거리공간의 위상적 성질(Topological properties on the metric space)

위상수학을 공부할 때 가장 핵심적인 공간을 하나 뽑으라면 저는 거리공간을 택할 것 같습니다. 몇가지 이유가 있지만 가장 원초적인 까닭은 다음과 같습니다. 위상공간 자체는, 이를 선명하게 이미지를 그려 '상상화'하는 것이 원래 무척 어렵고 불가능에 가깝습니다. 그러나 거리공간은 위상공간 다음으로 큰 범주의 공간인데 거리공간부터(놈 공간, 유클리드 공간 등등은) 열린 '공'의 개념으로 열린집합을 이미지화, 구체화하는 것이 가능합니다. 다시말해 직관적인 이해가 가능하려면 벤다이어그램을 그린다든지, 일상에서의 용어 개념과 연결지어 찰떡같고 번쩍이는 그런 상황들이 몇개 떠올라야 하는데, 가장 추상적인 위상공간은 도대체 무엇을 말하는지 떠올리는게 어렵지만 거리공간부터는 가능하다는 뜻입니다. 예를 들어 위상수학을 공부할 때 위상공간의 '열린집합'의 이미지가 잘 상상되지 않지만 거리공간에서의 열린공 이미지를 떠올려 보는 것이 매우 효과적이고 직관에 부합합니다. 어차피 거리공간이 아닌 위상공간은 잘 다루지 않는 편이기도 해서, 처음 위상을 익힐 때 거리공간을 다루는 것은 매우 교육학적으로 좋은 접근법이라 생각됩니다.

 

거리공간이 무엇인지 정의했으니, 이제 거리공간의 위상적 성질을 탐구할 차례입니다. 거리공간은 위상공간이라는 점을 토대로 많은 위상적 성질을 분석해 볼 수 있습니다.

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1. 거리공간에서의 공

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 3-3) 거리공간에서 열린공(개구)와 닫힌공(폐구)
거리공간 $(X,d)$ 와 $x\in X$, 그리고 양의 실수 $r>0$ 을 생각하자.

① 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 '열린공(open ball)'은 다음과 같이 정의한다.
$$B_d(x,r):= \{ y\in X \mid d(x,y)< r  \}$$
② 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 '닫힌공(closed ball)'은 다음과 같이 정의한다.
$$B_d[x,r] :=\{ y\in X\mid d(x,y)\leq r \}$$

 

공에 대한 정의는 직관적이고 작명을 받아들이는데 큰 문제가 없을 것 같습니다. 열려 있다는 것은 마치 공의 표면을 제외한 내부만을 말하는 것이고, 닫혀 있다는 것은 공의 표면과 내부를 합친 것을 말합니다. 이는 열린집합 및 닫힌집합의 개념과도 매끄럽게 이어진다고 볼 수 있습니다.

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예제 1) $\mathbb{R}^2$ 위에 보통거리 $d_u$ 가 주어졌을 때 열린공 $B_{d_u} (O,1)$ 이 나타내는 집합을 그려라. 여기서 $O$ 는 원점을 의미한다.

 

 

Sol) 보통거리의 정의에 따라 $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<1$ 을 의미하는 것이기 때문에 결국 원점이 중심이고 반지름이 1인 원의 경계를 제외한 내부를 의미한다. 따라서 그림으로 나타내면

 

와 같다. $_\blacksquare$

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예제 2) $\mathbb{R}^n$ 위에 택시거리 $d_t$ 가 주어졌을 때, 열린공 $B_{d_t} (O,1)$ 이 나타내는 집합을 그려라. 여기서 $O$ 는 원점을 의미한다.

 

 

Sol) 맨해튼 거리의 정의에 따라 $B_{d_t}(x,y)=\left| x-0 \right|+\left| y-0 \right| = \left | x\right | + \left | y \right| <1$ 가 성립한다. 고등학교 수학에 나오는 부등식의 영역이다. 따라서 아래 그림

 

 

 

과 같이 다이아몬드 형태의 사각형 내부를 의미한다. $_\blacksquare$

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예제 3) 임의의 집합 $X$ 에 이산거리 $d_t$ 를 부여한다고 생각하자.

 

i) $r\leq 1$ 일 때 열린공 $B_{d_t} (x,r) = \{ y\in X \mid d_{t} (x,y) < r \}$ 을 의미하므로 이것은 $\{ x\}$ 와 같다. $y= x$ 이면 $d_t (x,y)=0 < r$ 성립하므로 $x\in B_{d_t} (x,r)$ 인 것이고, $y\neq x$ 이면 $d_t( x,y)=1$ 이고, 가정에 의해 $r\leq 1$ 이라 하였으니, $r> 1=d_t(x,y)$ 인 $r$ 은 존재하지 않기 때문이다. 즉 $y\neq x$ 일 때는 $B_{d_t} (x,r)$ 에 들어가는 원소가 없으므로 유일한 원소는 $\{ x\}$ 인 것이다.

 

ii) $r <1$ 이면 $B_{d_t}[x,r] = \{ y\in X \mid d_t (x,y) \leq r (< 1) \}$ 을 의미하므로 이것도 결국 $y=x$ 일 때 $d_t(x,y)=0$ 만을 원소로 갖는다. 따라서 주어진 $r <1$ 범위 내에서 $B_{d_t} [x,r] = \{ x\}$ 가 된다.

 

iii) $r=1$ 이면 $B_{d_t} [x,r] = X$ 가 된다. 임의의 $y\in X$ 에 대하여 $d_t(x,y)=0\; \text{or} \; 1$ 이기 때문에 $d_t(x,y)\leq r=1$ 을 만족하기 때문이다.

 

iv) $r>1$ 인 상황을 생각하자. $y\neq x$ 이든지 $y=x$ 이든지 이산거리 $d_t(x,y)=0\;\text{or}\; 1$ 이 성립한다. 따라서 $r>1$ 이면 $y=x$ 이거나 $y\neq x$ 이거나 항상 이산거리가 $r$ 보다 작기 때문에 $y\in X$ 는 열린공과 닫힌공에 들어가게 되므로, $B_{d_t} (x,r) = B_{d_t} [x,r]= X$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

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2. 거리공간에서 위상의 부여와 기저

 

거리공간을 다룰 때는, 학습자가 위상공간에 대한 정의와 기본 개념을 알고 있는 상태인지 아닌지가 꽤 중요합니다. 사실 모든 거리공간은 위상공간이므로 위상공간을 알고 거리공간을 학습하면 좋은 점이 많지만, 보다 직관적인 이해를 하는 경우, 또 위상수학이 아니라 해석학에서 거리공간을 간단히 다루는 경우라면 위상공간을 모른채 거리공간을 공부해야 할 수 있습니다. 만일 후자에 해당하는 상황이라면 다음을 기억해야 합니다.

 

▶  아래 글에서 '기저'라는 용어나 기저에 관한 성질의 설명은 무시하도록 한다. 그러나 맥락에서 '기저'라는 용어가 사용된다면, 그것은 아래 적혀 있는 것처럼 '열린공'의 개념과 똑같다고 생각하면 충분하며 오류가 없다.

 

▶ 위상공간의 관점에서 열린집합의 정의는 위상의 원소인 것이다. 하지만 위상공간을 학습하지 않았다면 열린집합의 정의는 여기서 열린공의 합집합으로 표현되는 경우로만 생각한다. 어차피 동치이다.

 

 

 

두번째 내용이 특히 중요합니다. '정의'에만 집중하면 된다는 수학의 근본에 초점을 맞추면 됩니다.

 

 

정의($T.P$) 3-4) 거리에 의해 생성된 위상과 그것의 기저
거리공간 $(X,d)$ 을 생각하자. 이때의 거리 $d$ 에 대해 중심이 $x\in X$ 이고 반지름이 $r>0$ 인 모든 열린공들의 모임은 $\mathcal{B}=\left\{ B_d(x,r)\mid x\in X, r>0 \right\}$ 은 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저가 되며, $\mathcal{T}$ 를 '거리 $d$ 에 의해 유도된(induced) 거리위상(metric topology)'라 한다. 

정의($T.P$) 3-5) 거리에 의해 생성된 위상에서 열린집합
거리공간 $(X,d)$ 의 한 부분집합 $U\subseteq X$ 가 열린공의 합집합으로 표현되는 경우, 즉 $U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}B_d(x_\alpha , r_\alpha)$ 가 성립한다면 $U$ 를 거리함수 $d$ 에 대한 '열린집합(open set)'이라고 한다.
이러한 열린집합들의 모임인 열린집합족은 '거리 $d$ 에 의해 생성된 $X$ 의 위상(topology for X generated by $d$)'라고 한다.

정의($T.P$) 3-6) 거리공간에서 닫힌집합
거리공간 $(X,d)$ 에 대하여 어떤 $C\subseteq X$ 를 생각하자. 만일 $X-C$ 가 거리 $d$ 에 대한 열린집합이면, $C$ 는 $d$ 에 대한 '닫힌집합(closed set)'이라고 한다.

 

이것을 보면 두 가지 질문을 던져야 합니다. 첫째, 엄밀하게 따지면 실제로 여기서 언급하는 기저 집합 $\mathcal{B}$ 가 진짜 위상수학에서 말하는 기저가 되는지를 확인해야 합니다. 그것을 아래 예제 4)에서 확인할 것이고, 그 과정에서 필요한 보조정리를 바로 소개할 것입니다. 둘째, 기저를 통해서 거리공간에 위상이 부여함을 보일 수 있으나, 순수 위상공간의 정의만으로 정말 거리공간이 위상공간임을 보일 수 있는지도 확인해 볼 필요가 있습니다. 그것에 필요한 도구들을 모두 보임으로서, 아래 정리($T.P$) 3.3) 에서 다루게 됩니다.

 

 

보조정리($T.P$) 3.2)
거리공간 $(X,d)$ 의 기저 $\mathcal{B}$ 를 생각하자. 만일 $y\in B_d(x,r)\in\mathcal{B}$ 이면, $y\in B_d(y,\delta)\subseteq B_d(x,r)\in\mathcal{B}$ 가 성립하게 하는 $\delta >0$ 이 존재한다.

증명) 편의상 거리가 $d$ 로 고정되어 있으니 공의 아래첨자 $d$ 표기를 생략하겠다. $y\in B(x,r)$ 을 생각해보자. $\delta:=r-d(x,y)$ 와 같이 정의한다. 그러면 임의의 $z\in B(y,\delta)$ 에 대해 $d(y,z) < \delta =r-d(x,y)$ 가 된다. 이를 활용하면 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) < r$ 가 성립하므로, $z\in B(y,\delta)$ 이면 $z\in B(x,r)$ 이 된다는 뜻이다. 따라서 $B(y,\delta)\subset B(x,r)$ 이 성립한다. $_\blacksquare$

 

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예제 4) 정의($T.P$) 3-4) 에서의 기저 $\mathcal{B}=\left\{ B_d(x,r)\mid x\in X, r>0 \right\}$ 가 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저가 되는지를 기저의 정의를 바탕으로 보여라.

 

Sol) i) 기저조건 : 임의의 $x\in X$ 는 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 공 내부에 당연히 포함된다. 즉 임의의 $r>0$ 에 대하여 $x\in B(x,r)$ 이 성립하는 것이다.

 

ii) 교집합조건 : $B_1, B_2\in\mathcal{B}$ 라 하고 $y\in (B_1\cap B_2)$ 라 하자. 그러면 보조정리($T.P$) 3.2) 에 의하여, $B(y,\delta_1)\subset B_1$ 이고 $B(y,\delta_2)\subset B_2$ 가 되게 하는 $\delta_1,\delta_2 >0$ 이 존재한다. $\delta:=\min \{ \delta_1, \delta_2\}$ 로 잡으면 $B_3:=B(y,\delta)\subseteq (B_1\cap B_2)$ 가 된다. $_\blacksquare$

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이제 우리의 목표는 모든 거리공간은 항상 위상공간이라는 것을 보이는 일입니다.

 

 

정리($T.P$) 3.2) 거리공간에서 열린 부분집합의 위상적 성질
거리공간 $(X,d)$ 의 열린집합 $U\subseteq X$ 를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.
① $\emptyset, X$ 는 열린집합이다.
② 열린집합족의 합집합은 열린집합이다.
③ 유한 열린집합족의 교집합은 열린집합이다.

증명) ① 전체공간 $X$ 는 중심이 임의의 원소 $x\in X$ 이고, 반지름도 임의의 값 $0 < r\in\mathbb{R}^+$ 으로 제시된 열린공들의 합집합으로 표현 가능하므로 열린집합이다. 공집합의 경우, 임의의 열린공들의 공집합에 대한 합집합이므로 열린집합이다. 이는 곧 인덱스집합을 공집합으로 잡아 $\emptyset =\displaystyle \bigcup_{\alpha\in \emptyset}^{  }B\left( x_\alpha, r_\alpha \right)$ 와 같이 표현할 수 있다는 뜻이다.

② 열린집합족 $\{ U_\alpha \mid \alpha\in I\}$ 를 고려하자. 그러면 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}U_\alpha$ 는 각각의 열린집합 $U_\alpha$ 를 구성하는 모든 열린공들의 합집합에 해당한다. 즉 열린공들을 합집한 것이 열린집합이므로 열린집합들을 아무리 많이 합집합면 결국 그것들도 열린공들의 합집합 꼴로 나타낼 수 있다는 것이다. 따라서 열린집합족의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}U_\alpha$ 또한 열린집합이다.

③ $\{ U_i \}_{i=1}^n$ 을 유한 열린집합족이라 하고 $x\in \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_i$ 라 하자. 보조정리($T.P$) 3.2) 에 의하면 $i=1,2,\cdots ,n$ 마다 각각 $r_i$ 가 존재하여 $B(x,r_i)\subset U_i$ 가 성립한다. 그러면 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}B(x,r_i)\subset\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_i$ 또한 성립한다. 이때 $r=\min \{ r_i\}_{i=1}^n$ 로 택해주면 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}B(x,r_i)
=B(x,r)\subset\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_i$ 이 된다. 즉 유한 열린집합족의 교집합은 어떤 열린공으로 표현할 수 있기 때문에 열린집합이다. $_\blacksquare$

 

 

 

이것을 변형하여 닫힌집합 version 에 대해서 쓰면 다음과 같습니다. 약간 성질이 뒤바뀌는 것이 있죠. 참고로 이 증명방식에서는 집합족에 대한 드 모르간 법칙을 애용합니다.

 

 

정리($T.P$) 3.3) 거리공간에서 닫힌 부분집합의 위상적 성질
거리공간 $(X,d)$ 의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다.
① $\emptyset, X$ 는 닫힌집합이다.
② 닫힌집합족의 교집합은 닫힌집합이다.
③ 유한 닫힌집합족의 합집합은 닫힌집합이다.

증명) ① 정리($T.P$) 3.2)- ① 로부터 $X,\emptyset$ 은 열린집합인데 $X-X=\emptyset$ 과 $X-\emptyset = X$ 또한 열린집합이므로, 이들은 닫힌집합이다. 곧 $X,\emptyset$ 은 열린집합이면서 닫힌집합이다. 이런 집합은 클로펜집합이라고 한다.

② 닫힌집합족 $\{ C_\alpha \mid \alpha\in I\}$ 를 생각하자. 그러면 각각의 $C_\alpha$ 들의 여집합인 $X-C_\alpha = U_\alpha$ 는 열린집합이다. 그리고 정리($T.P$) 3.2)-② 에 의하여 열린집합들의 합집합 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}U_\alpha$ 은 열린집합이다. 따라서

$$\begin{align*}
\displaystyle \bigcap_{\alpha \in I}C_\alpha&=\displaystyle \bigcap_{\alpha \in I}\left( X-U_\alpha \right)
=\displaystyle \bigcap_{\alpha \in I}^{} \left( X\cap U_{\alpha}^c \right)
\\\\&=X\cap \left( \displaystyle \bigcap_{\alpha \in I}^{} U^c_{\alpha} \right)
=X\cap \left( \displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{} U_{\alpha}  \right)^c
\\\\&=X-\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{} U_{\alpha}
\end{align*}$$
는 닫힌집합이다.

③ 유한 닫힌집합족 $\{ C_i\}_{i=1}^n$ 을 고려하자. 그러면 각각의 $X-C_i=:U_i$ 들은 열린집합이고, 정리($T.P$) 3.2)-③ 에 의하여 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^n U_i$ 또한 열린집합이다. 이 성질을 사용하면

$$\begin{align*}
\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}C_i &=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}\left( X-U_{i} \right)
=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} \left( X\cap U_i^c \right)
\\\\&= X\cap \left( \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}U_{i}^c \right)
=X\cap \left( \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_{i} \right)^c
\\\\&=
X-\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_{i}
\end{align*}$$
을 얻는다. 따라서 유한 닫힌집합족의 합집합은 닫힌집합이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($T.P$) 3.4)
거리공간 $(X,d)$ 와 $U\subseteq X$ 에 대해 다음은 동치이다(TFAE).
① $U$ 는 열린집합이다. 
② 임의의 $x\in U$ 에 대하여 $x\in U$ 이면, 적당한 양수 $\delta$ 가 존재하여 $x\in B_d(x,\delta)\subseteq U$ 가 성립하는 $B_d(x,\delta)\in\mathcal{B}$ 가 존재한다.^[각주:1]
③ 만일 $U\subsetneq X$ 이면, 임의의 $x\in U$ 에 대하여 $d(x, X-U) >0$ 이다.

증명) ① $\Longrightarrow$ ② : 정리($T.P$) 2.5) 에 의하여 기저원소 $B_d(x,r)$ 또한 열린집합이다. 그러면 보조정리($T.P$) 3.2) 에 의해 주어진 방향의 명제는 참이다. 아니면 정리($T.P$) 2.2) 의 마트로시카 정리를 사용해서 증명해도 좋다.

② $\Longrightarrow$ ① : $U$ 를 열린공 $B_d(x,r_i)$ 들의 합집합으로 표현할 수 있기 때문에 $U=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{} B(x,r_i)$ 는 열린집합이다.

② $\Longrightarrow$ ③ : $B_d(x,\delta)\subset U$ 를 생각하자. 이는 중심이 $x$ 이고 반지름이 $\delta$ 이며 열린집합에 포함되는 한 열린공이다. 그러면 $x$ 로부터의 거리가 $\delta$ 미만인 모든 점들은 $U$ 에 포함되어 있는 것이다. 그러면 $x$ 로부터 $X-U$ 까지의 거리는 적어도 $\delta$ 보다 크거나 같으므로, 모든 $x\in U$ 에 대하여 $d(x,X-U)>0$ 이다.

③ $\Longrightarrow $ ② : $d(x, X-U) > 0$ 이라는 뜻은 $x$ 로부터 $U$ 밖에 있는 점들과의 거리를 $k$ 라 하면 $k$ 가 양수임을 뜻한다. 물론 여기서 $k$ 는 $x$ 에 의존하는 값이다. 그러면 $x$ 로부터 거리가 $k$ 보다 작은 점들은 전부 $U$ 에 포함되어 있어야 하므로, $x$ 를 중심으로 하는 어떤 열린공을 만들어 $U$ 에 포함되도록 할 수 있다. 곧, $B(x, k) \subset U$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

이제 모든 거리공간은 위상공간임을 보일 수 있게 되었습니다.

 

 

정리($T.P$) 3.5) 모든 거리공간은 위상공간이다.
임의의 거리공간 $(X,d)$ 에서는 거리함수 $d(x,y)$ 를 기반으로 열린공 $B_d(x,r)=\{ y\in X\mid d(x,y) <r\}$ 을 정의할 수 있다. 이 열린공들의 합집합으로 $U\subseteq X$ 를 만들면, $U$ 는 거리공간에서 열린집합이다. 그러면 $U$ 위상공간에서도 열린집합이다. 즉 $U\in\mathcal{T}$ 가 성립한다. 이는 곧 모든 거리공간 $(X,d)$ 은 그로부터  위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 을 유도할 수 있음을 뜻한다.

증명) 위상의 정의 T1~3) 를 확인하면 충분하다. 정의($T.P$) 3-5) 에서 정의한 것처럼, $U\subseteq X$ 가 열린공의 합집합으로 표현된다고 하자. 그러면 거리공간에서 $U$ 는 열린집합이 된다는 것이다.

이제 이것이 위상공간에서 열린집합이 되는지, 즉 $U\in\mathcal{T}$ 인지 확인해야 한다. 그런데 정리($T.P$) 3.2) 에 의하면 T1~T3) 가 모두 만족됨을 알 수 있다. 따라서 $U\in\mathcal{T}$ 이 성립하고, 이는 거리공간 $(X,d)$ 로부터 반드시 위상 $\mathcal{T}$ 를 이끌어내서 그에 대응되는 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 만들 수 있음을 함의한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H Croom, principles of Topology

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 여기서 $B_d(x,\delta)$ 는 기저원소에 해당하지만, 기저를 모르는 상황이라면 그냥 열린공으로 취급해도 무방하다는 뜻. 거리공간에서 기저원소의 정의가 애초에 열린공들이기 때문. [본문으로]