코시-슈바르츠 부등식 증명(Cauchy-Schwarz inequality)

이번 글에서는 코시-슈바르츠 부등식을 증명해 보려고 합니다. 이 부등식은 고등학교 1학년 수학에서부터 등장합니다. 고등학교 버전의 부등식을 간단히 설명하고, 선형대수학에서의 버전으로 넘어가 보겠습니다.

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1. (高) 코시-슈바르츠 부등식

 

고등학교 수학에서 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.

$$\left( a^2+b^2 \right)\left( x^2+y^2 \right)\ge \left( ax+by \right)^2$$

 

참고로 아래 증명에서 $(LHS)$ 란 'Left hand side', 즉 좌변을 뜻하고 $(RHS)$ 는 'Right hand side' 로 우변을 뜻합니다.

증명) 좌변과 우변을 각각 전개해보자.

$$(LHS)=a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2$$ $$\begin{align*}
(RHS)&=\left( ax+by \right)\left( ax+by \right)\\\\&=\left( a^2x^2+b^2y^2 \right)
+2abxy
\end{align*}$$
그러므로 좌변에서 우변을 빼면,

$$\left( a^2+b^2 \right)\left( x^2+y^2 \right)- \left( ax+by \right)^2
=a^2y^2+b^2x^2-2abxy= \left( ay-bx \right)^2\ge 0 \;\;\;\;\;_{\blacksquare} $$

 

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2. 선형대수학의 내적공간에서 코시-슈바르츠 부등식

 

내적공간 $V$에서 정의된 두 벡터 $x,y\in V$와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 4가지 성질이 성립하는데, 2가지는 이전 글에서 다루었고 나머지 둘 중 하나는 삼각부등식, 나머지 하나는 지금 할 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)입니다. 

 

정리($L.A$) 6.3
[코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)]
$F$ 내적공간 $V$의 임의의 벡터 $x,y\in V$ 에 대하여 다음이 항상 성립한다.

$$\left| \left\langle x,y \right\rangle \right|\le \left\| x \right\|\left\| y \right\|$$

 

고등학교 버전의 코시-슈바르츠 부등식은 여기서 $x=(a,b)$, $y=(x,y)$ 로 치환한 것에 해당합니다.

 

증명) $y\neq 0$ 이라고 가정하면, $c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align*}
0 \le \left\langle x-cy,x-cy \right\rangle&=\left\langle x,x-cy \right\rangle-c\left\langle y,x-cy \right\rangle
\\\\&=\left\langle x,x \right\rangle-\bar{c}\left\langle x,y \right\rangle-c\left\langle y,x \right\rangle+c\bar{c}\left\langle y,y \right\rangle
\end{align*}$$
여기서  $c=\displaystyle\frac{\left\langle x,y \right\rangle}{\left\langle y,y\right\rangle}$ 라 하면,

$$\bar{c}\left\langle x,y \right\rangle=\frac{\left\langle y,x \right\rangle\left\langle x,y \right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle}\;\;,\;\;c\left\langle y,x \right\rangle=\frac{\left\langle x,y \right\rangle\left\langle y.x\right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle} \;\;,\;\;
c\bar{c}\left\langle y,y \right\rangle=\frac{\left\langle x,y \right\rangle\left\langle y,x \right\rangle}{\left\langle y,y \right\rangle}$$
으로 값이 모두 같다. 고로

$$0\le \left\langle x,x \right\rangle-\frac{\left| \left\langle x,y \right\rangle \right|^2}{\left\langle y,y \right\rangle}=\left\| x \right\|^2-\frac{\left| \left\langle x,y \right\rangle \right|^2}{\left\| y \right\|^2}$$
가 되며, 이를 정리하면

$$\left| \left\langle x,y \right\rangle \right|\le \left\| x \right\|\left\| y \right\|$$
를 얻는다. $\;\;\;\;\;_{\blacksquare}$

 

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON