벡터의 직교와 정규화(Orthogonality and normalization)

벡터에서 내적이란 개념을 장착하면 벡터의 직교를 정의하고, 정규화를 하는 작업은 내적에서 가히 으뜸으로 해야할 작업이라고 볼 수 있습니다. 결국 벡터 중에서 내가 원하는 벡터를 표현하기 위해서 정규직교집합을 건설하는 것은 아주 중요하고 아름다운 작업입니다. 우리가 중학생때부터 줄곧 사용해왔던 직교좌표계의 $x,y,z$ 축은 모두 정규직교기저로 이루어져 있기 때문에 각 축이 정확히 수직 관계를 유지하고 있는 셈이며, 고유값 문제에서는 선형변환이 대각화가능하다는 것의 필요충분조건이 선형변환의 고유벡터로 이루어진 순서기저의 존재성에 해당합니다. 그런데, 차후 알게 되겠지만 행렬 또는 선형변환이 자기수반(self-adjoint)이거나 유니타리(unitary), 그리고 이를 포함하는 정규(normal)에 해당하는 행렬 또는 선형변환이라면 이들의 고유벡터들은 모두 직교합니다. 양자역학에서는 파동함수가 애초에 정규화(=규격화)되어 있어야 하며, 에르미트(자기수반) 연산자를 다루기 때문에 역시 고유벡터들은 서로 직교하며 이 기저들을 적절히 선형결합해서 임의의 파동함수를 나타내기까지 합니다. 이 뿐만인가요? 스투름-리우빌 이론에 따르면 특수함수들의 직교성을 항상 따지고 수도 없이 활용합니다. 이만큼 직교의 유용성과 사용성은 무궁무진합니다.

---

1. 벡터의 직교, 수직

 

1) 정의

 

내적공간 $V$와 그에 속하는 두 벡터 $x,y\in V$ 에 대하여, 만일
$$\left\langle x,y \right\rangle=0$$ 이면 두 벡터는 '직교(Orthogonal)' 또는 '수직(Perpendicular)'이라고 정의한다. 또한,

① $S\subseteq V$ 에 대하여 $S$에 속하는 서로 다른 임의의 두 벡터가 직교하면, $S$를 '직교집합(Otrhogonal set)' 이라고 한다.

② $\left\| x \right\|=1$ 인 $x\in V$ 는 '단위벡터(unit vector)'라 한다.

③ $S\subseteq V$ 가 직교집합이고 오로지 단위벡터들로만 이루어져 있으면, 집합 $S$는 '정규직교집합(Orthonormal set)' 이라고 한다.

 

영어로 표현을 할 때, 직교하는 집합은 단순히 그 집합이 orthonormal 하고, 정규직교집합이라면 그 집합이 orthonormal 하다고 간단히 말하기도 합니다.

 

 

2) 정규직교집합의 검증과 정규화 작업

 

영벡터가 아닌 내적공간 $V$에 속하는 임의의 벡터를, 그 벡터의 크기(스칼라)로 나누어 $\displaystyle\frac{x}{\left\| x \right\|}$ 를 얻는 작업을 '정규화(Normalization)' 라 하고 이 행위를 '정규화한다(normalizing)'고 말한다.

내적공간 $V$의 부분집합 $S=\left\{ v_1,\cdots , v_n \right\}$ 가 정규직교집합이기 위한 필요충분조건은
$$\left\langle v_i,v_j \right\rangle=\delta_{ij}$$ 인 것이다. 

 

정규화란 어떤 벡터에 대해 그 벡터 자신의 크기만큼으로 나누는 것을 말합니다. 정규화된 벡터는 벡터를 스칼라로 나눈 것이니 여전히 벡터이고 크기는 1이 되므로 단위벡터가 됩니다. 그런데, 이 단위벡터의 방향은 여전히 $x$의 방향과 같습니다.^[각주:1]

 

그리고 정규직교집합일 필요충분은 그 집합에서 임의의 두 벡터를 뽑았을 때 서로 다른 벡터끼리 직교하기만 하면 됩니다. 만일 같은 벡터 두 개를 뽑아 내적한다면 그 값은 1이 됩니다. 단위벡터끼리의 내적이기 때문이지요. 그러므로 크로네커 델타를 이용하면 간단히 표현할 수 있습니다. 이 정규직교집합의 필요충분조건은 굉장히 중요해서 계속해서 등장할 것입니다.

 

 

3) 관련 정리들

 

정리($L.A$) 6.5
내적공간 $V$와 0이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합 $S=\left\{ v_1,\cdots v_k \right\}$ 을 생각하자. 만일 $y\in \mathrm{span}(S)$ 이면,
$$y=\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle y,v_i \right\rangle}{\left\| v_i \right\|^2}v_i$$ 이다.

 

증명) 스칼라 $a_1,\cdots a_k$ 에 대하여 $y=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_i v_i$ 라 하자. $1\leq j\leq$ 에 대하여

$$\begin{align*}
\left\langle y,v_i \right\rangle &=\left\langle y ,\sum_{i=1}^{k}a_i v_i,v_j \right\rangle= a_j\left\langle v_j,v_j \right\rangle \\\\&
=a_j\left\| v_j \right\|^2
\end{align*}$$
따라서

$$y=\sum_{i=1}^{k}a_iv_i=\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle y,v_i \right\rangle}{\left\| v_i \right\|^2}v_i$$

 

 

식에서 분자에 들어있는 $\left\langle y,v_i \right\rangle$ 은 '방향코사인(directional cosine)'에 해당합니다. 단 분모에 벡터의 놈이 들어가 있으니 정규직교집합으로 만든 아래의 식이 조금 더 깔끔한 식입니다.

 

 

따름정리($L.A$) 6.5.1
정리($L.A$) 6.5 의 조건에서 $S$ 가 정규직교집합이고 $y\in \mathrm{span}(S)$ 라면,
$$y=\sum_{i=1}^{k}\left\langle y,v_i \right\rangle v_i$$ 이다.

 

증명은 굳이 할 필요가 없겠죠? $S$ 가 정규직교집합이면 분모의 $\left\| v_i \right\|^2$ 가 그냥 1이 되는 것이기 때문입니다. 이 따름정리의 식이 흔히 미적분학에서

 

$$\mathbf{r}=(\cos \alpha)x+(\cos \beta)y+(\cos \gamma)z$$

 

로 나타내는 식을 말합니다. $x,y,z$ 는 기저를 뜻하고 앞에 달린 방향코사인들이 $\mathbf{r}$ 을 각각 $x,y,z$ 축으로의 정사영 값을 뜻하는 것이기 때문입니다. 이러한 보조정리는 기저들 $v_i$ 와 원래 벡터 $y$ 를 알면, 선형결합 꼴을 만들 때 계수들을 내적으로 쉽사리 구할 수 있음을 알려주는 것입니다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON

 

 

 

1. 고등학교 <기하와 벡터>에서도 꽤나 자주 등장하죠. [본문으로]