이번 글에서는 실수(수직선) R 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 이 점의 개념은 차원을 확장했을 때도 굉장히 중요한 역할을 하며 폐포의 개념을 이해하고 닫힌집합의 정의를 여러 방법으로 기술할 수 있음을 이해하는데 도움이 됩니다. 이 점들의 개념을 무심코 생략하면, 해석학이나 위상수학에서 끊임없이 학습자를 괴롭히기 때문에 확실히 정리하고 가는 것이 무조건 낫습니다.
1. 밀착점과 폐포
1) 밀착점
정의(T.P) 1-6) ε-밀착점(ε-adherent point)
E⊆R 에 대하여 주어진 x∈R 과 ε>0 이 주어졌다고 하자. x가 E 에 'ε-밀착(ε-adherent)'할 필요충분조건은 |x−y|≤ε 를 만족하는 어떤 y∈E 가 존재하는 것이다.
단순하게 표현하면, x 에서 양쪽으로 각각 −ε 와 ε 만큼 펼쳤을 때 E 와 겹쳐지게 되면(E 와의 교집합이 공집합이 아니면) 밀착에 성공하는 것이다.
이를 설명하면 주어진 x∈R 과 주어진 ε 에 대해, [x−ε,x+ε] 에 E 의 원소 y 가 적어도 하나 존재하기만 한다면 점 x가 집합 E 에 ε-밀착하는 것입니다. 표현을 보면 점이 구간에 밀착한다는 것을 유의깊게 생각해 보시기 바랍니다.
예제 1) 예를 들어 x=2 라고 한다면 이는 구간 (3,4) 에 대해 4-밀착합니다. 하지만 1-밀착하지는 않습니다. [1,3] 에 (3,4) 원소가 단 하나도 없기 때문입니다. ε-밀착 개념은 그리 어렵지 않습니다.
정의(T.P) 1-7) R 에서 밀착점(adherent point)
E⊆R 에 대해 x∈R 가 주어졌다고 하자. x가 E 의 '밀착점(adherent point)'일 필요충분조건은 모든(임의의) ε>0 에 대하여 x가 E 에 ε-밀착하는 것이다. 다시 말해, 임의로 주어진 ε>0 에 대해 y∈[x−ε,x+ε] 인 y∈E 가 적어도 하나 존재하면 x 는 E 의 밀착점이다.
밀착점은 근본적으로 주어진 집합의 내부점이나 경계점1을 말한다.
모든 ε 에 대해 주어진 점 x 가 E 에 ε-밀착하면 x 를 밀착점이라고 부릅니다. 사실 ε 가 크게 주어질수록 ε-밀착할 가능성이 쉽겠죠? 따라서 만일 밀착점이라는 조건까지 보장되었다는 것은 아무리 ε 를 작게 잡더라도(마치 엡실론-델타 논법에서처럼) [x−ε,x+ε] 포함되는 y∈E 를 반드시 적어도 하나 선택할 수 있음을 뜻합니다.
예제 2) 예를 들어 (0,1) 에 대해 x=1 은 밀착점이 됩니다. ε>0 을 아무리 작게 잡더라도 1−ε∈(0,1) 이 되버리기 때문입니다. (0,2) 에 대해서도 당연히 x=1 은 밀착점입니다.
예제 3) 그러나 x=1 이 구간 (2,3) 에 대해서는 밀착점이 아닙니다. 만일 ε≤1 로 잡아버리게 되면, 예컨대 ε=0.9 로 잡으면, [1−ε,1+ε]=[0.1,1.1] 이 되고 [0.1,1.1]∩(2,3)=ϕ 가 되므로 y∈(2,3) 인 y 가 단 하나도 존재하지 않아, 밀착점이 아닙니다. 여기서 ε=1 로 잡더라도 [0,2]∩(2,3)=ϕ 에서 여전히 x=1 은 (2,3) 의 밀착점이 되지 않습니다.
2) 폐포
정의(T.P) 1-8) R 에서 폐포(closure in real number)
B⊆R 이라 하자. B 의 모든 밀착점을 모은 집합을 B 의 폐포(closure)라 하고, ¯B 로 나타낸다.
직관적으로 생각하면 폐포란 구간(2차원에서는 평면, 3차원에서는 공간)의 내부점과 경계점을 모두 모은 것이다.
폐포의 개념은 지금 이 글의 주제에서는 약간 벗어나지만, 밀착점을 배울 때 바로 확인하는 것이 효율적이고, 나아가 해석학과 위상수학 전반에서 굉장히 중요합니다. 특히 닫힌집합의 정의를 열린집합과 여집합의 개념 외에 폐포의 관점에서 바라볼 수 있기 때문에 더더욱 중요합니다. 닫힌집합과 폐포의 연관성은 다음 글에서 다룹니다. 스포일러를 미리 하자면 어떤 집합과 그 집합의 폐포가 동일할 때 그 집합을 닫힌집합이라고 합니다.
3) 집적점과 고립점
정의(T.P) 1-9) R 에서 집적점과 고립점(accumulation point or cluster point and isolated point)
E⊆R 에 대하여, 모든 밀착점은 다음과 같이 집적점(극한점)과 고립점 둘로 분류할 수 있다.
① x∈R 이 E 의 '집적점(accumulation point or cluster point)' 또는 '극한점(limit point)'일 필요충분조건은 x 가 E−{x} 의 밀착점인 것이다. 달리 말하자면, 어떤 점 x∈R 를 포함하는 모든 열린집합이 x 가 아닌 점을 포함할 때 x 를 E 의 집적점이라고 한다. 여기서 E−{x} 즉 x 가 아닌 E 의 점이라는 부분은 x∈E 일 때만 신경써 주면 충분하다.
② x∈E 이고, 어떤 ε>0 가 존재하여 모든 y∈E−{x} 에 대해 |x−y|>ε 을 만족시키면, x 를 E 의 '고립점(isolated point)'라 한다.
정의(T.P) 1-10) 유도집합
집합 A⊆R 의 극한점을 모은 집합을 '유도집합(derived set)'이라 하고 주로 A′ 으로 표기한다.
직관적으로 보았을 때 E에서 혼자 떨어져 있는 점이 고립점이고, E 에서 어떤 점을 뺐는데도 그 점이 밀착점일 때 이 점을 집적점=극한점이라고 합니다.
예제 6) E=(1,2)∪{3} 에 대하여 x=3, x=2 가 어떤 점인지 조사해 보아라.
Sol) x=3 은 집적점이 아닌 밀착점입니다. E−{3}=(1,2) 에 x=3 이 밀착하지 않기 때문입니다. 그런데 3∈E 이고 모든 y∈E−{3}=(1,2) 에 대해 |3−y|>ε 이 되게 하는 ε>0 이 언제나 존재하기 때문에, x=3 은 E 의 고립점이 됩니다.
x=32 또한 밀착점이 됩니다. 그러면 이것은 고립점이 되지 못하는데, 고립점의 정의를 사용해보면 임의의 y∈(E−{32})={3}∪(1,32)∪(32,2) 에 대해서, |32−y|>ε 을 언제나 만족시키는 어떤 ε>0 을 찾을 수가 없기 때문입니다. 아무리 작은 ε>0 을 택해도, 32 에서 ε 사이에는 무수히 많은 E 의 원소들이 존재하기 때문입니다.
반면 x=2 는 E−{2} 에 밀착하기 때문에, 집적점이 됩니다. 반면 고립점은 절대로 될 수 없습니다. 고립점의 정의가 되려면 일단 2∈E 이어야 하기 때문인데, 2∉E 가 성립하기 때문입니다. ◼
집적점이 될 필요충분조건을, 거리의 개념을 통해서 정리할 수도 있습니다.
정리(T.P) 1.1) 실직선에서 집적점(극한점)의 세 가지 진술
R 에서 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① E⊆R 에 대하여 x∈R E 의 집적점이다.
② d(x,E−{x})=0 인 것이다.
③ E 의 서로 다른 원소로 구성되며 x 로 수렴하는 수열이 존재한다.
④ x 를 포함하는 모든 열린집합이 E 의 무수히 많은 점을 포함한다.
증명) ① 이 각각 ② ③ ④ 모두와 필요충분조건임을 증명하면 충분하다.
① ⟹ ② : x 가 E 의 극한점이고 ε>0 이라 하자. 그러면 열린집합 (x−ε,x+ε) 은 x 가 아닌 E 의 한 점 y 를 포함해야 한다. 따라서 y∈(x−ε,x+ε) 으로부터 d(x,y)<ε 이 된다. 이는 모든 ε>0 에 대하여 d(x,E−{x})<ε 가 성립하는 것이므로 d(x,E−{x})=0 이다.
② ⟸ ① : d(x,E−{x})=0 을 가정하고 x∈E 인 어떤 열린집합 E 를 생각해보자. 그러면 어떤 δ>0 가 존재하여 V:=(x−δ,x+δ)⊂E 가 성립하는 열린구간 V 가 존재하게 된다. z∈V 를 하나 생각하자. 그러면 z∈E−{x} 이므로 z≠x 가 성립한다. 따라서 x 를 포함하는 임의의 열린집합 E 는 결국 z≠x 라는 원소를 가지고 있으므로 집적점의 정의에 의해 x 는 E 의 집적점이 된다. ◼
① ⟹ ③ : 각각의 n∈N 에 대해 열린구간 (x−1n,x+1n) 을 생각해보자. 가정에 의해 x 가 E 의 집적점이므로 이 열린구간은 n 가 어떤 값이든지간에, x 를 제외한 E 의 무수히 많은 점들을 포함하고 있어야 한다. 그러면 이 열린구간 (x−1n,x+1n) 은 본질적으로 무한집합이기에, xn∈E 를 xn≠x 가 되면서 모든 xn 들이 서로 다른 값이 되도록 얼마든지 정할 수 있다. 그렇게 만든 수열을 {xn} 라고 하면, x−1n≤xn≤x+1n 가 성립하고, 세 변에 극한을 취하면 조임정리에 의해 limn→∞xn=x 를 얻는다. 그러므로 E 의 서로 다른 원소로 구성되며 x 로 수렴하는 수열이 존재한다.
③ ⟹ ① : E 의 서로 다른 원소로 구성되며 x 로 수렴하는 수열이 있다고 하고 그것을 {xn} 으로 잡자. 그러면 수열의 극한의 정의에 의하여 임의의 주어진 ε>0 에 대하여 N∈N 이 존재하여 n≤N⟹xn∈(x−ε,x+ε) 이 성립한다는 뜻이다. 가정에 의해 xn∈(x−ε,x+ε)∈E 는 서로 전부 다른 값이며 E 에 포함되어 있으므로, x 를 포함하는 임의의 열린구간들은 반드시 무수히 많은 xn 들을 포함하게 된다. 이는 집적점의 정의에 해당하므로 x 는 E 의 집적점이다.
① ⟹ ④ : x 가 E 의 집적점이면, x 를 포함하는 임의의 열린구간은 x≠a∈E 인 어떤 원소 a 를 적어도 하나 포함해야 한다(무수히 많이 포함할 수 있지만 집적점의 정의에 의하면 적어도 하나만 존재해도 일단 충분하다). 그러나 이러한 성질은 결국 무수히 많은 a 들을 포함해야 한다는 것으로 확장 가능한데, 왜냐하면 예들 들어 n=1,2,⋯∈N 에 대해 (x−1n,x+1n)∩U 를 고려하면 각 n∈N 에 값에 대해 x≠a∈E 를 하나씩 뽑을 수 있기 때문이다. 그러므로 이는 결국 x 가 E 의 집적점이면 x 를 포함한 임의의 열린집합(근방)에서 무수히 많은 E 의 원소를 택할 수 있음을 의미한다.
④ ⟹ ① : x 를 포함하는 그 어떤 열린구간도 무한집합이기 때문에, 그들이 E 의 무수히 많은 점을 포함한다는 것은 그들이 x 가 아닌 E 의 원소를 적어도 한 개 포함한다는 뜻이다. 이는 집적점의 정의에 해당한다. ◼
[참고문헌]
Terence Tao, Analysis I, 4e
- 그 집합이 경계점을 포함하고 있는 집합이든 아니든 상관 없이 [본문으로]
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