실수에서 닫힌집합과 폐포, 극한점(집적점)의 관계(The relation between the closed set, closure and cluster point)

극한점(집적점)의 뜻과 닫힌집합의 정의를 익히면, 폐포(closure)라는 개념을 도입해 닫힌집합을 조망할 수 있는 사전 준비가 끝났다고 볼 수 있습니다. 보통 폐포는 내부(interior)의 개념과 같이 소개되지만, 극한점의 개념 때문에 내부보다 좀 더 중요한 의미를 같습니다.

 

[그림 1] 폐포는 내부와 경계를 포함하는 것이라, 제게는 찰지고 딱딱한 둥근 빵을 연상시킵니다.

 

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1. 폐포와 닫힌집합, 극한점(집적점)의 관계

 

폐포의 정의는 극한점을 설명할 때 간략하게 한 적 있으나 다시 봅시다.

 

정의($T.P$) 1-13) $\mathbb{R}$ 에서의 폐포(closure in real number)
$B\subseteq \mathbb{R}$ 이라 하자. $B$ 의 모든 밀착점을 모은 집합을 $B$ 의 폐포(closure)라 하고, $\overline{B}$ 로 나타낸다.
직관적으로 생각하면 폐포란 구간(2차원에서는 평면, 3차원에서는 공간)의 내부점과 경계점을 모두 모은 것이다.

 

저번 글에서 극한점의 개념을 다루었었는데, 그것과 닫힌집합 사이에는 기묘한 관계에 놓여 있습니다.

 

 

 

정리($T.P$) 1.7) $\mathbb{R}$ 에서 폐포와 닫힌집합 사이의 관계
$B\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 $B$ 가 닫힌집합일 필요충분조건은 $B=\overline{B}$ 인 것이다. 다시 말해 $B\subseteq \mathbb{R}$ 이 닫힌집합일 필요충분조건은 $B$ 가 자기 자신의 모든 밀착점을 포함하는 것이다. 그런데, 실직선에서 닫힌구간은 고립점이 존재할 수 없으므로, 위 정리에서 밀착점 대신 집적점(극한점)이라고 기술하더라도 충분하다.

증명) 위 정리 마지막 문장에 기술되어 있듯이 정리를 증명할 때 밀착점의 개념 대신 집적점으로 치환해서 생각해도 충분하다.

$\Longrightarrow $ : $B$ 가 닫힌집합이라 하고 $x$ 를 $B$ 의 집적점이라고 하자. 얻어야 하는 결론은 $x\in B$ 이지만, 귀류법을 사용하기 위해 $x\notin B$ 이라 가정하고 모순을 보일 것이다. 그러면 $\mathbb{R}-B$ 는 $x$ 를 포함하며 열린집합인데, $B$ 의 점은 하나도 포함하지 않는다. 따라서 $x$ 가 $B$ 의 집적점이라는 가정에 모순이다.^[각주:1] 그러므로 집적점 $x$ 는 $B$ 에 속해있다.

$\Longleftarrow$ : $B$ 가 모든 집적점을 포함하고 있다고 하자. $\mathbb{R}-B$ 가 열린집합임을 보이면 된다. 어떤 $y\in (\mathbb{R}-B)$ 가 존재하고, 그러면 $y$ 는 $B$ 집적점이 아니게 된다. 그러면 어떤 열린집합 $A_y$ 가 $y\in A_y$ 이고 $A_y\cap B=\emptyset$ 을 만족하며 존재하게 된다. 따라서 $\mathbb{R}-B$ 는 어떤 열린집합 $A_y$ 들의 합집합이 되어 열린집합이 된다. 고로 $B$ 는 닫힌집합이다. $_\blacksquare$

 

 

주의할 점이 있습니다. 제가 찾아보니, 어떤 전공교재를 보면 위 정리에서 닫힌집합일 필요충분조건은 그 집합이 자기 자신의 모든 '극한점(집적점)'을 포함하는 것이라고 설명하는 경우가 있습니다. 하지만 정확한 표현은 위 명제와 같이 밀착점(= 극한점 + 고립점)이라고 말해야 합니다. 실제로 이 정리를 가장 추상적이고 방대한 공간인 위상공간으로 확장해서 적용하게 되면, 어떤 집합이 닫힌집합일 필요충분건은 자기 자신의 극한점과 자기 자신의 모든 원소를 포함해야 하는 것임을 알 수 있습니다. 이에 관해서는 정리($T.P$) 2.24) 를 참고하시면 됩니다. 그러나 정리 박스 마지막에 적어두었듯이, 실직선 $\mathbb{R}$ 에서 닫힌구간이라고 하면 고립점이 존재할 수 없고, 또 역으로 고립점과 어떤 구간으로 구성된 집합이 닫힌구간이 될 수는 없기 때문에, 실직선에서는 이 정리에서 밀착점 대신 극한점이라고만 서술해도 괜찮습니다. 아마 그 전공교재에도 이러한 까닭으로 인해 그렇게 적어두지 않았을까, 합니다.

 

이는 정리라고 이름을 붙이긴 했지만 폐포를 통해서 닫힌집합을 다시 정의한다는 뉘앙스로 받아들여도 됩니다. 그렇다면, 주어진 집합이 자신의 폐포와 같을 때 그 집합을 닫힌집합이라고 한다는 것입니다. ^[각주:2]

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예제 1) 닫힌구간 $[1,4]$ 는 닫힌집합이다. $[1,4]$ 의 폐포가 $[1,4]$ 그 자체이기 때문이다.

예제 2) 열린구간 $(1,4)$ 는 닫힌집합이 아니다. 폐포가 $[1,4]$ 이기 때문이다.

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H. Croom, Principles of Topology

 

 

 

 

 

1. 집적점의 정의에 의하면 $x\in (\mathbb{R}-B)$ 인 상황에서 $\mathbb{R}-B$ 가 열린집합이므로, $\mathbb{R}-B$ 는 $x$ 이외에 $B$ 의 무수히 많은 원소를 포함해야 한다. 그런데 보니까 $B$ 의 그 어떤 원소도 포함하고 있지 않다는 뜻이라, 모순이 된다는 것이다. [본문으로]
2. 주의해야 할 것이 엄밀하게 말하면 폐포=닫힌집합이라고 생각하는 것은 올바르지 않다는 것입니다. 같은 것이 아니라 필요충분조건입니다. 어떤 집합 $A$ 가 주어졌을 때, 그 집합이 자신의 폐포와 같을 때 닫힌집합입니다. 이 두 표현은 약간 뉘앙스가 다릅니다. 폐포=닫힌집합이라고 생각하면 '주체'가 없습니다. 즉 닫힌집합 자체는 폐포가 맞지만 우리가 생각하는 집합의 대상이 주어진 닫힌집합이 아닐 수가 있기 때문입니다. [본문으로]