점전하 분포의 에너지 (The Energy of a point charge distribution)

전위를 다루면서 점전하 1개에 대하여 이를 이동시킬 때 작용된 전기력, 혹은 외력에 의한 일의 크기를 전위와 연관시켜 나타낼 수 있음을 정리($E.M$) 1.11 에서 배웠습니다. 오늘은 이를 바탕으로 전하가 여러개 있을 때 전하를 움직이기 위한 일의 크기 및 에너지를 집중적으로 다루어 보겠습니다.

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1. 흩어진 점전하 분포의 에너지

 

한 점전하를 다른 점전하들이 모여있는 곳에 끌고 오려면 얼마나 일을 해주어야 할 지 생각해봅시다. 위 그림처럼 $q_1, q_2, q_3$ 순서로 끌고 온다고 하였을 때, 맨 처음 $q_1$을 끌고 올 땐 아무 전하가 없으니 일이 필요하지 않은데, 두번째로 $q_2$ 를 끌고 올 때는 $q_1$ 의 영향을 받아서

 

$$W_2=q_2V_1(\mathbf{r}_2)=\frac{q_2}{4\pi\epsilon_0}\left ( \frac{q_1}{\eta_{12}} \right )$$

 

의 일이 필요합니다. 읽는 방법은 $q_2$ 를 지점 $r_2$ 로 끌고 올 때 해주어야 하는 일은 전하 $q_2$ 와, $q_1$ 이 $r_2$ 에 만드는 전위의 곱이라고 이해해주면 됩니다.

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다음으로 $q_3$ 를 가져올 때는, 지점 $r_3$ 에 $q_1, q_2$ 가 만든 전위와 $q_3$ 의 곱에 해당하는 일이 필요할 것입니다.

 

$$W_3=q_3V{1,2}(\mathbf{r}_3)=\frac{q_3}{4\pi\epsilon_0}\left ( \frac{q_1}{\eta_{13}}+\frac{q_2}{\eta_{23}} \right )$$

 

네번째 전하도 끌고 온다고 한다면

 

$$W_4=\frac{q_4}{4\pi\epsilon_0}\left ( \frac{q_1}{\eta_{14}}+\frac{q_2}{\eta_{24}}+\frac{q_3}{\eta_{34}} \right )$$

 

이것을 계속 확장하여 일반화를 할 수 있습니다.

 

$$W=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j\neq i}^{n}\frac{q_iq_j}{\eta_{ij}} \right )$$

 

위에서 보았듯이, 분자의 두개 전하가 곱해질 때 첨자는 같으면 안되기 때문에 $j$ 와 $i$ 가 같은 경우는 제외해준 것이고, 두 개의 숫자의 곱은 한번만 존재하기 때문에(예컨대 $q_1$ 과 $q_4$ 의 곱은 $q_1q_4$ 한번만 존재하지, $q_1q_4, q_4q_1$ 이 모두 존재하는게 아님. 조합의 관점으로 바라보면 됨) 두번을 세고, 전체를 $\displaystyle\frac{1}{2}$ 로 나누어 버린 것입니다. 여기서 인자 $q_i$ 를 앞으로 뺄 수 있습니다.

 

정리($E.M$) 1.17
흩어진 점전하를 끌어 모으는데 필요한 일의 양은 다음과 같이 나타난다.

$$W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_i\left ( \sum_{j\neq 1}^{n}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_j}{\eta_{ij}} \right )=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_iV(\mathbf{r}_i)$$

 

또한 이것은 만약 전하들이(외력이 아니라 그들의 전기력으로 인해) 다시 흩어지게 될 때 얻을 수 있는 일의 양이기도 합니다.

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2. 연속 전하에 의한 분포 에너지 (The continuous charge distribution)

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식 $(1)$ 의 연속 전하 분포에 대한 공식은 공간(입체)에 대한 적분을 하고 부피 전하밀도 $\rho$ 를 도입하는 것입니다. 물론 원판이나 직선같이 면전하나 선전하를 줄 때도 있습니다.

 

$$W=\frac{1}{2}\int \rho Vd\tau \;\;,\;\;W=\frac{1}{2}\int \sigma Vda\;\;,\;\; \frac{1}{2}\int \lambda Vdl$$

 

이 셋을 통해서도 충분히 에너지를 구할 수 있습니다. 그러나 한가지 더 할 것이 있는데, 가장 일반적인 첫번째 case에 대해 추가적인 공식을 이끌어 내는 것입니다. 가우스 방벙식의 미분형을 이용해 주어진 식의 형태를 바꾸어 봅시다.

 

$$W=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{V} \left ( \nabla \cdot \mathbf{E} \right )Vd\tau $$

곱셈규칙에 의하면, 

 

$$\left ( \nabla\cdot \mathbf{E} \right )V=\nabla \cdot\left ( V\mathbf{E} \right )-\mathbf{E}\cdot \nabla V$$

 

가 성립하여 이와 같이 변형을 한 후에 양변을 부피적분합니다. 이 때

우변 첫째 항은 발산정리(Divergence Theorem)를 사용하여 면적분으로 바꿀 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*}
W=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{V}^{}\left ( \nabla\cdot \mathbf{E} \right )Vd\tau &=\frac{\varepsilon_0}{2}\left \{ \int_{V}\nabla \cdot\left ( V\mathbf{E} \right )d\tau -
\int_{V}\mathbf{E}\cdot \nabla Vd\tau \right \}\\\\&=
\frac{\varepsilon_0}{2}\left \{ \oint_{S}V\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}-
\int_{V}\mathbf{E}\cdot \nabla Vd\tau \right \}
\end{align*}$$

 

적분영역을 유심히 살펴보면, 첫 항은 면이고 둘째 항은 부피입니다. 그런데 전하가 연속적으로 분포해 있는 공간에 대해서 적분을 하면 되니 전하가 존재하는 모든 곳을 잡아 적분하면 됩니다. 그런데 우리의 식에서 피적분함수는 항상 전기장을 포함하고 있으니 결국 전하밀도 $\rho$ 가 존재하지 않는 공간에 대해 적분하면 값이 0입니다. 그래서, 전하가 분포하는 지점에서 적분을 하면 값이 나오겠지만, 전하가 없는 공간까지 적분영역을 늘려서 적분해도 결과는 같을 것입니다. 그래서 적분영역 $V$ 는 전하들을 둘러싸기만 해도 되고, 그보다 더 크게 심지어는 모든 공간으로 고려해도 괜찮습니다.

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면적분의 경우, 면의 넓이는 $r^2$ 에 비례하는데, 전기장은 $r^2$ 의 역수에 비례하니 똑같은 효과로 작아지고, 전위는 $\frac{1}{r}$ 에 비례하니 결과적으로 면적분은 $\frac{1}{r}$ 만큼 공간을 늘렸을 때 감소합니다. 그러므로 전 공간을 적분영역으로 잡으면 면적분의 값은 0이 되어, 두번째 항만 살아남고

 

$$W=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{V}^{}E^2d\tau\;\;(\mathrm{All\;space})$$

 

로 일을 구할 수도 있습니다.^[각주:1]

 

 

[참고문헌]
David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e

1. 두번째 항의 피적분함수는 전기장과 전위의 관계를 사용해서 변형. [본문으로]