실수에서 밀착점, 극한점, 고립점 (adherent point, cluster point, isolated point in Real line)

이번 글에서는 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 이 점의 개념은 차원을 확장했을 때도 굉장히 중요한 역할을 하며 폐포의 개념을 이해하고 닫힌집합의 정의를 여러 방법으로 기술할 수 있음을 이해하는데 도움이 됩니다. 이 점들의 개념을 무심코 생략하면, 해석학이나 위상수학에서 끊임없이 학습자를 괴롭히기 때문에 확실히 정리하고 가는 것이 무조건 낫습니다. 

 

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1. 밀착점과 폐포

 

1) 밀착점

 

정의($T.P$) 1-6) $\varepsilon$-밀착점($\varepsilon$-adherent point)
$E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 주어진 $x\in\mathbb{R}$ 과 $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $x$가 $E$ 에 '$\varepsilon$-밀착($\varepsilon$-adherent)'할 필요충분조건은 $\left| x-y \right|\leq \varepsilon$ 를 만족하는 어떤 $y\in E$ 가 존재하는 것이다.
단순하게 표현하면, $x$ 에서 양쪽으로 각각 $-\varepsilon$ 와 $\varepsilon$ 만큼 펼쳤을 때 $E$ 와 겹쳐지게 되면($E$ 와의 교집합이 공집합이 아니면) 밀착에 성공하는 것이다.

 

이를 설명하면 주어진 $x\in\mathbb{R}$ 과 주어진 $\varepsilon$ 에 대해, $[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$ 에 $E$ 의 원소 $y$ 가 적어도 하나 존재하기만 한다면 점 $x$가 집합 $E$ 에 $\varepsilon$-밀착하는 것입니다. 표현을 보면 점이 구간에 밀착한다는 것을 유의깊게 생각해 보시기 바랍니다.

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예제 1) 예를 들어 $x=2$ 라고 한다면 이는 구간 $(3,4)$ 에 대해 4-밀착합니다. 하지만 1-밀착하지는 않습니다. $[1,3]$ 에 $(3,4)$ 원소가 단 하나도 없기 때문입니다. $\varepsilon$-밀착 개념은 그리 어렵지 않습니다.

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정의($T.P$) 1-7) $\mathbb{R}$ 에서 밀착점(adherent point)
$E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대해 $x\in\mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하자. $x$가 $E$ 의 '밀착점(adherent point)'일 필요충분조건은 모든(임의의) $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $x$가 $E$ 에 $\varepsilon$-밀착하는 것이다. 다시 말해, 임의로 주어진 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $y\in [x-\varepsilon, x+\varepsilon]$ 인 $y\in E$ 가 적어도 하나 존재하면 $x$ 는 $E$ 의 밀착점이다.
밀착점은 근본적으로 주어진 집합의 내부점이나 경계점^[각주:1]을 말한다.

 

모든 $\varepsilon$ 에 대해 주어진 점 $x$ 가 $E$ 에 $\varepsilon$-밀착하면 $x$ 를 밀착점이라고 부릅니다. 사실 $\varepsilon$ 가 크게 주어질수록 $\varepsilon$-밀착할 가능성이 쉽겠죠? 따라서 만일 밀착점이라는 조건까지 보장되었다는 것은 아무리 $\varepsilon$ 를 작게 잡더라도(마치 엡실론-델타 논법에서처럼) $[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$ 포함되는 $y\in E$ 를 반드시 적어도 하나 선택할 수 있음을 뜻합니다.

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예제 2) 예를 들어 $(0,1)$ 에 대해 $x=1$ 은 밀착점이 됩니다. $\varepsilon > 0$ 을 아무리 작게 잡더라도 $1-\varepsilon \in (0,1)$ 이 되버리기 때문입니다. $(0,2)$ 에 대해서도 당연히 $x=1$ 은 밀착점입니다.

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예제 3) 그러나 $x=1$ 이 구간 $(2,3)$ 에 대해서는 밀착점이 아닙니다. 만일 $\varepsilon \leq 1$ 로 잡아버리게 되면, 예컨대 $\varepsilon=0.9$ 로 잡으면, $[1-\varepsilon, 1+\varepsilon] = [0.1,1.1]$ 이 되고 $[0.1,1.1]\cap (2,3)=\phi$ 가 되므로 $y\in (2,3)$ 인 $y$ 가 단 하나도 존재하지 않아, 밀착점이 아닙니다. 여기서 $\varepsilon=1$ 로 잡더라도 $[0,2]\cap (2,3)=\phi$ 에서 여전히 $x=1$ 은 $(2,3)$ 의 밀착점이 되지 않습니다.

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2) 폐포

 

정의($T.P$) 1-8) $\mathbb{R}$ 에서 폐포(closure in real number)
$B\subseteq \mathbb{R}$ 이라 하자. $B$ 의 모든 밀착점을 모은 집합을 $B$ 의 폐포(closure)라 하고, $\overline{B}$ 로 나타낸다.
직관적으로 생각하면 폐포란 구간(2차원에서는 평면, 3차원에서는 공간)의 내부점과 경계점을 모두 모은 것이다.

 

폐포의 개념은 지금 이 글의 주제에서는 약간 벗어나지만, 밀착점을 배울 때 바로 확인하는 것이 효율적이고, 나아가 해석학과 위상수학 전반에서 굉장히 중요합니다. 특히 닫힌집합의 정의를 열린집합과 여집합의 개념 외에 폐포의 관점에서 바라볼 수 있기 때문에 더더욱 중요합니다. 닫힌집합과 폐포의 연관성은 다음 글에서 다룹니다. 스포일러를 미리 하자면 어떤 집합과 그 집합의 폐포가 동일할 때 그 집합을 닫힌집합이라고 합니다.

 

 

3) 집적점과 고립점

 

정의($T.P$) 1-9) $\mathbb{R}$ 에서 집적점과 고립점(accumulation point or cluster point and isolated point)
$E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여, 모든 밀착점은 다음과 같이 집적점(극한점)과 고립점 둘로 분류할 수 있다.
① $x\in\mathbb{R}$ 이 $E$ 의 '집적점(accumulation point or cluster point)' 또는 '극한점(limit point)'일 필요충분조건은 $x$ 가 $E-\left\{ x \right\}$ 의 밀착점인 것이다. 달리 말하자면, 어떤 점 $x\in \mathbb{R}$ 를 포함하는 모든 열린집합이 $x$ 가 아닌 점을 포함할 때 $x$ 를 $E$ 의 집적점이라고 한다. 여기서 $E-\{ x\}$ 즉 $x$ 가 아닌 $E$ 의 점이라는 부분은 $x\in E$ 일 때만 신경써 주면 충분하다.
② $x\in E$ 이고, 어떤 $\varepsilon > 0$ 가 존재하여 모든 $y\in E-\left\{ x \right\}$ 에 대해 $\left| x-y \right|> \varepsilon$ 을 만족시키면, $x$ 를 $E$ 의 '고립점(isolated point)'라 한다.

정의($T.P$) 1-10) 유도집합
집합 $A\subseteq \mathbb{R}$ 의 극한점을 모은 집합을 '유도집합(derived set)'이라 하고 주로 $A'$ 으로 표기한다.

 

직관적으로 보았을 때 $E$에서 혼자 떨어져 있는 점이 고립점이고, $E$ 에서 어떤 점을 뺐는데도 그 점이 밀착점일 때 이 점을 집적점=극한점이라고 합니다.

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예제 6) $E=\left( 1,2 \right)\cup \left\{ 3 \right\}$ 에 대하여 $x=3$, $x=2$ 가 어떤 점인지 조사해 보아라.

 

Sol) $x=3$ 은 집적점이 아닌 밀착점입니다. $E-\left\{ 3 \right\}=(1,2)$ 에 $x=3$ 이 밀착하지 않기 때문입니다. 그런데 $3\in E$ 이고 모든 $y\in E-\left\{ 3 \right\}=(1,2)$ 에 대해 $\left| 3-y \right|>\varepsilon$ 이 되게 하는 $\varepsilon > 0$ 이 언제나 존재하기 때문에,  $x=3$ 은 $E$ 의 고립점이 됩니다.

 

$x=\displaystyle\frac{3}{2}$ 또한 밀착점이 됩니다. 그러면 이것은 고립점이 되지 못하는데, 고립점의 정의를 사용해보면 임의의 $y\in \left( E-\left\{  \displaystyle \frac{3}{2}\right\} \right)=\left\{ 3 \right\}\cup \left( 1,\displaystyle \frac{3}{2} \right)\cup \left( \displaystyle \frac{3}{2},2 \right)$ 에 대해서, $\left| \displaystyle \frac{3}{2}-y \right|> \varepsilon$ 을 언제나 만족시키는 어떤 $\varepsilon > 0 $ 을 찾을 수가 없기 때문입니다. 아무리 작은 $\varepsilon > 0$ 을 택해도, $\displaystyle \frac{3}{2}$ 에서 $\varepsilon$ 사이에는 무수히 많은 $E$ 의 원소들이 존재하기 때문입니다.

 

반면 $x=2$ 는 $E-\left\{ 2 \right\}$ 에 밀착하기 때문에, 집적점이 됩니다. 반면 고립점은 절대로 될 수 없습니다. 고립점의 정의가 되려면 일단 $2\in E$ 이어야 하기 때문인데, $2\notin E$ 가 성립하기 때문입니다. $_\blacksquare$

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집적점이 될 필요충분조건을, 거리의 개념을 통해서 정리할 수도 있습니다.

 

 

정리($T.P$) 1.1) 실직선에서 집적점(극한점)의 세 가지 진술
$\mathbb{R}$ 에서 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① $E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 $x\in \mathbb{R}$  $E$ 의 집적점이다.
② $d\left( x, E-\left\{ x \right\} \right)=0$ 인 것이다.
③ $E$ 의 서로 다른 원소로 구성되며 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.
④ $x$ 를 포함하는 모든 열린집합이 $E$ 의 무수히 많은 점을 포함한다.

증명) ① 이 각각 ② ③ ④ 모두와 필요충분조건임을 증명하면 충분하다.

① $\Longrightarrow $ ② : $x$ 가 $E$ 의 극한점이고 $\varepsilon > 0$ 이라 하자. 그러면 열린집합 $(x-\varepsilon , x+\varepsilon)$ 은 $x$ 가 아닌 $E$ 의 한 점 $y$ 를 포함해야 한다. 따라서 $y\in \left( x-\varepsilon, x+\varepsilon \right)$ 으로부터 $d(x,y)< \varepsilon$ 이 된다. 이는 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $d(x, E-\{ x\}) < \varepsilon$ 가 성립하는 것이므로 $d(x, E-\{ x\}) = 0$ 이다.

② $\Longleftarrow $ ① : $d(x, E-\{ x\})=0$ 을 가정하고 $x\in E$ 인 어떤 열린집합 $E$ 를 생각해보자. 그러면 어떤 $\delta > 0$ 가 존재하여 $V:=(x-\delta , x+\delta)\subset E$ 가 성립하는 열린구간 $V$ 가 존재하게 된다. $z\in V$ 를 하나 생각하자. 그러면 $z\in E-\{ x\}$ 이므로 $z\neq x$ 가 성립한다. 따라서 $x$ 를 포함하는 임의의 열린집합 $E$ 는 결국 $z\neq x$ 라는 원소를 가지고 있으므로 집적점의 정의에 의해 $x$ 는 $E$ 의 집적점이 된다. $_\blacksquare$

① $\Longrightarrow $ ③ : 각각의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 열린구간 $\left( x-\displaystyle \frac{1}{n}, x+\displaystyle \frac{1}{n} \right)$ 을 생각해보자. 가정에 의해 $x$ 가 $E$ 의 집적점이므로 이 열린구간은 $n$ 가 어떤 값이든지간에, $x$ 를 제외한 $E$ 의 무수히 많은 점들을 포함하고 있어야 한다. 그러면 이 열린구간 $\left( x-\displaystyle \frac{1}{n}, x+\displaystyle \frac{1}{n} \right)$ 은 본질적으로 무한집합이기에, $x_n\in E$ 를 $x_n\neq x$ 가 되면서 모든 $x_n$ 들이 서로 다른 값이 되도록 얼마든지 정할 수 있다. 그렇게 만든 수열을 $\{ x_n\}$ 라고 하면, $x-\displaystyle \frac{1}{n}\leq x_n\leq  x+\displaystyle \frac{1}{n}$ 가 성립하고, 세 변에 극한을 취하면 조임정리에 의해 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n=x$ 를 얻는다. 그러므로 $E$ 의 서로 다른 원소로 구성되며 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.

③ $\Longrightarrow $ ① : $E$ 의 서로 다른 원소로 구성되며 $x$ 로 수렴하는 수열이 있다고 하고 그것을 $\{ x_n\}$ 으로 잡자. 그러면 수열의 극한의 정의에 의하여 임의의 주어진 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $N\in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\leq N \;\;\Longrightarrow \;\; x_n\in (x-\varepsilon, x+\varepsilon)$ 이 성립한다는 뜻이다. 가정에 의해  $x_n\in (x-\varepsilon, x+\varepsilon)\in E$ 는 서로 전부 다른 값이며 $E$ 에 포함되어 있으므로, $x$ 를 포함하는 임의의 열린구간들은 반드시 무수히 많은 $x_n$ 들을 포함하게 된다. 이는 집적점의 정의에 해당하므로 $x$ 는 $E$ 의 집적점이다.

① $\Longrightarrow $ ④ : $x$ 가 $E$ 의 집적점이면, $x$ 를 포함하는 임의의 열린구간은 $x\neq a\in E$ 인 어떤 원소 $a$ 를 적어도 하나 포함해야 한다(무수히 많이 포함할 수 있지만 집적점의 정의에 의하면 적어도 하나만 존재해도 일단 충분하다). 그러나 이러한 성질은 결국 무수히 많은 $a$ 들을 포함해야 한다는 것으로 확장 가능한데, 왜냐하면 예들 들어 $n=1,2,\cdots \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\left( x-\displaystyle \frac{1}{n}, x+\displaystyle \frac{1}{n} \right)\cap U$ 를 고려하면 각 $n\in\mathbb{N}$ 에 값에 대해 $x\neq a\in E$ 를 하나씩 뽑을 수 있기 때문이다. 그러므로 이는 결국 $x$ 가 $E$ 의 집적점이면 $x$ 를 포함한 임의의 열린집합(근방)에서 무수히 많은 $E$ 의 원소를 택할 수 있음을 의미한다.

④ $\Longrightarrow $ ① : $x$ 를 포함하는 그 어떤 열린구간도 무한집합이기 때문에, 그들이 $E$ 의 무수히 많은 점을 포함한다는 것은 그들이 $x$ 가 아닌 $E$ 의 원소를 적어도 한 개 포함한다는 뜻이다. 이는 집적점의 정의에 해당한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Terence Tao, Analysis I, 4e

 

 

 

 

 

1. 그 집합이 경계점을 포함하고 있는 집합이든 아니든 상관 없이 [본문으로]