ 이었기 때문에, $\leq_0=\leq_1$ 이 된다. iii) $A_0-A_1$ 은 공집합이니 반사성의 iii)에서와 마찬가지로 참이다. 이상에서 $A_0=A_1$ 이고 순서 관계도 $\leq_0=\leq_1$ 이므로 $(A_0,\leq_0)= (A_1,\leq _1)$ 이 성립한다.

3) 추이성 : 임의의 $(A_0,\leq_0),(A_1,\leq_0),(A_2,\leq_0)\in A^*$ 에 대하여 $(A_0,\leq_0),\leq^*$ 이고 $(A_1,\leq_0)\leq^* (A_2,\leq_0)$ 가 성립하면 $(A_0,\leq_0)\leq^* (A_2,\leq_0)$ 인지 확인하면 된다. 가정이 참이면,
i) $A_0\subseteq A_1$ 이고 $A_1\subseteq A_2$ 이므로 $A_0\subseteq A_2$ 이다. ii) 임의의 $x,y\in A_0$ 에 대하여 $x\leq_0 y \;\Longrightarrow\; x\leq_1 y \;\Longrightarrow \; x\leq_2 y$ 가 성립한다. iii) $x\in (A_2-A_0)$ 이면, 임의의 $y\in A_0$ 에 대해 $(A_1,\leq_1)\leq^* (A_2,\leq _2)$ 으로부터 $y\leq_2 x$ 가 도출된다. 이상에서 $\leq^*$ 는 반사적, 반대칭적, 추이적이니 $A^*$ 위에서 부분순서가 된다.

이제 초른의 보조정리를 적용하자. 그러면 $(A^*,\leq^*)$ 는 극대원소를 가져야 하고, 그를 $(A_1,\leq_1)$ 이라 해보자. 우리가 원하는 것은 $A_1=A$ 이다. 왜냐하면 만일 $A_1=A$ 가 되면 $A$ 는 적절한 정렬순서 $\leq_1$ 를 부여하여 정렬집합 $(A,\leq_1)$ 이 만들어질 수 있음을 뜻하는 것이 되기 때문이다.$\;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (1)$

② 초른의 보조정리를 적용하기 위하여 $(A^*,\leq^*)$ 의 모든 사슬(을 $\mathcal{B}$ 라 하고)이 상계를 지닌다는 것을 보이자. $A^*$ 에 포함된 $\mathcal{B}$ 의 상계인 원소는 $A^*$ 에서 순서 $\leq^*$ 에 대해 모든 $\mathcal{B}$ 의 원소보다 같거나 커야 한다. 그것의 자연스러운 후보는 순서 관계 $\leq'$ 가 $x\leq ' \;\Longleftrightarrow \; x_0\leq_0 y$ 이고 $x,y\in (A_0,\leq_0)\in\mathcal{B}$ 로 정의될 때

$$\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A,\leq' \right)$$
가 된다. 왜냐하면 이는 사슬 $\mathcal{B}$ 내에서 모든 집합들의 원소들을 가로질러 그들을 모두 포함하고 있기 때문이다.

◆ 왜 이것이 사슬의 상계 후보인지 이해가 되지 않는다면 아래의 예시를 살펴보자. (이해가 되었다면 그냥 건너뛰어도 된다)

\(\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{} A, \leq' \right)\), \(\mathcal{B}\), \(A_0\) 의 개념을 이해해보기 위해 예시를 들어보면서 역할을 구분해보자.

- \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) 를 정렬시킬 예정이다.
- \(\mathcal{B}\) 를 $A^*$ 에서 \(A\) 의 정렬 부분집합으로 이루어진($A_i$ 과 순서 $\leq_i$ 로 이루어진) 사슬이라 하자. 예시로 \(\mathcal{B}\) 의 정렬 부분집합 3개를 들어보자. 

\(A_0 = \{1, 2\}\) 와 순서 $\leq_0$ 가 대소관계(부등호)로 주어졌다. 그러면 \(1 \leq_0 2\).
\(A_1 = \{1, 2, 3\}\) 와 순서 $\leq_1$ 가 대소관계(부등호)로 주어졌다. \(1 \leq_1 2 \leq_1 3\).
\(A_2 = \{1, 2, 3, 4\}\) 와 순서 $\leq_2$ 가 대소관계(부등호)로 주어졌다. 그러면 \(1 \leq_2 2 \leq_2 3 \leq_2 4\).

그러면 사슬 \(\mathcal{B}\) 은 모든 이 세가지 정렬집합을 원소로 하는 집합족 \(\mathcal{B} = \{(A_0, \leq_0), (A_1, \leq_1), (A_2, \leq_2)\}\) 을 말한다. 여기서 \(A_i\) 는 $A$ 의 각각의 부분집합이고, 각각의 \(\leq_i\) 는 \(A_i\) 에서의 정렬순서이다.


그 결과 \(\mathcal{B}\) 는 \(\leq^*\) 의 관계 아래에서 전순서가 된다.^[각주:4] 이 예시에서는 \(A_0 \leq^* A_1 \leq^* A_2\) 가 될 것이다.

이것이 왜 상계의 자연스러운 후보가 될까? \(\mathcal{B}\) 의 합집합은 \(\bigcup_{A\in\mathcal{B}} A = A_2 = \{1, 2, 3, 4\}\) 이다. 이 \(A_2\) 을 사슬의 극대원소라 가정해보자. 그러면 합집합에서의 정렬순서 \(\leq'\) 는 그냥 사슬 안의 각각의 원소 $A_i$ 가 가지고 있는 순서 $\leq_i$ 와 다를 바가 없다. 즉 여기서는 그냥 \(\leq_2\) 와 동일하다는 것이고, 그래서 \(1 < 2 < 3 < 4\) 의 순서가 여전히 성립한다.

그러나 엄밀하게 말해서 후보가 그렇다는 것이니, 실제로 $\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A,\leq' \right)$ 가 $A^*$ 에 속하고 $\mathcal{B}$ 의 상계인지 점검해야 한다.

② $\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A,\leq' \right)\in A^*$ 를 보이자.
임의의 $a,a'\in \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A$ 에 대하여, $a,a'\in A_0$ 를 만족시키는 $A_0\in\mathcal{B}$ 라는 사슬이 존재한다. 이때 $(A_0,\leq_0)$ 가 전순서집합이므로, $a\leq_0 a'$ 이거나 $a'\leq_0 a$ 이면 $a\leq' a' \; \vee \; a'\leq' a$ 가 되므로 $\leq'$ 는 $\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A$ 에서 전순서이다.
나아가 전순서가 된다는 것도 보이자. $\emptyset \neq S\in \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A$ 에 대해 $A_0\cap S\neq \emptyset$ 인 $(A_0,\leq_0)\in \mathcal{B}$ 가 존재하고 이를 만족하도록 $S$ 를 뽑을 수 있다. 이때 $(A_0,\leq_0)$ 는 정렬집합이니, $S\cap A_0$ 는 최소원소를 가지고 그것을 $x_0$ 라 하자. 그러면 임의의 $y\in S$ 에 대하여, $(A_0,\leq_0)\leq^* (A_1,\leq_1)\;\wedge \; x_0,y\in A_1$ 을 만족하는 $(A_1,\leq_1)\in \mathcal{B}$ 가 존재한다. 그$x_0\leq_1 y\;\Longrightarrow \; x_0\leq' y$ 를 만족하는 $(A_1,\leq_1)\in \mathcal{B}$ 가 존재한다. 이렇게 되면 $x_0$ 는 정렬순서 $\leq'$ 에 대한 $S$ 의 최소원소가 되므로, $\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A,\leq' \right)$ 의 임의의 부분집합 $S$ 가 주어진 순서관계 $\leq'$ 에 대한 최소원소를 갖기 때문에 이는 정렬집합이 됨을 보였다.

③ $\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{B}}^{}A,\leq' \right)$ 가 $\mathcal{B}$ 의 상계임을 보이자. 이는 매우 간단한데, 단순히 초른의 보조정리에 의하여 $(A^*,\leq^*)$ 가 극대원소 $(A_1,\leq_1)$ 을 가지기 때문이다.

이로부터 $A=A_1$ 을 주장하고 싶다. $A_1\neq A$ 라면 $x_1\in (A-A_1)$ 을 택할 수 있고, $\leq_1$ 의 순서를 $A\cup \{ x_1 \}$ 으로 확장해서 모든 $y\in A_1$ 에 대해 $y_1\leq_1 x_1$ 으로 정의한다. 그러면 $(A_1,\leq_1)\leq^* (A_1\cup \{ x_1 \},\leq_1)$ 이 되어 버리게 되는데 이는 $(A_1,\leq_1)$ 이 극대원소라는 우리의 (맨 처음) 가정과 모순이다. 따라서 $A_1=A$ 가 되고 $(1)$ 에 의해 증명이 끝난다. $_\blacksquare$

 

 

따라서 이 정리에 의하면 실수집합도 어떠한 정렬순서를 통해 정렬시킬 수 있을 것입니다. 하지만 아직 현대 수학에서 그러한 정렬순서가 무엇인지 찾지 못하였고, 위에서 검토하였지만 대소관계(부등호)라는 순서는 실수집합을 정렬시키지 못한다는 것이 알려져 있습니다. 개인적으로 실수집합을 정렬집합으로 만드는 정렬순서가 무엇인지 정확하게 찾을 수 있다면 수학계에서 어마어마하고 중대한 업적이 될 것이며, 거대한 지각변동이라 확신할 수 있습니다. 상금은 물론이거니와 각종 수상 및 명예라는 타이틀을 휩쓸게 될 것이라 생각합니다.

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3. 정렬정리에서 선택공리를 유도하기

 

정리($S.T$) 5-10) 정렬정리로부터 선택공리를 유도가능
정렬정리(Well-ordering theorem)은 선택공리(Axiom of choice)를 함의한다.

증명) 원소들이 공집합이 아닌 집합들로 이루어진, (따라서 공집합이 아닌) 집합족을 $\mathcal{S}$ 라 하자. 정렬정리, 즉 정리($S.T$) 5-9) 로부터 $\left( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{S}}^{}A,\leq \right)$ 가 정렬집합이 되게 하는 전순서 $\leq$ 가 $\displaystyle\bigcup_{A\in\mathcal{S}}$ 위에 존재한다. 그러면 각각의 $A$ 는 최소원소를 가지므로, 이를 '대표'의 개념으로 해석하면 다음과 같이 선택함수
$$f:\mathcal{S}\longrightarrow \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal{S}}^{}A$$ 를 $A\longmapsto f(A)$ 로 정의할 수 있다. 여기서 $f(A)\in A$ 가 $A$ 의 최소원소가 되는 것이다. 따라서 정렬원리는 선택공리를 함의한다. $_\blacksquare$ 

 

 

여기까지 마무리하게 되면, ZF 공리계에 선택공리를 포함하여 ZFC 공리계가 완성되고, 이후 일반적인 수학의 다른 과목에서는 이 공리계를 참으로 믿고 여러 명제를 증명하는 연역 논증을 통해 수학적 지식을 쌓아 나가는 것으로 볼 수 있습니다.

 

 

 

[참고문헌]

You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery

 

 

 

1. 부분집합 안에서. 즉 부분집합 안에 부분집합의 극소원소가 있어야 합니다. [본문으로]
2. 관용적으로 '정렬원리'라 번역하지 않고 '자연수의 정렬성'으로 번역하는 편. 책에 따라 '정수의 정렬성'으로 번역하는 경우도 있지만 실제 내용은 자연수 집합에 관한 것입니다. [본문으로]
3. 여기서 제가 '극소원소'라 번역하지 않고 '최소원소'라 번역한 까닭은, 순서관계가 대소관계(부등호)로 주어졌을 때는 극소원소가 곧 실제로 숫자의 크기가 가장 작다는 것을 의미하기 때문입니다. 보통 자연수의 정렬성을 집합론이 아닌 다른 과목에서 언급할 때는 이렇게 순서가 대소관계임을 미리 상정하기 때문에 최소원소라고 말하는 편입니다. [본문으로]
4. 엄밀하게는 전순서가 되는지도 증명해야 하겠으나 이 부분은 여태까지의 과정을 이해했다면 쉽기 때문에 생략하겠다. [본문으로]