밀착점, 고립점, 극한점과 같은 특별한 점들의 종류를 익힐 때는 열린구간, 닫힌구간 정도의 중고교 수학 개념만 알고 있으면 됩니다. 이제 열린구간, 닫힌구간의 개념이 좀 더 확장된 열린집합, 닫힌집합을 다룰 것인데 특히 닫힌집합을 다룰 때 특별한 점들의 지식이 큰 영양분이 될 것입니다.
1. 수직선에서 열린집합과 닫힌집합
1) 열린집합
정의($T.P$) 1-11) 실수에서 열린집합(Open set in $\mathbb{R}$)
$A\subseteq\mathbb{R}$ 이 어떤 열린구간족의 합집합일 때 $A$ 를 '열린집합(open set)'이라 정의한다. 다시 말해 $A$ 가 열린집합이라는 것은 어떤 각각의 $\alpha\in I$ 에 대하여 $V_{\alpha}$ 들이 열린구간 일 때, $A=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}V_{\alpha}$ 로 표현 가능하다는 것이다.
열린집합의 개념은 열린구간의 그것을 일반화한 셈입니다. 여기서는 실수, 즉 수직선에서 적용되는 정의임을 기억합시다. 물론 차원을 높여 유클리드 공간으로 가게 되더라도 개념의 고갱이는 비슷하지만 서술 방식은 달라집니다.
또한 많은 교재에서 열린집합을 나타내는 기호로 $O,V$ 등을 사용합니다. 저는 여기서 일단 열린집합의 문자로 $A$ 를 썼고 그것을 만드는 열린구간들을 $V_{\alpha}$ 로 표기했지요. $O$ 는 그렇다 치고, $V$ 는 왜 사용할까요? 그것은 열린집합의 개념이 '근방(vicinity)'과 관련되어 있기 때문입니다. 열린집합의 정의를 보면, 열린집합은 열린구간들의 합집합으로 표현 가능한 집합을 말합니다. 따라서 어떤 열린집합은, 그 열린집합이 포함하는 어떤 점을 중심으로 하여 주변을 조금씩 늘려 근방의 점들을 포함하도록 열린구간들을 잡고, 그것의 합집합에 해당함을 알 수 있습니다. 다음의 예시를 하나 봅시다.
예제 1) 실수 집합 $\mathbb{R}$ 이 열린집합임을 보여라.
sol) 실수 집합은 다음과 같이 열린집합의 합집합으로 표현할 수 있다.
$$\mathbb{R}=(-\infty,\infty)=\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n)$$
따라서 열린집합이다. $_\blacksquare$
재밌는 사실이 하나 있습니다. 실수집합은 흔히 $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ 로 표현하고, 어떤 구간을 표현할 때 한 쪽이 음의 무한대 또는 양의 무한대가 있는 경우 그것을 소괄호로 써서 덮지, 닫힌구간을 뜻하는 대괄호를 사용하지 않음을 중고등학교 수학때부터 쭉 봐왔을 것입니다. 도대체 왜 그렇게 표시하는 것일까요? 즉 왜 $[-\infty,\infty]$ 라는 표현은 사용하지 않을까요?
그것은 바로 이 예제 1)과 관련되어 있습니다. 실수 집합을 무한한 열린구간의 합집합으로 만들 수 있기 때문입니다. 실제로 $(-n,n)$ 을 $n=1\longrightarrow \infty$ 로 무한히 덮어 나가게 된다면, 임의의 구간을 고르더라도 그 구간의 양 끝은 열려 있지, 닫혀 있지 않습니다.1 즉 실수 집합이 열린 집합의 합집합으로 표현 가능하기 때문에 $(-\infty, \infty)$ 의 표현에서 굳이 대괄호를 사용하지 않는 것입니다. 게다가 무한대 기호 $\infty$ 는 어떤 특별한 '숫자'의 개념이 아니라 상징이기 때문에, 무한대와 닫힌기호를 동시에 쓰게 된다면 무한대라는 '숫자를 포함한다'는 의미를 내포하게 되고, 이는 닫힌집합은 주어진 집합의 폐포2 와 같은 집합이라는 닫힌집합의 특성3에도 부자연스러워, 들어맞지 않습니다. 어떤가요? 납득이 되시나요? 그래서 이러한 개념은 정말 수학, 또는 수학교육학 전공자가 아니면 도저히 풍부하게 이해하기 어려운 것들입니다.
정리($T.P$) 1.2) 열린집합과 동치인 명제들
TFAE : 다음은 모두 동치이다.
① $A$ 는 열린집합이다.
② 모든 $x\in A$ 에 대하여 $x$ 를 중심으로 하고 $A$ 에 포함되는 열린구간 $I_x$ 가 존재한다. 즉 $I_x= \left( x-\varepsilon, x+\varepsilon \right)\subseteq A\subseteq \mathbb{R}$ 이 성립하는 어떤 실수 $\varepsilon > 0$ 이 존재해야만 한다.
③ $A\neq \mathbb{R}$ 일 때, 각각의 $x\in A$ 에 대하여 $d(x,\mathbb{R}-A) > 0$ 이다.
열린집합의 정의를 다룰 때 $I$ 는 첨수집합(index set) 이지만 위 정리($A.N$) 9.2) 에서 $I_x$ 는 열린구간임에 주목합시다.
정리($T.P$) 1.3)
① 공집합과 $\mathbb{R}$ 은 열린집합이다.
② 임의의 열린집합족 $\left\{ V_{\alpha}\mid \alpha \in I \right\}$ 의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}V_{\alpha}$ 또한 열린집합이다.4
③ 유한 열린집합족 $\left\{ V_i \right\}_{i=1}^{n}$ 에 대해, $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}V_i$ 는 열린집합이다.
증명) ① 실수 집합이 열린집합임은 예제 1)에서 보였다. 반면 공집합의 경우 공집합이 열린집합이 아니라고 하자. 그러면 공집합은 열린구간족의 합집합이 아니다. 정의의 조건문의 가정이 거짓이므로 조건문은 참이라 공집합은 열린집합이 되므로 모순이다. 따라서 공집합은 열린집합이다.
② $\left\{ V_{\alpha}\mid \alpha \in I \right\}$ 가 열린집합족이면 각각의 $V_{\alpha}$ 가 열린집합이라는 것이니 이들은 각각의 $\alpha \in I$ 마다 열린구간의 합집합이다. 그러면 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}V_{\alpha}$ 는 열린구간의 합집합(= 열린집합)의 합집합이니, 열린집합이다.
③ 수학적 귀납법을 사용하자. $n=2$ 일 때 $V_1,V_2$ 가 열린집합이고 $x\in V_1\cap V_2$ 라 하자. 정리($A.N$) 9.2)-② 에 의하여 $x$ 를 중심으로 하고 $V_1, V_2$ 에 각각 포함되는 열린구간 $I_1, I_2$ 가 존재한다. 그러면 $ I_1\cap I_2$ 는 $x$ 를 중심으로 하는 열린구간이고, $(I_1\cap I_2)\subseteq (V_1\cap V_2)$ 가 되므로 정리($A.N$) 9.1) 에 의해 $V_1\cap V_2$ 는 열린집합이다. 이제 $n=k$ 개로 이루어진 열린집합족 $\left\{ V_i \right\}_{i=1}^{k}$ 의 교집합이 열린집합족이라고 가정하고 $\left\{ V_i \right\}_{i=1}^{k+1}$ 을 생각하고 열린집합 $V_{k+1}$ 이 주어졌다고 하자. ②에 의하여 열린집합족의 합집합(여기서는 엄밀하게 따지면 열린집합족과 열린집합의 합집합)도 열린집합이니 $\left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}V_i \right)\cup V_{k+1} = \displaystyle\bigcap_{i=1}^{n+1}V_i$ 또한 열린집합이 된다. $_\blacksquare$
② 의 $\left\{ V_{\alpha}\mid \alpha \in I \right\}$ 와 ③ 의 $\left\{ V_i \right\}_{i=1}^{n}$ 의 차이점을 눈여겨 보아야 합니다. 전자는 인덱스 집합 $I$ 이고, 일반적으로 인덱스 집합에 특별한 조건이 없다면 인덱스 집합은 유한집합일 수도 있고, 무한집합일 수도 있어 가산 무한집합일수도, 비가산 무한집합일 수도 있습니다. 그러니 ② 의 내용은 아무리 많은 열린집합을 합집합 시키더라도 열린집합이 아닐 수 없다는 뜻입니다. 반면, 후자의 개념은 인덱스 집합이 유한인 경우를 말하는 것으로 유한개의 열린집합의 교집합도 열린집합이라는 뜻입니다.
2) 닫힌집합
정의($T.P$) 1-12) 실수에서의 닫힌집합(Closed set in $\mathbb{R}$)
$B\subseteq \mathbb{R}$ 에 대해 여집합 $\mathbb{R}-B$ 가 열린집합이면 $B$ 를 '닫힌집합(closed set)'이라 정의한다.
주어진 집합의 여집합이 열린집합이 되면 그 집합을 닫힌집합으로 정의합니다. 이것은 열린집합의 부정이 닫힌집합임을 의미하지 않으며, 닫힌집합의 부정이 열린집합을 의미하지도 않습니다.
예제 3) 닫힌구간 $[a,b]$ 가 닫힌집합임을 보여라. $a,b\in\mathbb{R}$ 이다.
Sol) $\mathbb{R}-[a,b]=(-\infty,a)\cup (b,\infty)$ 은 열린집합의 합집합이므로 정리($A.N$) 9.3)-② 에 의하여 열린집합이다. 즉 $[a,b]$ 의 여집합이 열린집합이니 닫힌집합이다. $_\blacksquare$
정리($T.P$) 1.4) 열린집합과 닫힌집합은 부정의 관계가 아니다.
집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 열린집합이 아니라고 해서 꼭 닫힌집합인 것은 아니다. 역으로 닫힌집합이 아닌 것이라고 하여 꼭 열린집합인 것도 아니다.
증명) 반열린구간(반닫힌구간)을 생각하자. 실수에서 반열린구간은 열린구간도 아니고 동시에 닫힌구간인 것도 아니다. 따라서 열린구간이 아니면서 닫힌구간이 아닌 것이 존재하고 역으로 닫힌구간인 것 중 열린구간이 아닌 것도 존재한다. $_\blacksquare$
정리($T.P$) 1.5)
① 공집합과 $\mathbb{R}$ 은 닫힌집합이다.
② 임의의 닫힌집합족 $\left\{C_{\alpha}\mid \alpha \in I \right\}$ 의 교집합 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in I}^{}C_{\alpha}$ 또한 닫힌집합이다.
③ 유한한 닫힌집합족 $\left\{ C_i \right\}_{i=1}^{n}$ 에 대해, $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}C_i$ 는 닫힌집합이다.
증명) ① 실수집합과 공집합은 열린집합임을 정리($A.N$) 9.3)-① 에서 보였다. $\emptyset^c=\mathbb{R}$ 이고 $\mathbb{R}^c=\emptyset$ 이므로 이들의 여집합이 열린집합이니, 실수 집합과 공집합 모두 닫힌집합의 정의를 만족시킨다.
② $\mathbb{R}$ 의 닫힌 부분집합으로 이루어진 집합족 $\left\{ C_{\alpha}\mid \alpha \in I \right\}$ 에 대해 여집합의 모임 $\left\{ \mathbb{R}-C_{\alpha}\mid \alpha \in I \right\}$ 가 열린집합이라는 뜻이다. 그러면 정리($A.N$) 9.3)와 드 모르간의 법칙에 의하여 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in A}^{}\left( \mathbb{R}-C_\alpha \right)=\mathbb{R}-\displaystyle \bigcap_{\alpha \in A}^{}C_\alpha$ 는 열린집합이 된다. 그러면 닫힌집합의 정의의 의해 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in A}^{}C_\alpha$ 는 닫힌집합이 된다.
③ $\mathbb{R}$ 의 닫힌 부분집합으로 이루어진 유한 집합족 $\left\{ C_i \right\}_{i=1}^{n}$ 가 주어지면 $\left\{ \mathbb{R}-C_i \right\}_{i=1}^{n}$ 는 열린집합족이니, 정리($A.N$) 9.3) 와 드 모르간의 법칙에 의하여 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}\left( \mathbb{R}-C_i \right)=\mathbb{R}-\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}C_i$ 는 열린집합이고, 따라서 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}C_i$ 는 닫힌집합이 된다. $_\blacksquare$
실수집합과 공집합은 열린집합이자 닫힌집합입니다. 이러한 집합을 '열닫집합(Clopen set)'이라 합니다.
정리($T.P$) 1.6) 한원소집합은 닫힌집합이다.
$a\in \mathbb{R}$ 만으로 이루어진 한원소집합(singleton set) $\{ a\}$ 는 닫힌집합이다.
증명) $\mathbb{R}-\{ a\}$ 는 열린구간이다. 임의의 $x\in (\mathbb{R}-\{ a\})$ 를 생각하자. 그러면 $x$ 를 중심으로 하고 반지름이 $\varepsilon = \left| x-a \right|$ 인 구간 $(x-\varepsilon , x+\varepsilon)$ 을 언제나 만들 수 있다. 따라서 정리($A.N$) 9.1)-② 에 의해 $\mathbb{R}-\{ a\}$ 는 열린집합이니, $\{ a\}$ 는 닫힌집합이다. 이는 $\{ a \}=[a,a]$ 라는 점, 곧 단원소집합을 닫힌구간으로 표현 가능하다는 우리의 기존 개념에 부합하기도 한다. $_\blacksquare$
예제 4) $a,b\in\mathbb{R}$ 에 대해 반열린구간 $[a,b)$ 는 열린집합도, 닫힌집합도 아닌데, 그 이유를 밝혀라.
Sol) 주어진 구간은 $a$ 를 중심으로 하는 열린구간을 포함하지 않으므로 열린집합이 아니다. 그리고 $\mathbb{R}-[a,b\}=(-\infty,a)\cup [b.\infty)$ 는 $b$ 를 중심으로 하는 열린구간을 포함하지 않으므로 열린집합이 아니다. 그러니 $[a,b)$ 는 닫힌집합도 아니다. $_\blacksquare$
[참고문헌]
Fred H. Croom, Principles of Topology
- 내부점이 아닌 밀착점, 즉 극한점(집적점)을 포함하지 않는다는 뜻 [본문으로]
- 밀착점을 모두 포함하는 집합 [본문으로]
- 그래서, 닫힌집합의 정의 자체를 주어진 집합과 그것의 폐포가 동일한 집합으로 정의하기도 합니다. 물론 아래에서 후술할 여집합이 열린집합일 때에 해당하는 정의를 더 즐겨 쓰기는 하지만요. [본문으로]
- 열린집합의 정의에서는 $A$ 가 열린'구간'족의 합집합으로 표현될 때 $A$ 를 열린집합이라 하겠다는 것입니다. 반면 이 내용은 열린'집합'족의 합집합을 만들어도 그것이 열린집합이라는 뜻이니 두 개념의 의미가 다릅니다. [본문으로]
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