위상동형에 대한 간단한 정의를 기억하게 되었다면 다음으로 공간의 연결성과 옹골성(compact)을 차례대로 학습하고, 위상동형의 개념을 몫 공간에 대한 개념과 연결짓게 되면 본격적으로 위상수학에 대한 감이 잡히게 됩니다. 이번 글에서는 연결성을 다룰 것이며 연결성의 개념은 앞 부분에 비해서 많이 어렵지 않기 때문에 여태까지 배운 내용만 잊지 않았다면 천천히 학습하는 것이 가능합니다.
1. 분리성
1) 정의
정의($T.P$) 4-1)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자. $X$ 의 공집합이 아닌 두 부분집합 $U,V\in\mathcal{T}$ 에 대해 $U\cap V = \emptyset$ 이고 $X=U\cup V$ 가 성립하는 경우, $X$ 는 '분리되어 있다(separated)' 또는 '비연결되어있다(disconnected)'고 한다. 이렇게 두 부분집합으로 $X$ 를 나누는 것을 $X$ 의 '분리(separation)'이라고 한다. 이때 $X$ 는 '비연결공간(disconnected space)'라 한다.
정의($T.P$) 4-2)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자. 만일 $X$ 의 분리(separation)가 존재하지 않는 경우 $X$ 는 '연결되어있다(connected)'고 한다. 이때 $X$ 는 '연결공간(connected space)'라 한다.
연결과 분리는 배타적인 개념으로, 간단히 말해 주어진 집합을 공집합이 아닌 서로소인 두 열 부분집합으로 분할하는 것과 유사합니다. 그것이 가능하다면 분리가 가능한 것으로 $X$ 는 연결되어 있지 않다고 하며, 이것이 불가능한 경우 $X$ 는 연결되어 있다고 합니다. 주의할 것은 어떤 '위상'이 연결되어 있다, 연결되어 있지 않다를 말하는 것이 아니라, '위상공간' $X$ 의 연결 여부를 말하는 것임을, 이러한 표현상의 특징에 주목하도록 합시다.
정의만 기억하면 연결과 비연결(분리)의 예시들을 살펴보는 것이 중요합니다. 다만 그 전에 개념 하나와 정리 하나를 소개합니다.
정의($T.P$) 4-3) 클로펜집합
열린집합이면서 동시에 닫힌집합을 '클로펜집합(Clopen set)'이라고 한다.1
정리($T.P$) 4.1)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 가 연결되어있을 필요충분조건은, $X$ 의 유일한 열린집합이자 동시에 닫힌집합인 부분집합이, 오직 자기 자신 $X$ 와 공집합 $\emptyset$ 인 것이다.
증명) $\Longrightarrow $ : $X$ 가 연결공간이고 $A\subset X$ 를 $X$ 의 열린집합이자 닫힌집합인 진부분집합이라고 하자. 그러면 $U=A$ 라 두고 $V=X-A$ 라 두었을 때, $U,V$ 는 공집합이 아니며 교집합이 공집합이기 때문에 이들을 통해 $X$ 를 분리가능하고, 이는 $X$ 가 연결공간임에 모순이다.
$\Longleftarrow$ : $X$ 의 클로펜집합을 자기 자신 $X$ 와 공집합 $\emptyset$ 뿐이라고 해보자. 그리고 귀류법을 사용하여 $X$ 가 비연결공간이라고 가정한다. 그러면 $X$ 를 공집합이 아니면서 서로소인 두 열린집합 $U,V$ 로 나눌 수 있고 $X=U\cup V$ 가 성립한다. 그러면 우리의 가정에 의해 $U=X$ 이거나 $U=\emptyset$ 이어야 한다. 후자의 경우 가정($U$ 가 공집합이 아니라는 사실)에 모순이고, $U=X$ 인 경우에도 $V=\emptyset $ 가 되어 가정에 모순이다. 따라서 $X$ 는 연결공간이다. $_\blacksquare$
예제 1) 공집합이 아닌 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자. 자명위상(trivial topology or indiscrete topology) 로 위상이 부여된 $(X,\mathcal{T}_t)$ 는 연결되어 있다. 왜냐하면 $\mathcal{T}_t= \{ \emptyset, X \}$ 으로, 유일한 클로펜집합이 공집합과 자기 자신 뿐이기 때문이다. $_\blacksquare$
예제 2) 둘 이상의 점을 포함하는 이산위상(discrete topology)이 부여된 위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$ 를 생각하자. 그러면 $(X,\mathcal{T}_d)$ 는 분리되어 있고, 비연결집합이다. 이에 대해 논하라.
Sol) $A\subset X$ 를 생각하자. 그러면 $X-A:=B$ 라 할 때 $A\cup B=X$ 이고 $A\cap B=\emptyset$ 이 되도록 서로소인 공집합이 아닌 $X$ 의 두 진부분집합 $A,B$ 를 고르는 것이 가능하다. 따라서 $X$ 는 분리되어 있다. 실제로 이산위상은 가능한 $X$ 의 모든 부분집합들로 이루어진 위상이기 때문에 모든 점들이 서로 떨어져 있다는 특징을 직관적으로도 생각할 수 있을 것이다. $_\blacksquare$
예제 3) 보통위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_u)$ 를 생각하자. $0$ 이 아닌 실수집합 $Y=\mathbb{R}-\{ 0\}$ 에 $\mathbb{R}$ 에서의 부분공간위상이 부여되어 있다고 하였을 때, $Y$ 는 분리되어 있음을 보여라.
Sol) $Y=\mathbb{R}-\{ 0\} = (-\infty, 0)\cup (0,\infty)$ 로 표현 가능하다. 여기서 $(-\infty,0)$ 과 $(0,\infty)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서의 열린집합이기 때문에, 부분공간 $Y$ 에서도 열린집합이다. 그리고 이 두 집합은 서로소이며 교집합이 공집합에 해당하므로, $Y$ 는 분리 가능하다. 따라서 비연결공간이다. $_\blacksquare$
예제 4) 위상공간 $X=\{ a,b,c\}$ 에 부여된 위상이 $\mathcal{T}=\{ \emptyset, X, \{ a\}, \{b\} , \{a,b\} \}$ 에 대하여 $X$ 는 연결집합인가?
Sol) $(X,\mathcal{T})$ 는 연결되어있다. 위상을 보면 $\{c\}$ 를 포함하는 열린집합이 존재하지 않는다. $X$ 를 분리하려면, 서로소이면서 합집합이 $X$ 가 되고 교집합은 공집합인 두 열린집합이 필요한데, 그 어떤 열린집합을 택해도 $c$ 를 포함하고 있지 않기 때문에 $X$ 를 분리할 수 없다는 뜻이다. $_\blacksquare$
그러니까 이런 류의 문제는 그냥 위상 $\mathcal{T}$ 에서, 어떤 서로소인 두 원소(열린집합)를 택해서 합집합했을 때 $X$ 를 만들 수 있는지만 보면 끝납니다. 만들 수 있다면 분리할 수 있다는 것이니 비연결집합인 것이고, 만들 수 없다면 연결집합인 것입니다.
2) 분리집합
정의($T.P$) 4-4) 분리집합
$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라고 하고 $\emptyset \neq A,B\subseteq X$ 를 생각하자. 만일 $\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\emptyset$ 이 성립하면, $A$ 와 $B$ 를 ($X$ 의) '분리집합(separated set)'이라고 부른다. 이때 두 집합 $A,B$ 는 '정확히 분리된다(precisely separated)'2고 표현하기도 한다.
정리($T.P$) 4.2)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 에서 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① $X$ 는 비연결되어있다(분리 가능하다).
② $X$ 는 서로소이고 공집합이 아닌 두 닫힌집합의 합집합이다.
③ $X$ 는 두 분리집합의 합집합이다.
④ $X$ 에서 두 점으로 이루어진 이산공간 $\{ a,b\}$ 위로의 전사인 연속함수가 존재한다.
⑤ $X$ 는 클로펜집합 $A\subset X$ 를 포함한다.
⑥ $X$ 는 $\overline{A} \cap \overline{X-A} =\emptyset$ 을 만족하는 진부분집합 $A$ 를 포함한다.
따름정리($T.P$) 4.2.1)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 에서 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① $X$ 는 연결되어 있다.
② $X$ 는 서로소이고 공집합이 아닌 두 닫힌집합의 합집합으로 표현할 수 없다.
③ $X$ 는 어떠한 두 분리집합의 합집합으로도 표현할 수 없다.
④ $X$ 에서 두 점으로 이루어진 이산공간 $\{ a,b\}$ 위로의 전사인 연속함수가 존재하지 않는다.
⑤ $X$ 는 오직 자기 자신 $X$ 와 공집합 $\emptyset$ 만을 클로펜집합으로 갖는다.
⑥ $X$ 는 $\overline{A} \cap \overline{X-A} =\emptyset$ 을 만족하는 진부분집합 $A$ 를 포함하지 않는다.
증명)
① $\Longrightarrow$ ②, ⑤ : $X$ 가 분리가능하면 공집합이 아닌 서로소인 두 열린집합 $A,B\subseteq X$ 에 대해 $A\cup B$ 가 성립한다. 그런데 이 두 집합은 열린집합이고, 그러면 닫힌집합의 정의에 의하여 $A=X-B$ 와 $B=X-A$ 는 닫힌집합이다. 다시 말해 $A,B$ 는 클로펜집합이고,3 결국 $X=A\cup B$ 라는 표현은 $X$ 가 서로소인 공집합이 아닌 두 닫힌집합의 합집합으로 표현 가능하다는 뜻이다.
① $\Longrightarrow$ ③ : $A,B$ 는 클로펜집합이므로, 자기 자신과 폐포가 같아 $A=\overline{A}$ 이고 $B=\overline{B}$ 이다. 따라서 $A\cap B= \overline{A}\cap B=\emptyset = A\cap \overline{B} = A\cap B$ 가 성립한다. 고로 $X$ 는 분리집합 $A,B$ 의 합집합이다.
① $\Longrightarrow$ ④ : 함수 $f: X\longrightarrow \{ a,b\}$ 를
$$f(x)= \left\{ \begin{array}{cl}
a& (x\in A) \\
b & (x\in B)
\end{array} \right.$$
이라 정의하자. 이때 $X$ 가 $A,B$ 로 분리된다고 생각한다. 그러면 $f(x)=a$ 인 $x\in X$ 는 존재하고, $f(x)=b$ 인 $x\in X$ 도 존재하니, 분명히 $f(X)=\{a,b\}$ 로 이는 전사함수다. 또한, $f^{-1}(\{a\}) = A$ 이고 $f^{-1}(\{ b\})= B$ 가 성립한다. 이는 열린집합 $\{a\}, \{b\}$ 를4 열린집합 $A,B$ 각각으로 보낸다는 것으로 $f$ 가 연속함수임을 의미한다.
① $\Longrightarrow$ ⑥ : ① 이 성립하면 위에서 ③과 ⑤가 성립함을 보였다. 우선 ⑤ 를 활용하여 $X$ 가 클로펜집합 $A$ 를 진부분집합으로 가진다고 하자. ③을 활용하면, $B:=X-A$ 라고 하였을 때 $B$ 는 클로펜집합이니 닫힌집합이기도 하다. 따라서 $\overline{B}=\overline{X-A}=B$ 라 적을 수 있으므로, 주어진 식은 $\overline{A}\cap B=\emptyset$ 을 만족하는 진부분집합 $A$ 가 존재한다는 것과 같다. 고로 ⑥ 이 증명된다.
② $\Longrightarrow$ ① : 서로소이고 공집합이 아닌 두 닫힌집합 $C,D$ 에 대하여 $X=C\cup D$ 라 한다. 그러면 $D=X-C$ 이고 $C=X-D$ 가 성립하므로 $C,D$ 는 모두 클로펜집합이며, 고로 열린집합이다. 그러면 $X$ 는 비연결되어있다.
③ $\Longrightarrow$ ① : $X$ 가 두 분리집합 $C,D$ 의 합집합이라 $X=C\cup D$ 라고 가정하자. 그러면 $C,D$ 는 공집합이 아니고, 분리집합의 정의에 의해 $\overline{C}\cup D=\emptyset$ 이기 때문에 $\overline{C}= C$ 가 성립하여 $C$ 는 닫힌집합이 된다. 유사하게 $D$ 도 닫힌집합임을 보일 수 있다. 그러면 $C=X-D$ 이고 $D=X-C$ 가 성립하니 $C,D$ 는 결국 클로펜집합이다. 따라서 $X$ 는 비연결되어있다.
④ $\Longrightarrow$ ① : 함수 $f: X\longrightarrow \{ a.b\}$ 가 연속이면 $f^{-1}(a)$ 와 $f^{-1}(b)$ 는 $X$ 의 서로소이면서 열린 부분집합이며 둘의 합집합이 $X$ 가 된다. 또한 $f$ 는 전사함수로 $a,b$ 가 $f$ 의 명백한 상(image)이므로 $f^{-1}(a)$ 와 $f^{-1}(b)$ 는 공집합이 아니다. 따라서 $X$ 는 분리 가능하다.
⑤ $\Longrightarrow$ ① : $A\subset X$ 가 $X$ 의 클로펜집합이라고 하자. $B=X-A$ 라 하면 이는 $A$ 와 서로소이며 공집합이 아닌 $X$ 의 진부분집합이자 열린집합이다. 동시에 $X=A\cup B$ 이므로, $X$ 는 비연결공간이다.
⑥ $\Longrightarrow$ ① : $X$ 가 $\overline{A}\cup \overline{X-A} =\emptyset$ 을 만족하는 진부분집합 $A$ 를 포함한다고 하자. 이때 두 폐포는 닫힌집합이며, 서로소이고 공집합이 아니면서 합집합은 $X$ 다. 고로 두 폐포는 열린집합이기도 하며 $X$ 는 분리 가능하다.
따름정리의 증명) 어떠한 명제가 참이면 그 명제의 대우도 참이다. 따라서 원래 정리에서 $P_1\Longleftrightarrow P_2 \Longleftrightarrow P_3 \Longleftrightarrow \cdots$ 이라면 그것들의 부정 또한 $\sim P_1 \Longleftrightarrow \sim P_2 \Longleftrightarrow \sim P_3 \Longleftrightarrow \cdots$ 으로 동치임을 알 수 있다. $_\blacksquare$
예제 5) $(\mathbb{R},\mathcal{T}_u)$ 의 부분공간을 $A=[-1,0)\cup (0,1]$ 이라 하자. $A$ 는 $\mathbb{R}$ 의 연결 부분공간인가?
Sol) 각 구간의 폐포를 고려해서 분리집합 여부를 따져보면 좋다. $A$ 를 두 개의 열린집합 $U=[-1,0)$ 과 $V=(0,1]$ 로 나누어 고려해보자. $A=U\cup V$ 이며 $U$ 와 $V$ 는 공집합이 아니면서 서로소이다. 그런데 이때 $\overline{U}=[-1,0]$ 이고 $\overline{V}=[0,1]$ 이라서, $\overline{U}\cap V=\overline{V}\cap U=\emptyset$ 이 성립한다. 따라서 $U,V$ 는 부분공간 $X$ 의 분리집합에 해당하고, 정리($T.P$) 4.3)-③ 에 의하여 $X$ 는 비연결되어 있다. $_\blacksquare$
3) 연결공간의 많은 성질들
연결성에 관한 성질들이 굉장히 많아서, 그를 다루는 정리들도 상당히 많습니다. 다만 증명이나 이해의 난이도는 여태까지 해왔던 것에 비해 꽤나 쉬운 편이니, 하나씩 잘 따라갈 수 있을 것입니다.
정리($T.P$) 4.3)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 가 $U,V$ 로 분리 가능하다고 하자. 만일 $Y$ 가 $X$ 의 연결 부분공간이라면, $Y$ 는 $U$ 와 $V$ 둘 중 오직 하나에만 속한다.
증명) $U,V\in\mathcal{T}$ 가 성립하며 $Y$ 가 $X$ 의 부분공간이기 때문에, $A:=U\cap Y$ 와 $B:=V\cap Y$ 는 모두 $Y$ 에서의 열린집합이 된다. 그러면 $A,B$ 는 $A\cap B=\emptyset$ 이며 $Y=A\cup B$ 가 성립한다. 그런데 우리의 가정에 의해 $Y$ 는 연결되어 있으므로, $A,B$ 중 하나는 공집합이어야만 한다. 그러면 결국 $Y$ 는 $A$ 에만 속하거나 $B$ 에만 속하거나 둘 중 하나만 성립하게 된다. $_\blacksquare$
정의($T.P$) 4-5) 연속불변량
연속함수에 의해 보존되는 성질을 '연속불변량(continuous invariant)'이라고 정의한다.
'불변량(invariant)'라는 용어는 위상수학에서도 등장하고 물리학에서도 등장하는 유명한 친구입니다. 보통 물리학에서 불변량이라는 것은 어떤 요인(시간이나 공간 등)에 따라 변하지 않는 보존되는 물리적 성질이나 양을 가리킵니다. 대표적인 것으로 '뇌터정리(Noether's Theorem)'을 들 수 있습니다.5 여기서도 이와 비슷한 맥락에서, 어떤 함수가 연속이라면 그 연속함수가 가지고 있는 성질이 있을 것입니다. 이때 아래의 정리($T.P$) 4.4) 에서처럼 연속함수가 어떤 성질(정의역의 연결성)을 보존(치역의 연결성)하는 경우에서 불변량의 개념이 적용되는 것이라고 생각하면 좋습니다. 연속함수가 대응(mapping)하는 과정에서 정의역의 공간의 특정 위상적 성질이 치역에도 전달된다(convey)는 개념입니다.
정리($T.P$) 4.4) 연속인 전사함수는 연결성을 보존한다
전사함수 $f:X\longrightarrow Y$ 가 연속이라고 하자. $X$ 가 연결공간이면, $Y$ 도 연결공간이다. 즉, 연결성은 연속불변량이다.
따름정리($T.P$) 4.4.1)
위상공간 $X,Y$ 에 대하여 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 가 연속이라고 하자. 만일 $X$ 가 연결공간이면, $f$ 의 치역 $f(X)\subseteq Y$ 는 $Y$ 의 연결 부분공간(connected subspace)이다.
증명) 대우 명제를 증명하자. 즉 $Y$ 가 비연결공간이라고 먼저 가정하자. 그러면 공집합이 아니면서 서로소인 두 열린집합 $A,B$ 가 존재하여 $Y=A\cup B$ 가 성립한다. 그러면 $f$ 가 연속이므로 $f^{-1}(A)$ 와 $f^{-1}(B)$ 는 모두 열린집합이며, $f$ 가 그냥 함수이기 때문에 이들은 서로소이고, $f$ 가 전사함수이므로 둘은 모두 공집합이 아니다. 마지막으로,
$$X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(A\cup B) \underset{\text{by set theory}}{=} f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$$
가 성립하기에 $X=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ 가 만족된다. 따라서 $X$ 도 비연결공간이다. $_\blacksquare$
따름정리의 증명) 치역은 공역의 부분집합이니 $f(X)\subseteq Y$ 가 자명하고, 위 정리에 의하면 $Y$ 가 연결공간이므로 $f(X)\subseteq Y$ 는 $Y$ 의 부분공간이다. $_\blacksquare$
정리($T.P$) 4.5) 비연결 부분공간의 특징
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 의 부분공간 $(Y,\mathcal{T}')$ 이 비연결되어있을 필요충분조건은 다음 네 관계식을 만족하는 $X$ 의 열린 부분집합 $U,V$ 가 존재하는 것이다.
$$U\cap Y\neq \emptyset\;,\; V\cap Y\neq \emptyset\;,\; U\cap V\cap Y=\emptyset\;,\; Y\subseteq (U\cup V)$$
증명) $\Longrightarrow$ : $(Y,\mathcal{T}')$ 이 비연결되어있다고 가정하자. 그러면 $Y$ 에 대한 부분공간위상에서 서로소이며 공집합이 아닌 두 열린집합 $A,B\in\mathcal{T}'$ 이 존재하여 $Y=A\cup B$ 가 성립한다. 그런데 $Y$ 가 $X$ 의 부분공간이므로 $U,V\in\mathcal{T}$ 가 존재하여
$$A=U\cap Y\;,\;B=V\cap Y$$
가 성립하게 된다. 그러면 $A,B\neq \emptyset$ 에서 첫번째와 두번째 조건이 만족되고, $A\cap V=\emptyset = B\cap U$ 라는 점에서 세번째 조건도 만족되며, $U\cup V=X$ 이므로 $Y\subseteq X$ 또한 성립한다.
$\Longleftarrow$ : $U,V\in\mathcal{T}$ 라고 하자. 그러면 $U\cap Y:=A\neq \emptyset$, $V\cap Y:=B\neq \emptyset$ 이다. 즉 $Y$ 부분공간이니 $U$ 와도, $V$ 와도 교집합이 존재할 수밖에 없고 그것을 $A,B$ 라 정의하겠다는 뜻이다. 가정에 의해 $U\cap Y\cap V=\emptyset$ 이므로 $A,B$ 는 공집합이 아닌 서로소인 $Y$ 에서의 상대적 열린집합에 해당한다. 마지막으로 네번째 가정에 의해 $Y\subseteq (U\cup V)$ 가 성립하므로 $A\cup B=Y$ 가 성립한다. 따라서 $Y$ 는 비연결되어있다. $_\blacksquare$
정리($T.P$) 4.6) 연결 부분공간의 폐포도 연결되어 있다
위상공간 $X$ 의 연결 부분공간을 $Y$ 라 하면, $\overline{Y}$ 또한 연결되어 있다.
따름정리($T.P$) 4.6.1)
위상공간 $X$ 의 연결 부분공간을 $Y$ 라 하고 $X$ 의 부분공간을 $Z$ 라 하자. 만일 $Y\subseteq Z\subseteq \overline{Y}$ 가 성립하면, $Z$ 는 연결되어 있다.
증명) 따름정리($T.P$) 4.2.1)-④ 를 활용하여, 함수 $f:\overline{Y}\longrightarrow \{ a,b\}$ 가 전사인 연속함수가 아님을 보이면 충분하다. 이때 구체적으로는 $f$ 가 연속이면서 전사가 아님을 보이려고 한다.
만일 $f^{-1}(a)$ 와 $f^{-1}(b)$ 가 모두 공집합이 아니라고 하자. 즉 $y\in\overline{Y}$ 인 어떤 $y$ 중 $a$ 로 가는 것도 있고, $b$ 로 가는 것도 있다고 생각해 보자는 뜻이다. 그렇다면 $\{a,b\}$ 는 이산공간이기 때문에 $f^{-1}(a)\cap f^{-1}(b)=\emptyset$ 이 되어 $\overline{Y}$ 는 비연결공간이라 모순이다. 따라서 전사함수임을 가정하기 위해 $f$ 의 치역은 오직 $a,b$ 중 하나만을 포함해야 하고, 일반성을 잃지 않고 그 점을 $a$ 라 하여 $f(\overline{Y})=\{a\}$ 라 해보자. 그러면 $f$ 는 연속함수이므로 정리($T.P$) 2.28)-② 에 의해
$$f(\overline{Y})\subseteq \overline{f(Y)} = \{ \overline{a} \} = \{ a\}$$
가 성립한다. 즉 $\overline{Y}$ 의 치역 $f(\overline{Y})$ 공역 $\{a,b\}$ 보다 작은 집합이다. 이는 $f$ 가 전사라는 우리의 가정에 모순이다. 따라서 $\overline{Y}$ 는 연결되어 있음을 알 수 있다. $_\blacksquare$
따름정리의 증명) $Y$ 가 연결되어 있다고 하고 $Y\subseteq Z\subseteq \overline{Y}$ 에서 시작하자. 귀류법을 사용하기 위해 $Z=A\cup B$ 를 $Z$ 의 분리라고 가정하자. $Y$ 는 $Z$ 의 부분공간이기도 하기에, 정리($T.P$) 4.3) 에 의하여 $Y$ 는 $A$ 와 $B$ 둘 중 하나에만 속해 있어야 한다. 일반성을 잃지 않고 $Y\subseteq A$ 라 해보자. 그러면 폐포의 성질에 의해서 $\overline{Y}\subseteq \overline{A}$ 가 성립해야 한다. 그런데 우리의 조건에 의하면 $Y\subseteq A\subseteq Z\subseteq \overline{Y}$ 가 되므로, 결국 $A=Y$ 를 의미한다. 이는 $Z$ 를 서로소인 공집합이 아닌 두 $X$ 의 열린집합 $A,B$ 로 분리시킬 수 있다는 것에 모순이다. 따라서 $Z$ 는 연결되어 있다. $_\blacksquare$
정리($T.P$) 4.7)
위상공간 $X$ 의 연결 부분집합으로 이루어진 집합족 $\{A_\alpha \mid \alpha\in I\}$ 를 생각하고, $\displaystyle \bigcap_{\alpha\in I}^{}A_\alpha \neq \emptyset$ 이라고 하자. 그러면 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}A_\alpha$ 은 연결되어 있다.
따름정리($T.P$) 4.7.1)
위상공간 $X$ 의 연결 부분집합으로 이루어진 집합족 $\{ A_\alpha \mid \alpha \in I \}$ 와 $X$ 의 연결 부분집합 $B$ 를 생각하자. 임의의 $\alpha\in I$ 에 대하여 $A_\alpha\cap B\neq \emptyset$ 이면, $B\cup \left( \displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}A_\alpha \right)$ 는 연결집합이다.
증명) 정리($T.P$) 4.5) 를 이용하여 집합 $Y=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}A_\alpha$ 가 연결되어 있음을 보이려고 한다. 해당 명제의 대우명제를 생각해서, 결론으로 $Y$ 가 연결되어있다는 것을 도출해 내려면 가정을 위상공간 $X$ 에서 열린집합 $U,V$ 가
$$U\cap Y\neq \emptyset\;,\; U\cap V\cap Y=\emptyset\;,\; Y\subseteq (U\cup V)$$
을 만족한다고 가정하고, 네가지 중 나머지 하나의 조건을 부정으로 뒤집어 $V\cap Y=\emptyset$ 이 되도록 하여, 이를 보이게 되면 충분하다는 뜻이다.
$U\cap Y\neq \emptyset$ 이므로 $U$ 는 어떤 $\alpha'\in I$ 에 대하여 $A_{\alpha'}$ 의 원소 $p\in A_{\alpha'}$ 를 생각하면 $p\in U$ 가 성립해야 한다. 그런데 이때 $A_{\alpha'}$ 는 연결되어 있으므로 $A_{\alpha'} \subseteq U$ 가 성립한다. 왜냐하면, 만일 $A_{\alpha'}$ 가 연결되어 있지 않다면, 분리 가능하다는 뜻이고, 그것은 $A_{\alpha'}=U\cup V$ 와 같이 공집합이 아닌 서로소인 $X$ 에서의 열린집합 $U,V$ 의 합집합으로 표현 가능하다는 것이기 때문이다.
유사한 논리로, 이때 $p\in \displaystyle \bigcap_{\alpha\in I}^{}A_\alpha$ 이라고 해보자. 그러면 응당 $p\in A_{\alpha'}$ 이므로 $p\in U$ 또한 성립하고, 고로 $U$ 는 $\alpha\in I$ 마다 $A_\alpha$ 에 들어있는 공통된 원소 $p$ 를 포함하게 된다. 그러면 모든 $\alpha\in I$ 에 대하여 $A_\alpha \subseteq U$ 가 성립하게 된다. 이를 정리하면
$$Y=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}A_\alpha\subseteq U$$
가 된다. 따라서 $V\cap Y=\emptyset$ 이 되고, 우리의 증명 방법에 의해 정리($T.P$) 4.5) 에 의해 $Y$ 는 연결되어 있다. $_\blacksquare$
따름정리의 증명) 위 정리에 의하면 $B$ 가 이미 연결집합이기 때문에 임의의 $\alpha\in I$ 에 대하여 $A_\alpha\cup B$ 는 연결집합이고, 우리의 가정에 의하면 모든 $\alpha\in I$ 에 대하여 $A_\alpha \cap B\neq \emptyset$ 이 성립하므로
$$\displaystyle \bigcap_{\alpha\in I}^{}(A_\alpha\cup B)\neq \emptyset$$
이 성립한다. 그러면 이제 정리($T.P$) 4.7) 을 적용할 수 있고, 집합
$$B\cup \left( \displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}A_\alpha\right)=
\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}\left( A_\alpha \cup B \right)$$
는 연결집합이다. $_\blacksquare$
위 따름정리를 사용하면 아래의 정리까지 증명할 수 있습니다.
정리($T.P$) 4.8)
$\{ A_n\}_{n=1}^\infty$ 가 위상공간 $X$ 의 연결 부분집합으로 이루어진 수열이고, 임의의 자연수 $n\geq 1$ 에 대하여 $A_n$ 이 $A_1\cdots A_{n-1}$ 중에서 한 집합과 공통으로 가지는 원소가 적어도 하나 있다고 하자.6 그러면 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ 은 연결집합이다.
증명) 수학적 귀납법을 사용한다.
i) (Base step) : $n=1$일 때, $A_1$ 은 연결집합이고, $A_1$ 은 가정에 의해 $A_2\cdots A_n$ 중 한 집합과 공통으로 갖는 원소가 적어도 하나 존재한다. 그러한 집합을 $A_2$ 라고 하자. 그러면 $A_1\cap A_2\neq \emptyset$ 이므로, 따름정리($T.P$) 4.7.1) 에 의하여 $A_1\cup A_2$ 는 연결집합이다.
ii) (Inductive hypothesis) : $n=k$ 일 때 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_k$ 이 연결집합이라고 가정한다.
iii) (inductive step) : $n=k+1$ 일 때 성립함을 보여야 한다. 마찬가지로 따름정리($T.P$) 4.7.1) 을 사용하면 $\left( A_{n+1} \cap \displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_k \right)\neq \emptyset$ 즉 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}A_k$ 과 공통된 원소를 적어도 하나 갖는 집합을 $A_{n+1}$ 이라고 잡을 수 있다. 사실 여기서 꼭 그러한 집합이 반드시 순서적으로 $n+1$ 번째가 될 필요는 없지만, 그러한 집합을 $n+1$ 번째로 지정한다고 생각하면 된다. 그러면 $A_{n+1}$ 을 포함한 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n+1}A_k$ 또한 연결집합임을 알 수 있다. 이를 반복하면 $n=1$ 부터 $\infty$ 까지 주어진 명제가 성립함을 알 수 있다. $_\blacksquare$
2. 성분
1) 정의
정의($T.P$) 4-6)
위상공간 $X$ 의 연결 부분집합 $C\subseteq X$ 를 생각하자. $C$ 가 $X$ 의 임의의 연결 부분집합의 진부분집합이 아닐때, 다시 말해 $C$ 를 포함하면서 $C$ 보다 더 큰 다른 연결 부분집합이 존재하지 않을 때, $C$ 를 $X$ 의 '성분(components)'이라 한다. 곧 성분은 주어진 위상공간에서 최대 연결 부분집합을 의미한다.
정의($T.P$) 4-7)
위상공간 $X$ 의 각 성분이 원소를 단 한개씩만 포함하면, $X$ 가 '완전분리(totally disconnected)'되어 있다고 한다.
정리($T.P$) 4.9)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 그것의 성분 $C$ 에 대해 다음이 성립한다.
① 임의의 점 $a\in X$ 는 정확히 성분 한 개에만 포함된다. 보통 이를 $C_a$ 라 표기한다. $C_a$ 는 $a$ 를 포함하는 $X$ 의 모든 연결 부분집합의 합집합으로 $a$ 를 포함하는 $X$ 내의 가장 큰 열린 부분집합이다.
② $a,b\in X$ 에 대해 $C_a=C_b$ 이거나 $C_a\cap C_b=\emptyset$ 둘 중 하나만 성립한다.
③ $X$ 의 임의의 연결 부분집합은 어떤 성분에 반드시 포함된다. (또는 성분 그 자체가 된다)
④ $X$ 의 성분은 각각 닫힌집합이다.
⑤ $X$ 가 연결집합일 필요충분조건은 $X$ 가 성분 한 개로 구성되는 것이다.
⑥ $C$ 가 $X$ 의 성분이고, $A,B$ 가 $X$ 의 분리이면 $C\subseteq A$ 이거나 $C\subseteq B$ 둘 중 하나만 성립한다.
증명) ① 정리($T.P$) 4.7,8) 을 생각하자. $A_\alpha$ 의 개수가 유한할수도, 무한할수도 있다.여기서 각각의 집합들이 $a\in X$ 라는 원소를 공통으로 가진다고 생각한다. 즉 $A_i$ 들은 전부 $a$ 라는 원소를 포함하는 연결 부분집합들인 셈이다. 그러면 그들의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}A_\alpha$ 또한 연결집합이고 이것을 $C_a$ 라고 정의하면, 이는 성분의 원래 정의인 정의($T.P$) 4-6) 과 맞아 떨어진다.
② ① 을 고려하면 $a,b\in X$ 에 대해 둘은 같은 성분에 속하여 $C_a=C_b$ 가 되거나, 다른 성분에 속하여 $C_a\cap C_b=\emptyset$ 이 된다.
③ 성분의 정의에 따라 자명하다.
④ $X$ 가 연결집합이라고 하자. 그러면 아래에서 곧 증명할 ⑤ 에 의하여 $X$ 의 성분은 자기 자신이고, 가정에 의해 $X$ 는 연결집합이므로 정리($T.P$) 4.1) 에 의하여 클로펜집합이라 닫힌집합이다.
$X$ 가 연결집합이 아니라고 하자. 그러면 ⑤ 에 의해 $X$ 는 둘 이상의 성분으로 분리 가능하다.
⑤ $\Longrightarrow $ : 대우명제를 증명한다. $X$ 가 성분 한 개로 구성되어 있지 않다고 하여, 성분 $C_1, C_2$ 로 구성되어 있다고 가정한다. 물론 여기서 $C_1\neq C_2$ 이다. 그러면 ⑥ 에 의하여 $C_1, C_2$ 는 서로 다른 $X$ 의 서로소인 열린집합(분리)에 속해야만 한다. 그러므로 $X$ 는 분리 가능해야하여 연결집합이 될 수 없다.
$\Longleftarrow $ : $X$ 가 성분 한 개로 구성되어 있으면 $X$ 자체로 연결집합이 되며 $X$ 보다 작은 연결집합이 존재하지 않음을 뜻한다. 그러면 정리($T.P$) 4.1) 에 의하여 $X$ 는 연결공간이다.
⑥ 위상공간 $X$ 가 $A,B$ 로 분리되었다고 하자. $A\neq B$ 이기 때문에, 그리고 ② 에 의하면 어떤 성분 $C\subseteq X$ 는 $X$ 의 연결 부분공간이기 때문에, 정리($T.P$) 4.3) 에 의해 $C\subseteq A$ 이거나 $C\subseteq B$ 둘 중 하나만 성립해야 한다. $_\blacksquare$
예제 6) $\mathbb{R}$ 의 부분공간 $X=(0,1)\cup (2,3)$ 에서 성분은 몇 개인가?
Sol) 성분은 $(0,1)$ 과 $(2,3)$ 으로 두 개이다. 성분은 닫힌집합이다. 그런데 부분공간위상의 정의에 따라 $(0,1)=X\cap (0,1)$ 과 $(2,3)=X\cap (2,3)$ 으로 나타낼 수 있으며 $(0,1),(2,3)$ 은 $\mathbb{R}$ 에 보통위상이 주어졌을 때 위상의 원소, 즉 열린집합이다. 따라서 이 두 집합은 클로펜집합이다. $_\blacksquare$
[참고문헌]
Fred H Croom, principles of Topology
- close 와 open 을 합쳐 만든 가상의 영단어입니다. 두 단어 모두 'o'를 포함하므로 연결이 가능한데, 한국어로 번역하는 경우에는 '열린'과 '닫힌'의 겹치는 자음이 없기 때문에 굳이 '열닫집합' 등으로 번역하기 보다는 '클로펜집합'이라고 적겠습니다. [본문으로]
- 위상수학에서 '분리'에 대한 개념이 깊게 들어가면 몇몇으로 나뉘어져 있습니다. 여기서 말하는 분리는 정확히 쪼갤 수 있다는 의미에서의 분리라고 받아들이면 됩니다. [본문으로]
- 이로부터 ⑤ [본문으로]
- 여기서 이것이 성립하는 이유가 무엇일까요? $\{a,b\}$ 라는 집합이 이산공간이라고 하였다는 것은, 이 위상공간에 위상을 부여한 방법이 이산위상이라는 뜻입니다. 곧, 이산위상에서는 각각의 원소가 단원소집합으로 존재할 수 있어서 단원소집합들은 항상 열린집합이 된다는 논리에 해당합니다. [본문으로]
- 물론 대수학(Algebra)의 환론에서도 뇌터에 관한 정리가 있습니다. [본문으로]
- $A_n$ 이, $A_1\cdots A_{n-1}$ 중 한 집합과, 적어도 하나의 원소를 공통으로 가진다는 뜻. [본문으로]
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