전기장의 발산과 회전 (The Divergence and the Curl of Electric Field)

오늘은 미분연산자를 가지고 맥스웰 방정식의 첫번째, 두번째 식이기도 한 진공에서의 전기장의 발산과 회전을 셈해 볼 것입니다. 여기서부터는 각종 벡터 미적분에 관한 도구들을 적극적으로 활용하게 되며, 학부 전자기학 과목의 수준이라 일반물리학의 범위를 넘어섭니다.

 

---

1. 전기장의 발산

 

[그림 1] 양전하에 의한 전기장 발산을 나타낸 전기력선

 

3차원에서 부피전하가 만드는 전기장에 관한 일반적인 식에 대해 발산을 계산해 봅시다.

 

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\eta^2}\,\hat{\eta}\,d\tau' \\\\\\
\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left ( 
\nabla \cdot \frac{\hat{\eta}}{\eta^2} \right )\rho(\mathbf{r'})\,d\tau'$$

 

피적분함수의 괄호로 묶은 양은 이전 포스팅인 $\displaystyle\frac{1}{\eta^2}$ 의 발산에서 소개한 바 있습니다. 그러면 디랙 델타 함수가 나오는데 디랙 델타 함수의 특징에 의해 적분했을 때 곱해진 함수의 함숫값을 추출하는 기능에 주목하면 다음을 얻습니다.

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left ( 
\nabla \cdot \frac{\hat{\eta}}{\eta^2} \right )\rho(\mathbf{r'})\,d\tau'=
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int 
4\pi\delta \left ( \mathbf{r}-\mathbf{r}' \right )\rho(\mathbf{r'})\,d\tau'$$

 

적분꼴을 얻고 싶다면 양변에 부피 적분을 하고, 발산정리를 써서 면적분으로 바꾼 다음, 가우스 법칙에 의해

 

 

$$\iiint_{V}\nabla \cdot \mathbf{E}\,d\tau=\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}
=\frac{q_{\mathrm{enc}}}{\epsilon_0}$$

 

여기서 $q_{\mathrm{enc}}=\displaystyle\iiint_{V}\rho\,d\tau$ 의 관계를 사용하면

 

$$\iiint_{V}\nabla \cdot \mathbf{E}\,d\tau=\iiint_{V}
\frac{\rho}{\epsilon_0}\,d\tau \;\; \Rightarrow \;\;
\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$$

 

저번시간 말미에 도출했던 식이 또 나오네요. 정리를 해보겠습니다.

 

정리($E.M$) 1.8

전기장의 발산은 전하량(또는 전하밀도)를 유전율로 나눈 값이다.

적분형 : $\displaystyle\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\displaystyle\iint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} =\displaystyle\frac{q_{\mathrm{enc}}}{\epsilon_0}$

미분형 : $\nabla \cdot \mathbf{E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_0}$

 

---

2. 전기장의 회전

 

눈치가 빠르신 분들은 굳이 계산을 하지 않더라도, 전기장 역시 전기력처럼 r제곱 역수를 분모에 가진 중심력(central force)의 구조를 띠고 있기 때문에, 전기장은 보존 벡터장임을 알 수 있고 그러니 회전(curl)의 값도 항상 0이라는 것을 알 수 있습니다. 게다가 전기력선 [그림 1]에서 알 수 있듯이 온 공간으로 뻗어 나가는 벡터장은 반드시 기하적으로 봐도 회전이 0일 수 밖에 없습니다.

​

그래도 검증 차원에서 수식 증명을 할 것입니다. 여기서 전기력이 보존력이라는 것을 활용해 미적분학의 기본정리를 바로 활용해도 되지만, 일단 증명하는 과정에서는 전기력이 보존력이라는 것을 모른다고 가정하고 시작할 것입니다. 그러니 바로 선적분의 기본정리를 쓸 것이 아니라 그냥 순수 적분을 해서 값을 찾겠다는 것이죠. 물론 결과적으로 이렇게 계산했을 때나 선적분의 기본정리로 계산했을 때나 값이 같음을 알아서 전기장의 회전이 0임을 보일 수도 있습니다.

 

우선 선적분을 시작으로 할 것인데, 편의상 원천점을 원점에 두고 분리벡터 대신 벡터 $r$ 만을 이용해 봅시다.

 

전기장이 $\mathbf{E}(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}$ 으로 주어졌을 때 구면좌표계에서 미소길이요소가

 

$$d\mathbf{l}=dr\hat{r}+r\,d\theta\hat{\theta}+r\sin\theta d\phi\hat{\phi}$$

 

라는 것을 생각하면 점 $a$에서 $b$까지의 전기장의 선적분은

 

$$\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\frac{q}{r^2}\,dr=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left ( 
\frac{1}{r_\mathbf{a}}-\frac{1}{r_{\mathbf{b}}} \right )$$

 

위 계산법은 순수 $r$에 관한 적분을 한 것이지 선적분의 기본정리를 쓴 것이 아닙니다. (선적분의 기본정리를 쓴다는 뜻은 $\mathbf{E}=-\nabla V$ 을 이용하는 것) 아무튼, 결과를 보니 전기장의 선적분은 시작점과 끝점의 위치에만 의존하고 경로에 무관합니다. 이것은 시작점과 끝점을 같게 만들고 적분한 단순 폐곡면의 선적분 결과값이 0임을 뜻하므로 이 벡터장(=전기장)은 보존장입니다.

 

 

정리($M.A$) 1.9

전기장의 회전은 0이다.
$$\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0 \;\;\Leftrightarrow \;\; \nabla \times \mathbf{E}=0$$

 

 

[참고문헌]

David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e