삼각 부등식의 증명(Triangle inequality)

삼각부등식을 이해할 때는 피타고라스 정리를 떠올리면 됩니다. 각각의 벡터의 크기 합이 두 벡터의 합의 크기보다 같거나 크다는 뜻입니다.

 

정리($L.A$) 6.4
[삼각 부등식(Triangle inequality)]
$F$ 내적공간 $V$ 와 그에 속하는 임의의 벡터 $x,y\in V$ 에 대하여 다음이 항상 성립한다>

$$\left\| x+y \right\|\le \left\| x \right\|+\left\| y \right\|$$

증명) 
$$\left\| x+y \right\| \le \left\| x \right\|+\left\| y \right\|$$ 을 보이고 싶다.
$$\begin{align*}
\left\| x+y \right\|^2&=\left\langle x+y,x+y \right\rangle =\left\langle x,x+y \right\rangle+\left\langle  y,x+y\right\rangle\\\\&=\left\langle x,x \right\rangle+\left\langle x,y \right\rangle+\left\langle y,x \right\rangle+\left\langle y,y \right\rangle\\\\&=\left\| x \right\|^2
+2\left\| x \right\|\left\| y \right\|+\left\| y \right\|^2 \\\\&=
\left( \left\| x \right\|+ \left\| y \right\|\right)^2\;\;\;_{\blacksquare}
\end{align*}\;\;\;\;\;$$

 

 

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON