거리공간에서 극한점과 수열의 수렴(Limit point and convergent sequence in the Metric space)

지금 우리는 거리공간의 위상적 성질을 탐구하고 있습니다. 이제 무시무시한 극한점의 개념이 또 등장했는데, 극한점의 개념은 실직선에서 들여다 보았을 때 이해하기 가장 간편하기 때문에 실직선에서의 극한점 개념을 반드시 숙지하고 넘어왔으면 합니다. 사실 거리공간에서의 극한점도 실수에서의 극한점 개념을 약간 확장한 것과 전혀 다름이 없기 때문에 그를 알고 있다면 날먹할 수 있습니다. 거리공간 버전으로 옷만 갈아 입는다, 이렇게 생각해도 문제가 없습니다.

 

그럼 거의 비슷한데 왜 이런 짓거리를 또 하냐고 물을 수 있겠지요. 거리공간에서는 극한점 자체의 개념이 중요하기보다도, 수열의 수렴과 엮어서 몇가지 뜻깊은 개념을 건설할 수 있다는 것이 저의 답변입니다. 그 개념으로는 '코시수열(Cauchy sequence)'와 '힐베르트 공간(Hilbert space)'가 있습니다. 코시수열은 해석학에서도 간단히 다루지만, 힐베르트 공간은 그렇지 않습니다.^[각주:1] 그렇기에 해석학+코시수열+거리공간+극한점이 낳고 토해낸 결과물이 힐베르트 공간이고 그것이 우리의 주 목적지임을 각인시킨 뒤 출발해 보도록 합시다.

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1. 거리공간에서 수열의 극한

 

1) 정의

 

거리공간에서 집적점(극한점)의 정의는 수열의 극한 없이도 할 수 있으나, 집적점의 성질들을 알아보려면 수열의 극한 개념이 필요해집니다. 그래서 일단 수열의 극한 정의부터 먼저 질러두고 가겠습니다. 어렵지 않습니다.

 

정의($T.P$) 3-7) 거리공간에서 수열의 극한
거리공간 $(X,d)$ 에서 $x_n\in X$ 들로 구성된 수열 $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 을 생각하자.
① 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대하여 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여, $n\geq N$ 이면 $d(x_n, x)< \varepsilon$ 이 성립할 때, 수열 $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 은 점 $x\in X$ 로 '수렴한다(coverge)'고 한다.
② 거리공간 $(X,d)$ 의 수열 $\{ x_n \}_{n=1}^{\infty}$ 이 $x\in X$ 로 수렴할 필요충분조건은 각각의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대하여 각 $\varepsilon > 0$ 마다 열린공 $B_d(x,\varepsilon)$ 이 유한개의 항을 제외한 나머지 모든 $x_n$ 을 포함하는 것이다.

 

이 정의를 보면, 일반적으로 미적분학에서 했었던 수열의 극한 정의와 크게 다를 바가 없음을 알아차릴 수 있어야 합니다. 거창하게 $d(x_n, x)< \varepsilon$ 이라고 표현하기는 했지만, 이는 1차원적 개념을 약간 2,3 차원스럽게 변형한 수준임을 직관적으로 납득할 수 있을 것이기 때문입니다.^[각주:2]

 

 

여기서 ② 가 무슨 뜻인지 조금 더 분석해 봅시다. 이 $d(x_n, x)< \varepsilon$ 라는 표현은 곧 $x_n\in B_d(x,\varepsilon)$ 과 완전히 같은 뜻임에 주목합니다. 그러면 임의로 어떤 $\varepsilon >0$ 의 값이 주어졌을 때 그로인해 만들어지는 열린공 $B(x,\epsilon)$ 을 고려하면, 이 열린공의 외부+경계에 있는 점들과 내부에 있는 점들 이렇게 두 부분으로 나눌 수 있습니다. 외부와 경계에 있는 점들은 $n< N$ 일 때의 $\{x_n\}$ 들의 항이고 이 항의 개수는 $1$ 부터 $n-1$ 까지이니 $n-1$ 개로 유한합니다. 반면 $n\geq N$ 인 지점부터 남은 $\{ x_n\}$ 의 항은 무한개이고 이들에 해당하는 항들은 바로 열린공에 포함되는 점(내부점)이라고 볼 수 있습니다. 따라서, ② 의 의미는 임의로 반지름 $\varepsilon$ 이 주어졌을 때 그 열린공 바깥(외부+경계)에 있는 유한개의 항을 제끼고 열린공(내부)에 나머지 항들을 포함시킬 수 있도록 $N\in\mathbb{N}$ 값을 지정할 수 있다면 수열이 수렴한다는 것을 의미합니다.

 

이것이 잘 이해되었는지 확인을 한 번 해볼까요? 위의 [그림 1]과 같이 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 >0$ 이 주어진 경우 $N$ 의 값을 $N_1, N_2$ 라 한다면, 둘 중 무엇이 더 커야 하나요? $N_1>N_2$ 여야 할 것입니다.

 

 

2) 수열의 극한은 존재하면 유일성을 갖음

 

정리($T.P$) 3.7)|
거리공간에서 수열의 극한이 존재하여 그 수열이 수렴한다고 하자. 그러면 그 극한값은 유일하다.

증명) 거리공간 $(X,d)$ 에서 수열 $\{ x_n\}$ 이 서로 다른 두 극한값 $a,b$ 를 가진다고 가정하고 귀류법을 사용하여 모순을 이끌어내려고 한다. $\varepsilon=\displaystyle \frac{1}{2}d(a,b)$ 로 잡아보자. 그러면 거리공간에서의 수열의 극한 정의에 의하여 어떤 $N_a\in\mathbb{N}$ 가 존재하여 $n\geq N_a \;\; \Longrightarrow \;\; d(x_n, a) < \varepsilon$ 이 성립하고 $N_b\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\geq N_b \;\; \Longrightarrow \;\; d(x_n, b)< \varepsilon$ 이 성립하게 된다. 그러면 $n$ 값이 $N_a, N_b$ 둘 모두보다 큰 상황을 고려하면 $d(x_n, a)<\varepsilon$ 과 $d(x_n, b)<\varepsilon$ 이 전부 만족된다. 그러면 D3) 를 적용했을 때

$$d(a,b)\leq d(x_n,a)+ d(x_n,a) < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = d(a ,b)$$
가 되어 $d(a,b)< d(a,b)$ 이므로 모순이다. 따라서 $a=b$ 가 되어야 하므로 주어진 수렴하는 수열의 극한값은 반드시 유일하다. $_\blacksquare$

 

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2. 거리공간에서 집적점(극한점)

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 3-8) 거리공간에서 극한점(집적점)
거리공간 $(X,d)$ 에서 $A\subseteq X$ 를 생각하자. $x\in A$ 가 $A$ 의 '집적점(accumulation or cluster point)' 또는 '극한점(limit point)' 일 필요충분조건은 $x\in X$ 가 $A-\{ x\}$ 의 밀착점인 것이다. 달리 말하자면 어떤 점 $x\in X$ 를 포함하는 모든 열린집합이 $x$ 가 아닌 점을 포함할 때 $x$ 를 $A$ 의 집적점이라고 한다. 여기서 $A-\{ x\}$ 즉 $x$ 가 아닌 $A$ 의 점이라는 부분은 $x\in A$ 일 때만 신경써 주면 충분하다.

정의($T.P$) 3-9) 유도집합
거리공간 $(X,d)$ 에서 $A\subseteq X$ 의 극한점을 모은 집합을 '유도집합(derived set)'이라 하고 주로 $A'$ 으로 표기한다.

정리($T.P$) 3.8) 거리공간에서 집적점(극한점)의 동치 조건
거리공간 $(X,d)$ 에서 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① $A\subseteq X$ 에 대하여 $x\in X$ 가 $A$ 의 집적점이다. 
② $d(x, A-\{ x\}) =0$ 인 것이다.
③ $A$ 의 서로 다른 원소로 구성되며 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.
④ $x$ 를 포함하는 모든 열린집합이 $A$ 의 무수히 많은 점을 포함한다.

증명) ① 이 각각 ② ③ ④ 모두와 필요충분조건임을 증명하면 충분하다. 사실 정리($T.P$) 1.1) 의 증명과 매우 유사하다.

① $\Longrightarrow$ ② : $x\in X$ 가 $A$ 의 집적점이면, 모든 $\varepsilon >0$ 에 대하여 $B_d(x,\varepsilon)-\{ x\}$ 는^[각주:3] $A$ 의 원소를 적어도 하나 포함해야 한다. 그러면 임의의 $\varepsilon >0$ 가 주어졌을 때 $d(x, A-\{ x\} ) < \varepsilon$ 임이 성립한다는 것이므로, $d( x,A-\{ x\})=0$ 을 의미한다.

② $\Longleftarrow$ ①  : $d(x, A- \{ x\})=0$ 이라고 가정하자. 그러면 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $B(x, \varepsilon)$ 내에 $A-\{ x\}$ 의 점이 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 곧 $x$ 를 중심으로 하는 모든 열린공 $B(x, \varepsilon)$ 이 $x$ 가 아닌 $A$ 의 원소를 포함한다는 뜻이므로, 집적점의 정의에 부합한다.

① $\Longrightarrow$ ③ : $x\in X$ 가 $A$ 의 집적점이면 $x$ 를 포함하는 모든 열린집합($x$ 의 모든 열린근방)이 $x$ 가 아닌 $A$ 의 원소를 무한히 많이 포함해야 한다. 그러면 각각의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대하여 열린구들 $B\left( x,\displaystyle \frac{1}{n} \right)$ 를 생각해보자. 각각의 열린구들에서, $x$ 가 아닌 서로 다른 원소를 선택하여 그것들을 $x_n$ 이라고 하자. 이러한 작업은 반드시 가능한데 이는 $B\left( x,\displaystyle \frac{1}{n} \right)$ 가 무한집합이라, 각 열린공들이 포함하는 점의 개수가 무한하기 때문이다. 그렇게 만든 수열을 $\{x_n\}$ 이라고 하면, $x_n$ 은 자신이 속한 열린공에는 포함되어 있고 그 다음 $n+1$ 번째 열린공보다는 중심에서 멀리 떨어져 있기 때문에 $x+\displaystyle \frac{1}{n+1} \leq  x_n < x+\displaystyle \frac{1}{n}$ 이 성립하게 된다. 세 변에 극한을 취하면 조임정리에 의해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = x$ 를 얻는다. 그러므로 $A$ 의 서로 다른 원소로 구성되며 $x$ 로 수렴하는 수열이 존재한다.

③ $\Longrightarrow$ ① : $A$ 의 서로 다른 원소로 구성되며 $x$ 로 수렴하는 수열이 있다고 하고 그것을 $\{ x_n\}$ 으로 잡자. 그러면 수열의 극한의 정의에 의하여 임의의 주어진 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 $N\in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\leq N \;\;\Longrightarrow \;\;x_n\in B_d(x,\varepsilon)\in A$ 이 성립한다는 뜻이다. 가정에 의해  $x_n\in B_d(x,\varepsilon)\in A$ 는 서로 전부 다른 값이며 $A$ 에 포함되어 있으므로, $x$ 를 포함하는 임의의 열린구간들은 반드시 무수히 많은 $x_n$ 들을 포함하게 된다. 이는 집적점의 정의에 해당하므로 $x$ 는 $A$ 의 집적점이다.

① $\Longrightarrow$ ④ : $x$ 가 $A$ 의 집적점이면, $x$ 를 포함하는 임의의 열린구간은 $x\neq a\in A$ 인 어떤 원소 $a$ 를 적어도 하나 포함해야 한다(무수히 많이 포함할 수 있지만 집적점의 정의에 의하면 적어도 하나만 존재해도 일단 충분하다). 그러나 이러한 성질은 결국 무수히 많은 $a$ 들을 포함해야 한다는 것으로 확장 가능한데, 왜냐하면 예들 들어 $n=1,2,\cdots \in \mathbb{N}$ 에 대해 $B\left( x,\displaystyle \frac{1}{n} \right)\cap U$ 를 고려하면 각 $n\in\mathbb{N}$ 에 값에 대해 $x\neq a\in A$ 를 하나씩 뽑을 수 있기 때문이다. 여기서 $U$ 를 포함하는 어떤 열린근방이다. 그러므로 이는 결국 $x$ 가 $A$ 의 집적점이면 $x$ 를 포함한 임의의 열린집합(근방)에서 무수히 많은 $A$ 의 원소를 택할 수 있음을 의미한다.

④ $\Longrightarrow$ ① : $x$ 를 포함하는 그 어떤 열린공 $B(x, \varepsilon)$ 들은 무한집합이기 때문에, 그들이 $A$ 의 무수히 많은 점을 포함한다는 것은 그들이 $x$ 가 아닌 $A$ 의 원소를 적어도 한 개 포함한다는 뜻이다. 이는 집적점의 정의에 해당한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H Croom, principles of Topology

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 힐베르트 공간을 포함하여 여러 종류의 공간 자체를 다루는 과목은 대학원에서 학습하는 함수해석학(Functional analysis)입니다. 하지만 힐베르트 공간이 무엇인지를 정의하는 정도 자체는 위상수학에서 할 수 있습니다. [본문으로]
2. 사실 원래 실수나 유클리드 공간을 거리공간으로 확장하는 것까지는 별로 어렵지 않습니다. 거리공간에서 위상공간으로 넘어가거나 유클리드 공간에서 위상공간으로 확장할 때가 약간 까다로운 편이죠. [본문으로]
3. 편의상 앞으로 볼에 아래첨자 $d$ 를 생략하겠다. 같은 거리 $d$ 가 계속 적용되는 셈이므로. [본문으로]