지금 우리는 거리공간의 위상적 성질을 탐구하고 있습니다. 이제 무시무시한 극한점의 개념이 또 등장했는데, 극한점의 개념은 실직선에서 들여다 보았을 때 이해하기 가장 간편하기 때문에 실직선에서의 극한점 개념을 반드시 숙지하고 넘어왔으면 합니다. 사실 거리공간에서의 극한점도 실수에서의 극한점 개념을 약간 확장한 것과 전혀 다름이 없기 때문에 그를 알고 있다면 날먹할 수 있습니다. 거리공간 버전으로 옷만 갈아 입는다, 이렇게 생각해도 문제가 없습니다.
그럼 거의 비슷한데 왜 이런 짓거리를 또 하냐고 물을 수 있겠지요. 거리공간에서는 극한점 자체의 개념이 중요하기보다도, 수열의 수렴과 엮어서 몇가지 뜻깊은 개념을 건설할 수 있다는 것이 저의 답변입니다. 그 개념으로는 '코시수열(Cauchy sequence)'와 '힐베르트 공간(Hilbert space)'가 있습니다. 코시수열은 해석학에서도 간단히 다루지만, 힐베르트 공간은 그렇지 않습니다. 그렇기에 해석학+코시수열+거리공간+극한점이 낳고 토해낸 결과물이 힐베르트 공간이고 그것이 우리의 주 목적지임을 각인시킨 뒤 출발해 보도록 합시다. 1
1. 거리공간에서 수열의 극한
1) 정의
거리공간에서 집적점(극한점)의 정의는 수열의 극한 없이도 할 수 있으나, 집적점의 성질들을 알아보려면 수열의 극한 개념이 필요해집니다. 그래서 일단 수열의 극한 정의부터 먼저 질러두고 가겠습니다. 어렵지 않습니다.
정의(T.P) 3-7) 거리공간에서 수열의 극한
거리공간 (X,d) 에서 xn∈X 들로 구성된 수열 {xn}∞n=1 을 생각하자.
① 임의의 ε>0 에 대하여 어떤 N∈N 이 존재하여, n≥N 이면 d(xn,x)<ε 이 성립할 때, 수열 {xn}∞n=1 은 점 x∈X 로 '수렴한다(coverge)'고 한다.
② 거리공간 (X,d) 의 수열 {xn}∞n=1 이 x∈X 로 수렴할 필요충분조건은 각각의 n∈N 에 대하여 각 ε>0 마다 열린공 Bd(x,ε) 이 유한개의 항을 제외한 나머지 모든 xn 을 포함하는 것이다.
이 정의를 보면, 일반적으로 미적분학에서 했었던 수열의 극한 정의와 크게 다를 바가 없음을 알아차릴 수 있어야 합니다. 거창하게 d(xn,x)<ε 이라고 표현하기는 했지만, 이는 1차원적 개념을 약간 2,3 차원스럽게 변형한 수준임을 직관적으로 납득할 수 있을 것이기 때문입니다. 2

여기서 ② 가 무슨 뜻인지 조금 더 분석해 봅시다. 이 d(xn,x)<ε 라는 표현은 곧 xn∈Bd(x,ε) 과 완전히 같은 뜻임에 주목합니다. 그러면 임의로 어떤 ε>0 의 값이 주어졌을 때 그로인해 만들어지는 열린공 B(x,ϵ) 을 고려하면, 이 열린공의 외부+경계에 있는 점들과 내부에 있는 점들 이렇게 두 부분으로 나눌 수 있습니다. 외부와 경계에 있는 점들은 n<N 일 때의 {xn} 들의 항이고 이 항의 개수는 1 부터 n−1 까지이니 n−1 개로 유한합니다. 반면 n≥N 인 지점부터 남은 {xn} 의 항은 무한개이고 이들에 해당하는 항들은 바로 열린공에 포함되는 점(내부점)이라고 볼 수 있습니다. 따라서, ② 의 의미는 임의로 반지름 ε 이 주어졌을 때 그 열린공 바깥(외부+경계)에 있는 유한개의 항을 제끼고 열린공(내부)에 나머지 항들을 포함시킬 수 있도록 N∈N 값을 지정할 수 있다면 수열이 수렴한다는 것을 의미합니다.
이것이 잘 이해되었는지 확인을 한 번 해볼까요? 위의 [그림 1]과 같이 ε1,ε2>0 이 주어진 경우 N 의 값을 N1,N2 라 한다면, 둘 중 무엇이 더 커야 하나요? N1>N2 여야 할 것입니다.
2) 수열의 극한은 존재하면 유일성을 갖음
정리(T.P) 3.7)|
거리공간에서 수열의 극한이 존재하여 그 수열이 수렴한다고 하자. 그러면 그 극한값은 유일하다.
증명) 거리공간 (X,d) 에서 수열 {xn} 이 서로 다른 두 극한값 a,b 를 가진다고 가정하고 귀류법을 사용하여 모순을 이끌어내려고 한다. ε=12d(a,b) 로 잡아보자. 그러면 거리공간에서의 수열의 극한 정의에 의하여 어떤 Na∈N 가 존재하여 n≥Na⟹d(xn,a)<ε 이 성립하고 Nb∈N 이 존재하여 n≥Nb⟹d(xn,b)<ε 이 성립하게 된다. 그러면 n 값이 Na,Nb 둘 모두보다 큰 상황을 고려하면 d(xn,a)<ε 과 d(xn,b)<ε 이 전부 만족된다. 그러면 D3) 를 적용했을 때
d(a,b)≤d(xn,a)+d(xn,a)<ε+ε=2ε=d(a,b)
가 되어 d(a,b)<d(a,b) 이므로 모순이다. 따라서 a=b 가 되어야 하므로 주어진 수렴하는 수열의 극한값은 반드시 유일하다. ◼
2. 거리공간에서 집적점(극한점)
1) 정의
정의(T.P) 3-8) 거리공간에서 극한점(집적점)
거리공간 (X,d) 에서 A⊆X 를 생각하자. x∈A 가 A 의 '집적점(accumulation or cluster point)' 또는 '극한점(limit point)' 일 필요충분조건은 x∈X 가 A−{x} 의 밀착점인 것이다. 달리 말하자면 어떤 점 x∈X 를 포함하는 모든 열린집합이 x 가 아닌 점을 포함할 때 x 를 A 의 집적점이라고 한다. 여기서 A−{x} 즉 x 가 아닌 A 의 점이라는 부분은 x∈A 일 때만 신경써 주면 충분하다.
정의(T.P) 3-9) 유도집합
거리공간 (X,d) 에서 A⊆X 의 극한점을 모은 집합을 '유도집합(derived set)'이라 하고 주로 A′ 으로 표기한다.
정리(T.P) 3.8) 거리공간에서 집적점(극한점)의 동치 조건
거리공간 (X,d) 에서 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① A⊆X 에 대하여 x∈X 가 A 의 집적점이다.
② d(x,A−{x})=0 인 것이다.
③ A 의 서로 다른 원소로 구성되며 x 로 수렴하는 수열이 존재한다.
④ x 를 포함하는 모든 열린집합이 A 의 무수히 많은 점을 포함한다.
증명) ① 이 각각 ② ③ ④ 모두와 필요충분조건임을 증명하면 충분하다. 사실 정리(T.P) 1.1) 의 증명과 매우 유사하다.
① ⟹ ② : x∈X 가 A 의 집적점이면, 모든 ε>0 에 대하여 Bd(x,ε)−{x} 는 3A 의 원소를 적어도 하나 포함해야 한다. 그러면 임의의 ε>0 가 주어졌을 때 d(x,A−{x})<ε 임이 성립한다는 것이므로, d(x,A−{x})=0 을 의미한다.
② ⟸ ① : d(x,A−{x})=0 이라고 가정하자. 그러면 모든 ε>0 에 대하여 B(x,ε) 내에 A−{x} 의 점이 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 곧 x 를 중심으로 하는 모든 열린공 B(x,ε) 이 x 가 아닌 A 의 원소를 포함한다는 뜻이므로, 집적점의 정의에 부합한다.
① ⟹ ③ : x∈X 가 A 의 집적점이면 x 를 포함하는 모든 열린집합(x 의 모든 열린근방)이 x 가 아닌 A 의 원소를 무한히 많이 포함해야 한다. 그러면 각각의 n∈N 에 대하여 열린구들 B(x,1n) 를 생각해보자. 각각의 열린구들에서, x 가 아닌 서로 다른 원소를 선택하여 그것들을 xn 이라고 하자. 이러한 작업은 반드시 가능한데 이는 B(x,1n) 가 무한집합이라, 각 열린공들이 포함하는 점의 개수가 무한하기 때문이다. 그렇게 만든 수열을 {xn} 이라고 하면, xn 은 자신이 속한 열린공에는 포함되어 있고 그 다음 n+1 번째 열린공보다는 중심에서 멀리 떨어져 있기 때문에 x+1n+1≤xn<x+1n 이 성립하게 된다. 세 변에 극한을 취하면 조임정리에 의해 limn→∞xn=x 를 얻는다. 그러므로 A 의 서로 다른 원소로 구성되며 x 로 수렴하는 수열이 존재한다.
③ ⟹ ① : A 의 서로 다른 원소로 구성되며 x 로 수렴하는 수열이 있다고 하고 그것을 {xn} 으로 잡자. 그러면 수열의 극한의 정의에 의하여 임의의 주어진 ε>0 에 대하여 N∈N 이 존재하여 n≤N⟹xn∈Bd(x,ε)∈A 이 성립한다는 뜻이다. 가정에 의해 xn∈Bd(x,ε)∈A 는 서로 전부 다른 값이며 A 에 포함되어 있으므로, x 를 포함하는 임의의 열린구간들은 반드시 무수히 많은 xn 들을 포함하게 된다. 이는 집적점의 정의에 해당하므로 x 는 A 의 집적점이다.
① ⟹ ④ : x 가 A 의 집적점이면, x 를 포함하는 임의의 열린구간은 x≠a∈A 인 어떤 원소 a 를 적어도 하나 포함해야 한다(무수히 많이 포함할 수 있지만 집적점의 정의에 의하면 적어도 하나만 존재해도 일단 충분하다). 그러나 이러한 성질은 결국 무수히 많은 a 들을 포함해야 한다는 것으로 확장 가능한데, 왜냐하면 예들 들어 n=1,2,⋯∈N 에 대해 B(x,1n)∩U 를 고려하면 각 n∈N 에 값에 대해 x≠a∈A 를 하나씩 뽑을 수 있기 때문이다. 여기서 U 를 포함하는 어떤 열린근방이다. 그러므로 이는 결국 x 가 A 의 집적점이면 x 를 포함한 임의의 열린집합(근방)에서 무수히 많은 A 의 원소를 택할 수 있음을 의미한다.
④ ⟹ ① : x 를 포함하는 그 어떤 열린공 B(x,ε) 들은 무한집합이기 때문에, 그들이 A 의 무수히 많은 점을 포함한다는 것은 그들이 x 가 아닌 A 의 원소를 적어도 한 개 포함한다는 뜻이다. 이는 집적점의 정의에 해당한다. ◼
[참고문헌]
Fred H Croom, principles of Topology
- 힐베르트 공간을 포함하여 여러 종류의 공간 자체를 다루는 과목은 대학원에서 학습하는 함수해석학(Functional analysis)입니다. 하지만 힐베르트 공간이 무엇인지를 정의하는 정도 자체는 위상수학에서 할 수 있습니다. [본문으로]
- 사실 원래 실수나 유클리드 공간을 거리공간으로 확장하는 것까지는 별로 어렵지 않습니다. 거리공간에서 위상공간으로 넘어가거나 유클리드 공간에서 위상공간으로 확장할 때가 약간 까다로운 편이죠. [본문으로]
- 편의상 앞으로 볼에 아래첨자 d 를 생략하겠다. 같은 거리 d 가 계속 적용되는 셈이므로. [본문으로]
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