열린집합과 닫힌집합을 이해할 때 열린공과 닫힌공의 개념을 통해 학습할 수도 있지만, 이를 넘어서 위상적 성질을 탐구하기이전에 몇몇 점들의 종류를 익히는 것이 좋습니다. 오늘은 $\mathbb{R}^n$ 으로 넘어가기 전에, 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 사실 이 방법을 통해 먼저 열린집합과 닫힌집합을 정의해도 되지만, 점들의 종류를 직관적으로 이해하기 이전에 간단히 이전 글에서 공을 통해 이들을 시각적으로 보는 것이 좋을 듯 하여 순서를 이와 같이 배치하였으니 참고하시기 바랍니다.
▶ 번외로 양자역학에서 축퇴(degeneracy)가 궁금하다면 이곳에서 간단하지만 매우 어렵고 불친절하게(?) 설명해 두었습니다.
1. 구간
정의($T.P$) 1-4) 구간
확장된 실수 체계에서 $a,b\in \mathbb{R}^*$ 를 생각하자. 다음 제시된 ①~⑤을 모두 '구간(interval)'이라 하며 다음과 같이 정의한다.
① 닫힌구간(closed interval) : $\left[ a,b \right]:=\left\{ x\in\mathbb{R}^*\mid a\leq x\leq b \right\}$
② 반열린구간(half-open interval) 또는 반닫힌구간(half-closed interval) : $[a,b) :=\left\{ x\in\mathbb{R}^*\mid a\leq x< b \right\}\;\;,\;\;(a,b]:=\left\{ x\in\mathbb{R}^*\mid a < x\leq b \right\}$
③ 열린구간(open interval) : $(a,b):=\left\{ x\in\mathbb{R}^* \mid a< x< b \right\}$
이때 $a$ 를 왼쪽 끝점(left endpoint), b는 오른쪽 끝점(right endpoint)라 부른다.
④ 반무한구간(half-infinite interval) : 구간의 한 쪽 끝이 $\pm\infty$ 인 것
⑤ 양쪽무한구간(doubly-infinite interval) : 구간의 양쪽이 $\pm\infty$ 인 것
정의($T.P$) 1-5) 퇴화구간(degenerate interval)
만일 $a>b$ 인 경우 구간 $(a,b),(a,b],[a,b),[a,b]$ 는 모두 공집합이고 $a=b$ 이면 $[a,b),(a,b],(a,b)$ 는 공집합이며 $[a,b]=\left\{ a \right\}$ 로 단원소집합(singleton set)이다. 이들을 모두 '퇴화구간(degenerate interval)'이라고 한다. 퇴화구간이 아닌 것은 '비퇴화구간(non-degenerated interval)'이라 부른다.
해석학의 여러 정리에서 구간을 생각할 때 비퇴화구간이라는 조건을 다는 경우가 많습니다. 퇴화구간은 공집합인 경우나 단원소집합으로 일반적으로 정리에서 다루고자 하는 상황을 벗어나는 경우가 많기 때문입니다.
[참고문헌]
Terence Tao, Analysis I, 4e
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