위상수학이나 해석학, 선형대수학에서는 모두 '공간'을 다룹니다. 위상공간이 가장 추상적인 개념의 공간이고, 해석학에서는 놈(norm)과 거리(distance) 등이 특정한 방법으로 정의된, 차원이 일반화된 유클리드 공간을 다루며, 선형대수학에서는 군의 개념을 가지고 와 특별한 벡터공간을 다루게 됩니다.
현재 우리의 목표는 해석학에서 유클리드 공간을 분석하거나 위상수학에서 위상공간을 정의하는 것입니다. 전자의 작업은 차원을 $n$ 으로 확장해 나가야 할 터인데, 가장 간단한 1차원 실수 수직선의 개념부터 숙지하면 도움이 되는 것들이 많습니다. 또 아주 추상적인 개념인 위상공간을 곧바로 다루기 전에 실선을 분석하는 일은 귀중한 자산이 될 것입니다.
1. 실선에서의 거리
보통 공간에 대한 설명을 위상공간부터 시작하면 너무 추상적이니 와닿지 않습니다. 그래서 우리가 중고등학교 수학, 그리고 미적분학 정도를 익혔다고 하였을 때 공간에 대해 설명하기 가장 적합한 공간은 거리공간입니다. 그런데 거리공간은 놈 공간에서 놈이 정의되어야 만들 수 있는 공간인 셈인데, 이렇게 물고 늘어지면 끝도 없습니다. 따라서, 놈 공간이 무엇인지는 기하학과 위상수학, 함수해석학에서 집중적으로 다루는 편이며 해석학에서는 '놈(norm)'이 무엇인지의 개념만을 정확히 학습하고 거리공간에 집중하여 유클리드 공간을 분석하는 일로 넘어가는 편입니다. 따라서 우리는 '거리(distance)'가 무엇인지 정의해야 합니다. 실선에서 거리를 정의하고 몇가지 핵심 개념들을 알고 있어야만 '거리공간(metric space)'의 개념으로 넘어갈 수 있기 때문입니다.1
정의($T.P$) 1-1) 실선(수직선)에서의 거리
어떤 점을 뜻하는 실수 $a$ 와, $\emptyset \neq E\subseteq \mathbb{R}$ 로 주어진 집합을 생각하자. '점 $a$ 에서 집합 $E$ 까지의 거리(distance)' $d(a,E)$ 는 $x\in E$ 에 대하여 모든 거리 $\left| a-x \right|$ 의 하한(최대하계)로 정의한다.
$$d(a,E):=\inf\left\{ \left| a-x \right|\mid x\in E \right\}$$ 거리함수의 관점에서 본다면, 이는 표준 유클리드 거리이다.
$a$ 는 주어진 점이고, $E$ 는 집합인데 $x\in E$ 에 속하는 모든 $x$ 와 $a$ 사이의 거리는 차의 절댓값의 최솟값(하한)으로 정의한다는 것입니다.
정의($T.P$) 1-2) 실선에서 유계집합(bounded set in $\mathbb{R}$)
집합 $A\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 $\left\{ \left| x-y \right|\mid x,y\in A \right\}$ 가 상계(upper bound)를 가진다면 $A$ 를 '유계집합(bounded set)' 이라고 한다. 이는 $A\subseteq [-M,M]$ 을 만족하는 어떤 실수 $M > 0$ 이 존재한다는 것과 필요충분조건이다.
정의($T.P$) 1-3) 지름(diameter)
$A\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 $x,y\in A$ 에 대한 모든 거리 $\left| x-y \right|$ 의 상한(최소상계)를 $A$ 의 '지름(diameter)'라 정의하고 다음과 같이 표기한다.
$$D(A):=\inf\{ \left| x-y \right| \mid x,y\in A \}$$
직관적으로 생각하면 어떤 닫힌구간이나 열린구간의 지름은 구간 전체의 길이라고 볼 수 있습니다. 아래 예제를 살펴봅시다.
예제 1) $D([a,b])=D((a,b))=\left| b-a \right|$ 이다.
예제 2) $\mathbb{R}$, 반무한구간, $\mathbb{Q}$, 무리수 집합은 모두 유계가 아닌 집합이다.
보조정리($T.P$) 1.1) 실선에서 거리의 성질
실수 $a,b,c$ 에 대해 다음이 성립한다.
① $\left| a-b \right|\geq 0$ 이면서 동시에 $\left| a-b \right|=0$ 인 경우는 오로지 $a=b$ 일 때 뿐이다.
② $\left| a-b \right|=\left| b-a \right|$
③ $\left| a-c \right|\leq \left| a-b \right|+\left| b-c \right|$
이러한 성질은 우리가 중고교 수학을 배웠을 때부터 익히 알고 있던 것들입니다. 이것을 증명하는 일은 거리의 정의로부터 가능하기는 한데, 굳이 증명하지 않을 것이고 그 이유는 사실 거리공간의 정의에 가깝기 때문입니다. 놈 공간의 정의 조건과도 유사하지요. 지금 단계에서는 일단 이러한 성질이 있다는 것만 알고 있으면 충분합니다.
[참고문헌]
Fred H. Croom, Principles of Topology
- 실선에서 거리를 배우고 해석학에서는 거리공간, 유클리드 공간을 다룹니다. 위상수학에서는 거리를 배우고 가장 추상적인 위상공간까지 다루게 됩니다. 거리공간은 두 과목 모두에서 꽤 구체적으로 다루는데 해석학은 유클리드 공간에 초점을 더 맞추고 위상수학에서는 위상공간 자체에 더 초점을 둡니다. [본문으로]
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