전기 퍼텐셜 에너지와 전기력이 한 일 (Work by Electric force and Electric Potential Energy)

전기장의 뜻과 발산 및 회전, 가우스 법칙을 거쳐 전기력이 보존력임을 분명히 밝혔습니다. 그렇다면 전기장이 보존 벡터장이므로 이에 대응되는 스칼라함수와 퍼텐셜에너지 개념을 자연스럽게 이끌어 낼 수 있습니다. 전기학에서 전기장의 스칼라함수는 전위(Electric potential)이고 대응되는 퍼텐셜에너지는 전기 퍼텐셜 에너지(Electric potential energy)라 부릅니다. 일의 개념과 섞어 이들을 낱낱이 분석해보도록 합시다. 오늘 할 내용은 전위(Electric potential)을 공부하기 위한 발판으로 삼으면 됩니다.

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1. 전기 퍼텐셜 에너지 (Electric Potential Energy)

 

물리학의 '일'에서 가장 중요한 것, 가장 먼저 따져야 하는 것은 무엇일까요?

 

 

바로 일을 하는 '주체'가 무엇인지에 관한 것입니다! 어떤 힘이 일을 하는지가 굉장히 중요합니다. 고등학교 수능 물리에서 열심히 배웠던 일과 에너지의 개념들을 살펴보면, 알짜힘이 일을 하면 운동에너지가 변화하고, 보존력(중력 등)이 일을 하면 퍼텐셜에너지가 변화하고, 외력이 일을 하면 역학적에너지가 변화한다는 3대 일-에너지 정리가 매우 유용하게 쓰였던 것이 기억날 것입니다. 바로 이 개념들이 그대로 전기역학에서 쓰입니다.

 

 

1) 균일한 전기장

 

[그림 1]

 

[그림 1]과 같이 두 극판이 만들어낸 균일한 전기장 $\mathbf{E}$ 내부에 시험 양전하 $q_0$가 놓여있는 상황을 고려합시다. 시험전하는 아래 (-)방향으로 힘 $\mathbf{F}=q_0\mathbf{E}$ 를 받습니다. 그러면 이동거리를 $d$라 하였을 때 보존력인 전기력이 한 일은

 

$$W=Fd=q_0Ed$$

 

보존력만 일을 해서 대상이 움직이면, 대상의 퍼텐셜에너지는 변하는데, 대상의 알짜 변위 이동 방향과 힘(보존력)의 방향이 같을 때 양의 일을 하며 퍼텐셜에너지가 감소합니다. 지금 상황은 힘의 방향과 변위 방향이 같으니 일의 부호가 양수이고 퍼텐셜에너지가 감소한 것입니다. 그런데 보존력이기 때문에 일의 결과값은 경로에 무관하며 초기위치와 나중위치에만 의존합니다. 그리고 보존력에 대해서

 

$$W=-\Delta U$$

 

가 성립하므로, 전기력이 한 일은 최종적으로 다음과 같이 씁니다.

 

정리($E.M$) 1.10

전기력이 한 일과 퍼텐셜에너지 사이에는 다음의 관계가 성립한다.

$$\begin{align*}
W_{a\rightarrow b}&=Fd=q_0Ed
\\\\&=-\Delta U=-(U_f-U_i)=-(U_b-U_a)\\\\&=-\left ( q_0Ey_b-q_0Ey_a \right )
\\\\&=-q_0E\left (y_b-y_a \right )
\end{align*}$$

 

 

2) 보존력이 작용할 때 전하의 부호에 따른 퍼텐셜에너지

 

보존력의 특성상 일과 퍼텐셜에너지의 관계는 중력에서와의 법칙과 전부 동일하게 적용된다고 보시면 됩니다. 다만 전기력이 좀 더 어려운 이유는 힘을 받는 대상의 전하 종류가 (+),(-)로 2개라는 점에서 부호가 헷갈린다는 겁니다.

 

[그림 2] 보존력만 작용할 때

 

① 외력 없이 보존력만 작용해서 전기장에 의해서만 입자가 움직이는 경우

 

i) 시험전하가 양전하인 경우, 전기력 방향으로 입자가 움직일 때 그 방향은 아래 방향 (-)이고 전기력은 양의 일을 하며 퍼텐셜에너지가 감소합니다.

 

ii) 시험전하가 음전하인 경우, 전기력 방향으로 입자가 움직일 때 그 방향은 윗 방향 (+)이고 전기력은 양의 일을 하며 퍼텐셜에너지가 감소합니다.

 

[그림 3] 외력까지 가해주는 경우

 

② 외력이 작용하여 전기장의 효과 역방향으로 입자를 이동시키는 경우

 

iii) 시험전하가 양전하인 경우, 외력을 작용해서 전기장의 역방향인 (+) 방향으로 입자를 이동시키려면 전기력은 음의 일을 하고 퍼텐셜에너지가 증가합니다.

 

iv) 시험전하가 음전하인 경우, 외력을 작용해서 전기장의 역방향인 (-) 방향으로 입자를 이동시키려면 전기력은 음의 일을 하고 퍼텐셜에너지가 증가합니다.

 

 

여기까지의 내용을 숙지하셨다면, 이 아래부터는 다음 포스팅인 전기 퍼텐셜(Electric Potential)을 꼭 공부하고 나서 읽으셔야 합니다. 즉 전위에 대해 모른다면 차후에 다시 돌아오시면 됩니다.

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2. 전하를 옮기느라 한 일

 

바로 위에서 다룬 2)-② 의 내용에 집중해봅시다. 이는 전기력이 작용할 때 억지로 전기력과 반대 방향으로 외력을 가해줘서 퍼텐셜에너지(역학적에너지)를 증가시키는 과정입니다. 이처럼 전하를 옮기기 위해 일을 할 때는 이 전하에게 영향을 미치는 주변의 전기장을 고려해야 합니다.

 

[그림 4]

 

[그림 4] 와 같이 주변에 $q_1,q_2,\cdots q_n$ 이 존재할 때 시험전하 $Q$를 $\mathbf{a}\;\rightarrow \mathbf{b}$ 로 옮기는데 필요한 힘을 고려해봅시다. $q_i$ 들로부터 받는 힘은 $q_i$들이 만든 총 전기장을 $\mathbf{E}$ 라 하였을 때

 

$$\begin{align*}
W=\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=-Q\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-Q\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\left ( -\nabla V \right )\cdot d\mathbf{l}
=Q\left \{ V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a}) \right \}
\end{align*}$$

 

정리($E.M$) 1.11

어떤 전하 $q$에 전기력 $F$가 작용할 때, $q$에 가한 일과 퍼텐셜 사이의 관계는 다음과 같다. 여기서의 일은 외력이 한 일이다.

$$W=q\left \{ V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a}) \right \}=q\Delta V \\\\
W=q\left \{ V(\mathbf{r})-V(\infty) \right \}=q\Delta V(\mathbf{r})$$
이는 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 의 전위차와 전하량 $q$의 곱이 단위전하를 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$ 로 옮기며 외력이 한 일과 같다는 것이다.

 

박스 안에 이미 강조해 두었듯이, 일은 꼭 주체를 따져줘야 합니다. 이 공식 $W=qV$는 고등학교 물리2에도 등장하는 공식이지요. 원래 $\Delta V$로 써야 하는데 전위차를 따질 때 한 점을 기준점으로 놓으면 그냥 $V$로 쓸 수 있음을 기억합시다.

 

 

[참고문헌]

David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e