쿨롱의 법칙과 전기력, 전기장 (Coulomb's Law and Electric Force, Electric Field)

1784년 쿨롱(Charles Augustin de Coulomb, 1736-1806)은 비틀림 저울을 이용해서 대전 입자들 사이에 작용하는 힘을 연구합니다. 이 과정은 생각보다 많이 어렵지는 않아서 대학 1학년 일반 물리학 실험에서 다들 한 번쯤 해보게 되는데, 쿨롱은 이 결과가 점전하들 사이에 대해서 작용하는 힘은 인력(attractive force)과 척력(repulsive force) 두 종류가 있고, 힘의 크기는 두 전하의 전하량 곱과 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 알게 됩니다.

 

정리($E.M$) 1.1
[쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)]

두 점전하 $q,Q$ 사이의 거리가 $\boldsymbol{\eta}$ 일  때 이들이 서로에게 작용하는 힘은 두 전하들의 곱에 비례하고 그들 사이 거리의 반비례한다.
$$\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q\,Q}{\eta^2}\,\hat{\eta}$$

 

[그림 1]

 

쿨롱 법칙은 고교 수능 선택과목으로 물리를 선택하지 않아도 한 번쯤은 들어봤을 겁니다. 이 때 앞에 붙는 상수는 보통 $k$라고 쓰는데, 정확히 말하면 $\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ 와 같고 사용되는 단위계에 따라서 달라지는 비레상수이나, 보통 힘의 단위는 $\mathrm{N}$을, 전하량의 단위는 $\mathrm{C}$를 사용합니다. 그러면 그 값은

 

$$\epsilon_0=8.854\times 10^{-12}\,\mathrm{C^2}/\mathrm{N\cdot m^2}\;\;,\;\;k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\simeq 9.0\times 10^9\;\mathrm{C^2}/\mathrm{N\cdot m^2}$$

 

으로 생각합니다.

 

또한 힘은 벡터량이기 때문에 원칙적으로는 위와 같이 볼드체 표시를 해주어야 합니다. 그 방향은 분리벡터가 가리키는 방향임을 설명하기 위해 분리벡터의 단위벡터를 달아두게 된 것이고, 만약 힘의 크기만 고려하고 싶다면 아래와 같이 씁니다.

 

$$F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q\,Q}{\eta^2}$$

 

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2. 전기장

 

1) 배경

 

전기장이라는 개념은 이해할 수 있는 수단이 여러가지입니다. 장(場, Field)라는 글자에 초점을 맞추어 설명할 수도 있고, 전기력선을 그려도 되며, 힘의 한 종류로 생각하는 일조차도 가능합니다.

 

이들을 관통하는 근본적인 사고 과정은 다음과 같습니다. 서로 다른 대전입자가 빈 공간에 놓여있을 때 이들 간의 상호작용이 존재하여, 나타나는 현상을 어떻게 설명할 수 있을까요? 실험적으로, 그리고 쿨롱법칙에 따르면 대전입자의 종류는 두 가지인 것으로 밝혀졌기에, 서로 반대되는 의미를 부여하기 위해 양(+)전하와 음(-)전하로 나누게 되었습니다. 그런데 어느 경우에는 대전입자기리 당기기도 하고, 어떤 때는 아래 [그림 2]처럼 밀기도 한다는 결과를 보여줬습니다.

 

[그림 2] 같은 종류로 대전된 두 입자는, 서로를 멀어지는 방향으로 미는 척력이 작용된다.

 

전기장에 대한 배경지식을 한 번 지워보고 생각합시다. 전기장이라는 것은 처음부터 전기력선을 그리고, 어떤 장이 있다고 생각한 것이 아니라, 한 공간에서 한 전하가 다른 상대 전하에게 영향을 미치는 과정, 효과를 설명하기 위해서 전기장의 개념을 떠올린 것입니다. 즉, 처음부터 [그림 2]처럼 두 전하가 있다고 생각하는 것이 아니라 아래 [그림 3]처럼 한 전하만 있는 상황을 가정했을 때, 그 전하는 주위에 다른 전하의 유무와 관계없이 자신 주위에 어떠한 전기적 효과로 공간의 성질을 변형한다는 것입니다.

 

[그림 3] 점 P에 다른 전하가 존재하지 않더라도 여전히 그 지점에 A의 전기적 효과가 영향을 미치고 있다.

 

그러다 점 P에 어떤 전하 B를 놓게 되면, 비로소 A의 효과를 감지한 B는 A와 상호작용을 하게 되는 것이고, 이것이 인력이나 척력인 쿨롱법칙에서 기술하는 힘으로 설명되는 것입니다.

 

그런데 이 때 주의할 점이 있습니다. A의 전기적 효과를 알아보기 위해 점 P에 전하를 가져다 놓는 것까지는 좋은데, 아무 전하나 놓아두어도 괜찮을까요? 전구 앞에 대형 스크린 TV를 가져다 놓으면 전구의 불빛은 TV 불빛에 가려져 묻히게 됩니다. 이처럼, A의 전기적 효과를 알아보고 싶은데 점 P에 만약 엄청 거대한 대전입자를 가져다 놓으면, P에 놓은 입자의 효과가 A를 짓눌러 내가 원하고자 하는 결과를 얻지 못할 가능성이 높겠지요. 따라서, 우리는 점 P에 A의 전기적 효과를 왜곡시키지 않는 대전입자를 놓아야 합니다. 이것을 바로 '시험전하(Test charge)'라 하며 $+1\mathrm{C}$ 짜리 점전하입니다. 왜 하필 크기가 1일까요? 쿨롱법칙에 의하면 A의 전하량을 $q$라 했을 때 시험전하의 전하량 $+1\mathrm{C}$ 을 $Q$ 자리에 넣으면 힘의 크기를 변화시키지 않게 되기 때문입니다!

 

따라서 이렇게 숫자대입을 했을 때 얻어지는 힘 $\mathrm{F}$가 진짜 순수 A에만 의한 효과라는 것입니다. 이렇게, 시험전하를 가져다 댐으로서 얻는 어떤 전하(여기선 A)가 시험전하에 작용하는 힘을 '전기장(Electric field)'라 정의하며 달리 말하면 한 점에서의 전기장은 그 점에서 시험전하가 받는 전기력을 시험전하의 전하량으로 나눈 것이라 생각할 수 있습니다. 

 

$$\;\;\rightarrow \;\; \frac{\mathbf{F}}{q}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{\eta^2}\,\hat{\eta}\equiv\mathbf{E}$$

 

정리($E.M$) 1.2

단위전하당 받는 전기력을 전기장(Electric field)라 정의한다. 구체적으로 말하자면, 전하량이 $q$인 점전하에 의한 전기장은
$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}\;\;\;\left [ \mathrm{N/C} \right ]$$ 으로 나타낸다.

 

위 식에서, 내가 궁금해하는 대전입자(A)의 전기장 효과를 구할 때 이 대전입자의 전하량이 $q$이고, 시험전하의 전하량이 $Q$임을 반드시 기억해야 합니다.

 

이와 같이 전기장을 정의하는 것이 가장 보편적이고 근본 원리에 입각한 방법입니다. 중력 역시, 질량과 중력가속도의 곱이라는 관점에서 보면

 

$$\mathbf{F}=m\mathbf{g}$$

 

로 나타낼 수 있고, 이는 $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$ 와 닮아 보이지 않나요? 그래서 중력이란 힘에 대응되는 전기장의 역할을 하는 것이 바로 중력가속도이므로, 중력가속도를 중력장(gravitational field)라 부르기도 합니다. 나중에 배우겠지만 전기력에는 전기퍼텐셜이 존재하는데, 마찬가지로 중력에도 중력퍼텐셜이라는 개념이 존재하며, 퍼텐셜에너지도 두 힘 모두에 존재하죠. 보존력이라는 공통점으로 묶여 사실 두 힘은 거대한 공통분모를 가집니다.

 

 

2) 전기력선

 

그러나 전기장이라고 하면 일반적인 교과서에서 우리는 전기력선 그림을 통해 항상 시각화된 이해를 동반해 왔습니다. [그림 4]는 양전하와 음전하 사이의 전기적 상호작용을 전기력선을 도입해 나타낸 것으로, 이 아이디어는 '마이클 패러데이(Michael Faraday)'가 고안한 것입니다.

 

[그림 4] 전기력선

이렇게 시각적으로 나타내면 마치 전하 주위의 공간에 어떤 장(Field)이 펼쳐진 것으로 이해하여 전기장의 개념을 받아들이는 것도 좋습니다. 단 처음에 설명했던 근본적인 사고과정을 잃어서는 안될 것입니다.

 

 

3) 전기장의 중첩원리

 

전기장은 중첩원리(Superpostion principle)을 따르기에 점전하가 여러개일 때 시험전하 $Q$가 받는 알짜힘은 중첩원리에 의해 계산할 쑤 있습니다.

 

$$\begin{align*} 
\mathbf{F}&=\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\cdots +\mathbf{F_n}\\\\&=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left ( \displaystyle\frac{q\,Q}{\eta_1^2}\,\hat{\eta_1} +
\displaystyle\frac{q\,Q}{\eta_2^2}\,\hat{\eta_2}+\cdots +
\displaystyle\frac{q\,Q}{\eta_n^2}\,\hat{\eta_n} \right )
\\\\&=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}
\left ( \displaystyle\frac{q}{\eta_1^2}\,\hat{\eta_1} +
\displaystyle\frac{q}{\eta_2^2}\,\hat{\eta_2}+\cdots +
\displaystyle\frac{q}{\eta_n^2}\,\hat{\eta_n} \right )
\\\\&=Q\mathbf{E}
\end{align*}$$

 

 

정리($E.M$) 1.3

이산적(Discrete)으로 떨어져 있는 점전하들이 만드는 전기장의 공식은
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{\eta_i^2}\,\hat{\eta_i}$$

 

 

4) 여러 형태의 연속적으로 분포하는 전기장

 

그러나 전기장이 꼭 이산적으로 놓여 있는 것이 아니라 공간을 연속적으로 차지하고 있을 수 있습니다. 1,2,3차원에 대응되는 것이 선, 면, 부피이고 각각 이들에 전하가 고루 분포할 수 있다는 것입니다. 이 때는 적분을 이용해 전기장을 구해야 합니다.

 

정리($E.M$) 1.4

연속 분포 전하에 의한 전기장
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\hat{\eta}}{\eta^2}\,dq$$
① 선전하에 의한 전기장
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\lambda(\mathbf{r}')}{\eta^2}\,\hat{\eta}\,dq$$
② 면전하에 의한 전기장
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\sigma(\mathbf{r}')}{\eta^2}\,\hat{\eta}\,dq$$
③ 부피전하에 의한 전기장
$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\eta^2}\,\hat{\eta}\,dq$$

 

[그림 5]

 

이 때 연속적 전하 분포가 어느 차원에 존재하는지에 따라 다음 세 물리량을 이용하게 됩니다.

 

$\lambda$ : 선전하밀도, 단위 길이당 전하량

$\sigma$ : 면전하밀도, 단위 면적당 전하량

$\rho$ : 부피전하밀도, 단위 부피당 전하량

 

 

[참고문헌]

University Physics with Modern Physics, Pearson, Hugh D. Young, Roger A. Freedman