그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process)

기저의 선택은 정규직교기저를 선택하는 것이 가장 깔끔하고 간편합니다. 그런데 주어진 공간의 정규직교기저를 처음부터 항상 알고 있는 것은 아니겠지요. 그렇지만 내적공간에서 공간의 차원에 해당하는 갯수만큼의 원소를 가진 벡터로 구성된 일차독립인 집합이 주어졌을 때, 반드시 정규직교기저를 구할 수 있고 그 방법이 소개되어 있습니다.

 

[그림 1] 원석을 깎아내서 보석을 만들듯이, 일차독립이긴 하지만 무질서하게 어지러운 방향들을 가리키고 있는 벡터들을 잘 조작하여 정규직교기저로 바꿀 수 있다. 그것이 그람-슈미트 직교화 과정이다.

 

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1. 그람-슈미트 직교화 과정

 

 

정리($L.A$) 6.6
[그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process)]

내적공간 $V$ 에서 일차독립인(또는 임의의 basis) 집합 $S=\left\{ w_1,w_2,\cdots,w_n \right\}$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 과정으로 내적을 수행하여 정규직교기저를 얻는 방법을 그람-슈미트 직교화 과정이라고 한다.
$$\begin{align*}
&u_1=w_1 \\\\
&u_2=w_2-\frac{\left\langle w_2,u_1 \right\rangle}{\left\| u_1 \right\|^2}u_1 \\\\
&u_3=w_3-\frac{\left\langle w_3,u_1 \right\rangle}{\left\| u_1 \right\|^2}u_1
-\frac{\left\langle w_3,u_2 \right\rangle}{\left\| u_2 \right\|^2}u_2 \\\\ 
&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vdots \\\\
&u_n=w_n-\frac{\left\langle w_n,u_1 \right\rangle}{\left\| u_1 \right\|^2}u_1-\cdots
-\frac{\left\langle w_n,u_{n-1} \right\rangle}{\left\| u_{n-1} \right\|^2}u_{n-1}
\end{align*}$$
그러면 여기서 $S'=\left\{ u_1,u_2,\cdots ,u_n \right\}$ 는 직교기저가 된다. 마지막으로 $k=1,2,\cdots ,n$ 에 대하여 직교화 과정
$$v_k=\frac{u_k}{\left\| u_k \right\|}$$ 을 수행해주면, 얻는 집합 $\beta=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right\}$ 는 정규직교기저다.

 

증명은 생략할 것입니다. 증명 자체가 어렵진 않아 교과서를 참고하면 되기도 하고, 그람-슈미트 과정은 다른 정리를 위한 정리로 쓰이기 보다는 애초에 계산을 통해 진짜 정규직교기저를 수작업으로 구하는 것에 큰 의미가 있기 때문입니다. 그렇기 때문에 정리를 외운 다음 실제 계산을 하는 작업을 연습하는 예제를 살펴보는 것이 좋을 듯 합니다.

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예제 1) $P_2[-1,1]$ 에서 $\left\langle f,g \right\rangle=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)dx$ 로 정의된 내적에 대해 $P_2(R)$ 의 정규직교기저를 구해보자. 기저 $\left\{ 1,x,x^2 \right\}$ 으로부터 정규직교기저를 구하여라.

Sol) 위 정리 박스에서 사용한 것처럼, $u_i$ 는 직교기저, $v_i$ 는 정규직교기저의 문자로 사용할 것이고, 처음 주어진 집합의 원소들은 $w_i$ 라고 쓰겠습니다.

 

$$\begin{align*}
&u_1=w_1=1\;\;,\;\; \left\| u_1 \right\|^2=\int_{-1}^{1}1^2dx=2 \\\\
&u_2=w_2-\frac{\left\langle w_2,u_1 \right\rangle}{\left\| u_1 \right\|^2}u_1
=x-\frac{1}{2}\left( \int_{-1}^{1}xdx \right)\times 1=x\;\;,\;\;
\left\| u_2 \right\|^2=\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}
\\\\
&u_3=w_3-\frac{\left\langle w_3,u_1 \right\rangle}{\left\| u_1 \right\|^2}u_1
-\frac{\left\langle w_3,u_2 \right\rangle}{\left\| u_2 \right\|^2}u_2 
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
u_3&=w_3-\frac{\left\langle w_3,u_1 \right\rangle}{\left\| u_1 \right\|^2}u_1
-\frac{\left\langle w_3,u_2 \right\rangle}{\left\| u_2 \right\|^2}u_2 \\\\ &=
x^2-\frac{1}{2}\left( \int_{-1}^{1}x^2dx \right)\times1-\frac{9}{4}\left( \int_{-1}^{1}x^3dx \right)\times x
\\\\&=
x^2-\frac{1}{3}-0=x^2-\frac{1}{3}
\end{align*}$$

 

여기까지만 계산하면 직교기저 $S'=\left\{ 1,x,x^2-\frac{1}{3} \right\}$ 을 얻을 수 있죠. 정규직교기저를 구하기 위해서는 정규직교기저를 $\beta=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right\}$ 라 하였을 때

 

$$\begin{align*}
\left\| u_3 \right\|^2&=\left\langle x^2-\frac{1}{3},x^2-\frac{1}{3}  \right\rangle \\\\
&=\int_{-1}^{1}\left( x^2-\frac{1}{3} \right)^2=\int_{-1}^{1}\left( x^4-\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{9} \right)\\\\&
=\left[ \frac{1}{5}x^5-\frac{2}{9}x^3+\frac{1}{9}x \right]_{-1}^{1}
\\\\&= \frac{2}{5}-\frac{2}{9}\times 2+\frac{2}{9}\\\\&= 
\frac{8}{45}
\end{align*}$$

 

따라서

 

$$\begin{align*}

&v_1=\frac{u_1}{\left\| u_k \right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\
&v_2=\frac{u_2}{\left\| u_2 \right\|}=\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot x \\\\
&v_3=\frac{u_3}{\left\| u_3 \right\|}=\sqrt{\frac{45}{8}}\cdot \left( x^2-\frac{1}{3} \right)=
\sqrt{\frac{5}{8}}\cdot \left( 3x^2-1 \right)
\end{align*}$$

 

으로 구하면 됩니다. 이 셋 $v_1,v_2,v_3$ 로 이루어진 집합이 $P_2(R)$ 의 정규직교입니다. 추가로 $[-1,1]$ 의 구간에서 이렇게 함수의 곱 적분으로 주어진 내적에 대해 $P(R)$ 의 정규직교기저를 구하였을 때 다항식 $\displaystyle\frac{v_k}{v_k(1)}$ 를 'k차 르장드르 다항식(kth Legendre polynomial)'이라고 부릅니다. 특수함수의 르장드르 함수 맞습니다. 르장드르 다항식의 직교성을 보면 적분구간 $[-1,1]$ 에서의 내적으로 이루어져 있습니다. 해당 적분구간에서는 르장드르 다항식 하나 하나가 다항식 공간의 기저가 될 수 있다는 것입니다. 이 적분구간은 그럼 어디에서 나왔을까요? 그것은 미분방정식의 정상점, 또는 정칙 특이점에 의해 정해지는 것입니다. 이렇게 직교성과 기저들이 사는 공간이 잘 완성되어 있을 때, 기저들이 주어진 공간에서 '완비성(Completeness)'를 갖는다, 혹은 '완비적이다'라고 부릅니다. 주어진 기저들의 선형결합으로 공간의 임의의 원소를 표현할 수 있다는 뜻입니다.

 

이렇게 내적은 미분방정식, 특수함수 영역에서도 응용 범위가 넓습니다. 사실 그러한 수학들이 선형대수의 언어를 빌려다 쓰는 것이라고 볼 수 있지요.

 

 

 

[참고서적]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON