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집합론(Set Theory)/공리계

하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximality principle)

by Gosamy 2024. 2. 7.
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이제 선택공리를 통해 하우스도르프 극대원리를 증명해 봅시다. 이 명제의 증명을 위해 필요한 개념과 보조정리가 있어서 그를 먼저 확인할 것입니다. 다만 이 보조정리는 사실상 집합론에서 가장 어려운 증명으로 손꼽아도 무리가 아닐 정도로 호흡도 길고 논리가 복잡합니다. 길이로 따지면 제가 블로그에서 한 여느 증명보다도 긴 것 같네요. 다만 이러한 복잡하고 긴 증명을 하지 않으려면 조금 더 고급 수학 과목의 지식을 가져와야 합니다. 집합론 수준에서는 이러한 증명이 최선이라 보시면 됩니다.

 

 

 

썸네일은 앞으로 유머삼아 만드려고 합니다. '하우스'가 꼭대기에 있음을 상징하는 그림입니다.


1. 허용가능함

 

정의(S.T) 5-7) 허용가능함
어떤 aA 를 생각하자. BA 인 집합 B가 다음 세 조건을 만족할 때, B 를 '허용가능함(admissible)'이라 한다.
aB
B 가 함수 f 에 대해 닫혀있음 : f(B)B
B 의 모든 사슬(전순서 부분집합)의 최소상계가 B 에 속한다.

 

 

보조정리(S.T) 5.1)
부분순서집합 (A,) 에 대해, 이것의 모든 사슬(전순서 부분집합)들의 최소상계들이 A 에 포함되어 있다고 가정하자. 함수 f:AA 를 모든 aA 에 대해 af(a)a 로 정의하면, f(p)=p 를 만족하는 어떤 pA 가 반드시 존재한다.

증명) B={Bi}iIA 의 모든 허용가능한 부분집합들로 이루어진 집합족(collection, family) 라 하자. A 는 그러면 허용가능한데, 모든 Bi 가 가진 원소를 aA 라 하면 말그대로 aA 가 성립하고, f(A)A 이며, 가정에 의하여 ③의 조건도 만족되기 때문이다.


1) 허용가능한 집합들의 교집합도 허용가능하다 : T=iIBi 라 하면 T 도 허용가능하다. 우선 모든 Bi 들이 허용가능하니 각각의 BiaA 를 가지고 있어서, aT 이기 때문이다. 두번째로 xT 라 하면 모든 iI 에 대하여 Bi 는 허용가능하니 모든 iI 에 대하여 xBi, f(x)Bi 이다. 이는 f(x)T 임을 뜻한다. 마지막으로 QT 의 한 사슬이라고 하자. 각각의 iI 에 대하여 TBi 가 성립하므로 Q 는 각각의 Bi 의 사슬이기도 하다. 즉, 각각의 iI 에 대하여 q:=supQBi 이기 때문에, q=supQT 이다.


2) 허용가능한 집합들의 교집합에서 순서관계를 집합의 포함관계로 부여했을 때 극소원소는 B0 이다 : aA 으로 A 이므로 B 이다. B 의 모든 원소들의 교집합을 B0 라 하자. 이 역시 허용가능하고, 모든 iI 에 대하여 B0Bi 이다. 그러면 B0 의 정의에 의해 B0 는 곧 (B,) 의 극소원소다. B0 보다 작은(= 포함관계로서 집합의 크기가 더 작은 = 순서관계가 밀리는) 집합이 존재한다고 가정하면 이는 B0 정의에 모순이다. 이로부터 부분순서집합 (B,) 은 극소원소 B0=BiBBi 을 가진다는 것을 알 수 있다. 그리고 B0 유일하다.[각주:1]


3) B 를 다음과 같이 생각하자 : 집합 B={xAxa} 를 생각하고 aA 에 대하여 집합 B 가 허용가능한지 확인하자. aa 임은 자명하다. 한편 임의의 xB,,aA 에 대하여 가정에 주어진 것과 같이 함수 f 를 정의하면 f(x)xa 가 성립하여, f(x)a 이므로 f(x)B 가 된다. 이는 f(B)B 를 뜻한다. 또한 SBA 의 사슬이라고 하자. B 의 정의에 의하여 S 의 모든 원소 ssa 를 만족해야 하고, 보조정리의 가정에 의해 SA 의 한 사슬이기도 하니 supSA 가 존재하며 supSB 이기도 하다. 따라서 B 의 사슬의 최소상계가 B 에 속하기도 하니 B 는 허용가능하다. 이상에서 {xAxa} 가 허용가능하므로, 2)의 내용과 연결하면 B0{xAxa} 이다. 그러면 모든 xB0 에 대하여 xa 가 성립한다.


이제부터 할 일은 아래에서 정의할 두 집합 C,D 에 대하여 C=D=B0 임을 보이는 것이다. 우선 4)에서 D=B0 를 보이고 5)에서 C=B0 를 보일 것이다. 참고로 C 집합은 f 를 타고 넘어가도 순서관계가 바뀌지 않으니 f 의 상한 역할을 보여주고, Dx 를 기준으로 분할의 역할을 담당한다고 볼 수 있다 결과적으로 세 집합이 같음을 보이면 f(p)=p 인 고정점 p 의 존재를 암시한다.


4) 집합 C={xB0yB0y<xf(y)x} 를 생각하자.

xCzB0zxzf(x)(1)
임을 보이고 싶다. xC 를 고정시키고 D={zB0zxzf(x)} 라 하자. 3)에서 그러면 aB0 이고, xz=az 를 택하면 aD 가 만족됨을 알 수 있다. 두번째로 f(D)D 를 보여야 하고, 이는 곧 f(z)D 임을 의미하는 것이니 f(z)x 또는 f(z)f(x) 를 뜻한다.

i) zf(x) : f(z)zf(x)
ii) z=x : f(z)=f(x)f(z)f(x)
iii) z<x : xCf(z)x

세번째 조건을 확인하라면 EDD 의 사슬이고 u:=supE 라 하자. 그러면 모든 eE 에 대해 ex 이거나 ef(x) 여야 한다. 전자의 경우 yx, 후자의 경우 uf(x) 가 성립하니 결국 uD 이다. 이상에서 D 는 허용가능한데 D 의 정의를 고려하면 이는 B0 의 원소들로 이루어져 있고 이 집합은 2)에서 유일하고 극소임을 보였다. 결국 D=B0 가 성립한다.


5) 3)에서 보인 내용에 의해 모든 yB0 에 대해서 반드시 ya 이다. 첫째, 만일 '그리고'로 연결된 문장 yB0y<a 을 고려하면, 이 명제는 거짓이니, 조건문의 가정[각주:2]이 거짓이면 조건문은 참이므로 aC 이다. 둘째, f(C)C 를 확인해야 하고 이것은 임의의 xC 에 대해 f(x)C 인지를 보이는 것과 같다. 확인해야할 것은 결국

yB0y<f(x)f(y)f(x)(2)
인지에 해당한다.

i) yf(x) : y<f(x) 가 거짓이다. 위에서와 동일한 논리로 조건문의 가정이 거짓이 된다. 고로  f(x)C
ii) yx : y=x 이면 f(y)=f(x) 가 되니 (2) 가 참이다. y<x 이면 f(y)xf(x)[각주:3] 이므로, 다시 (2) 가 참이다.

세번째 조건을 확인하자. GCC 의 사슬이고 w:=supG 라 하자. 보이고 싶은 것은 wC 이다. 우선 w=supG 이므로 y<wyB0 가 존재한다. 이때 우리는 f(y)w 임을 보이면 된다. 그런데 3)으로부터 B0=D 임을 알기 때문에 yB0=D 이고, 고로 임의의 gG 에 대해 yg 또는 yf(g) 가 성립해야 한다. 후자가 성립하면 yf(g)g 에서 yg 가 성립하고, g=w[각주:4] 모순이다. 고로 yg 다.

i) y<g : f(g)gw 이다. 첫째 부등호는 gC 이기 때문에, 둘째 부등호는 gG 이기 때문에 성립한다.

ii) y=g : y=g<wy<hhG 가 존재한다. 그러면 다시 C 의 정의와 w=supG 로부터 f(y)zw 가 성립한다.


6) 따라서 i),ii) 모두에 y<wf(y)w 가 성립하므로 wC 이며, 세 조건을 모두 확인한 결과 C 는 허용가능하다. 2) 에서 B0 는 유일하고 극소원소라고 하였으니 B0=C 이다.

여기까지의 관계를 정리하면 B0=C=D 이다. 그러면 (1) 에서 B0 는 전순서집합이다. 허용가능함의 세 번째 조건에서 p:=supB0=supC 가 존재한다. p 가 최소상계이니 pf(p) 이어야 한다. 그러나 애초에 함수 f 의 정의에 의하면 f(p)p 이다. 고로, f(p)=ppB0 가 존재한다. B0A 이니 pA 이기도 하다.

 


2. 하우스도르프 극대원리

 

증명을 위해서 아주 기초적으로는 위의 보조정리와, 극대의 개념이 필요합니다.

 

정리(S.T) 5.1) 하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximality Principle)
부분순서집합 (A,) 의 모든 전순서 부분집합(사슬)들을 원소로 갖는 집합족을 T 라 하고, T 에 부분순서로서 포함관계 가 주어졌다고 하자. 그러면 (T,) 는 극대원소를 가진다.

증명) 귀류법을 사용하기 위해 T 가 극대원소를 가지지 않는다고 가정하자. 그러면 각각의 TT 에 대하여
T={TTTT} 라는 집합을 정의할 수 있고 T 이다.[각주:5] 그러면 선택공리에 의하여 다음과 같은 선택함수
g:{TTT}TTTg(T)T 를 만족하도록 잡을 수 있고, 다시 모든 TT 에 대하여 f(T):g(T) 가 되도록 함수 f:TT 를 생각할 수 있다. 



그 다음으로 (T,) 가 공집합이 아닌 부분순서집합이고, 이것의 모든 사슬이 T 내에 최소상계를 가짐을 보이려고 한다. B(T,) 의 임의의 한 사슬이라 하자.[각주:6] 그러면 BBB 는 사슬 B 에 속하는 모든 집합들의 원소로 이루어진 집합[각주:7] 으로, B 의 모든 원소들의 합집합이다. 

* B 는 사슬이니, 원소가 집합이다. 반면 반복되어 등장하는 BBB 라는 친구는 원소가 모두 집합이 아니다. 사슬 B 를 구성하는 하나 하나의 집합들 Bi 의 원소들을 전부 다 끌어모은 합집합인 것이다. 둘을 잘 구분해서 따라와야 한다.

이때 T 내의 다른 원소 즉 사슬을 생각하고, 그것이 B 를 포함한다고 해보자. 그러면 그 집합 역시 BBB 를 포함할 것이고, 그리하여 BBBCCC 이다.[각주:8] 즉 일단 CCCB 에 대한 T 에 속하는 하나의 상계이다. 그러면 최소상계의 정의를 상기할 때, BBBB 에 대한 (포함관계를 순서로 볼 때) 최소상계(상한)가 된다. BBBTB 의 최소상계라는 것은 모든 BB 에 대하여 BBBB 임과 필요충분조건인데 그러하기 때문이다.

고로, BBBT 이며 이것은 최소상계이다. 보조정리(S.T) 5.1) 의 가정에서 부분순서집합으로 (T,≤=⊆) 를 생각하면, 이것의 임의의 사슬 B 의 최소상계 BBBT 에 속한다. 그러므로 보조정리의 가정은 모두 만족되었다. 따라서 보조정리에 의하여 f(T)=T 가 되게 하는 어떤 사슬 TT 가 존재한다.

그런데, 맨 처음 함수의 정의에 의하여 f(T)=g(T) 로 정의하였다. T 는 정의에 의해 TTT 으로 이루어진 집합이니 Tg(T)TTT 이고, 고로 Tf(T) 이다. 따라서 윗 문단에서 보조정리를 사용한 결과 f(T)=T 는 이러한 함수 f 가 존재한다는 것에 모순이다.

 

 

 

[참고문헌]

You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery

 

 

 

 

  1. 귀류법으로 간단히 보일 수 있음 [본문으로]
  2. 집합 C 의 정이를 보면 조건제시법의 바(bar) 다음 부분이 조건문으로 제시되어 있음을 참조 [본문으로]
  3. 첫번째 부등호는 xC 이기 때문에 성립하고, 두번째 부등호는 함수 f 의 정의 때문 [본문으로]
  4. 이렇게 택할 수 있는 까닭은 g 는 임의의 gG 이기 때문 [본문으로]
  5. 왜냐하면 T 에 극대원소가 없다고 가정했기 때문이다. 극대원소가 없다면 임의의 원소에 대해 그보다 더 상위의 포함집합이 반드시 존재한다는 논리이다. [본문으로]
  6. 예컨대 위의 사진에서 파란색 부분의 사슬을 잡았다고 해보자. 다만 주의할 것이 위의 사진 상황은 하나의 예시이며, 이 증명에서는 가장 처음에 우리가 T 에 극대원소가 없다고 잡았으니 실제로 사진의 윗 부분에 계속해서 집합이 존재하는 꼴이여야 함을 참고. [본문으로]
  7. 즉 원소가 b,c 인 집합 {b,c} [본문으로]
  8. 예컨대 위 그림에서 주황색 사슬이 C 가 되는 것이고, CCC={a,b,c} 가 될 것이다. [본문으로]

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