선적분의 기본정리와 보존 벡터장 (Fundamental Theorem of Line Integrals and Conservative Vector Field)

이번 시간에는 보존 벡터장의 여러가지 성질을 정리해 볼 것입니다. 미적분학의 마지막 관문 벡터해석에서 다루는 주제는 벡터장인데, 보존 벡터장은 물리와의 연결성 때문에 특히 더 중요합니다.

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1. 보존 벡터장과 선적분의 기본정리

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힘과 퍼텐셜에너지가 다음의 관계를 만족하면 F는 수학에서 '보존 벡터장(Conservative vector field)' 이라 부르고 물리에서는 '보존력(Conservative force)' 이라 부릅니다.

 

$$\mathbf{F}=\nabla f$$

 

이 때 어떤 물체가 점 $A$에서 $B$까지 이동하는 동안 이 힘 $\mathbf{F}$가 한 일을 구해보려고 합니다. 위 식의 양변에 거리에 대한 적분을 시행하면

$$-\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{A}^{B}\nabla U \cdot d\mathbf{r}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(1)$$

그리고 

 

의 관계를 이용합니다. 증명은 여기를 참조하시고 이 관계는 보존력을 다루다 보면 간간이 등장합니다. 

 

식 (1)의 우변을 보면 그래디언트 값을 적분하는 것이니 미분하고 적분하는 느낌이라 생각하면 됩니다. 마치 미적분학의 기본정리 $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$ 와 유사한 느낌이지요? 피적분함수가 벡터함수일 때도 이러한 관계가 성립하는데, 이것이 바로 선적분의 기본정리입니다.

 

정리($V.C$) 1.3
곡선 $C$가 조각마다(piecewise) 매끄러운 곡선일 때, 매개변수 방정식 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\;,\;a\leq t\leq b$ 로 주어지고 $r(\mathbf{a})$에서 시작하여 $r(\mathbf{b})$로 끝난다고 하자.
$C$를 포함하는 개집합에서 $f$가 미분가능하고, 도함수가 연속인 경우 다음이 성립하며 이를 '선적분의 기본정리(Fundamental Theorem of Line Integrals)'라 한다.
$$\int_{C}\nabla f(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}=f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})$$

 

증명) $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$을 $t=a\;,\;t=b$에서 적분한다고 하자.

$$\begin{align*}  
\int_{C}\nabla f(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}&=\int_{a}^{b}\left \{ \nabla f\left ( \mathbf{r}(t) \right ) \right \}\mathbf{r}'(t)\,dt \\\\&=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}f\left ( \mathbf{r}(t) \right )\,dt
\\\\&=f\left ( \mathbf{r}(b) \right )-f\left ( \mathbf{r}(a) \right )=f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})
\end{align*}$$
그러므로 식 (1)을 다시 정리하면, 

$$-\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{A}^{B}\nabla U \cdot d\mathbf{r}=U(\mathbf{r}_B)-U(\mathbf{r}_A)$$

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2. 분석

 

선적분의 기본정리의 결과는 우리에게 다음의 몇가지 특징을 알려줍니다.

 

정리($V.C$) 1.4
벡터장 $\mathbf{F}$이 보존 벡터장이면, 즉 힘 $\mathbf{F}$가 보존력이면, 다음과 필요충분조건이다.

① 벡터장을 어떤 스칼라함수의 그래디언트로 나타낼 수 있다 : $\mathbf{F}=\nabla f$
② 벡터장의 회전(Curl)이 0이다 : $\nabla \times \mathbf{F} =0$
③ 선적분의 기본정리가 성립한다
④ 단순 폐곡선에 대한 선적분의 값이 0이다 : $\displaystyle\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0$
⑤ 적분값이 경로와 무관하다.

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선적분의 기본정리 식을 보면 이 적분은 결과값이 A에서 B로 향하는 경로에 무관하고, 끝점 A와 B에만 의존하고 있습니다. 만일 A점과 B점이 같으면, 즉 어떤 폐곡선을 그리며 제자리로 돌아오는 동안 선적분을 하게 되면 A점에서의 퍼텐셜에너지에서 A점에서의 퍼텐셜에너지를 뺴는 것이니 0이 되겠지요? 이것이 바로 단순 닫힌 폐곡선에서의 보존 벡터장에 대한 선적분의 값이 0 이라는 특징입니다.

 

나머지 내용은 선적분의 기본정리가 성립하는 벡터함수는 보존 벡터장이고, 보존벡터장에 회전을 취한 값은 언제나 0이라는 사실입니다. 

 

위 조건들은 벡터 미적분학에서 매우 매우 중요하므로 증명을 통해 확인하고 가는 것이 좋습니다. 그런데 잘 생각해보면, ①은 보존 벡터장의 정의일 뿐입니다. 그래서 ①을 이용하여 ②를 증명하고, ③은 그냥 선적분의 기본정리 식에 ①을 대입하면 바로 확인할 수 있습니다. ④, ⑤도 위 세 조건을 이용해 쉽게 보일 수 있습니다. 저는 ②의 증명만 보여드리겠습니다. 사실 단순 노가다일 뿐입니다.

 

$$\begin{align*} \nabla \times \mathbf{F}&=\nabla \times \left ( \nabla f \right )=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} &\mathbf{j}  & \mathbf{k}\\ 
\displaystyle\frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial }{\partial y} &\displaystyle\frac{\partial }{\partial z} \\ 
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} &\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}  & \displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}
\end{vmatrix}
\\\\&=\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}\,-\,\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y} \right )\mathbf{i}
+\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}\,-\,\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z} \right )\mathbf{j}
+\left ( \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\,-\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \right )\mathbf{k}
\\\\&=0
\end{align*}$$

 

어떤 벡터장이 보존적임을 보여야 할 때가 많습니다. 그 땐 위 5가지 조건들 중 적어도 하나를 만족하는지 확인해보면 됩니다. 이 중 무엇을 확인하는 것이 수월할지 조금만 생각해보면, 아무래도 주어진 벡터장에 대해 회전을 계산해보는 것이 가장 편함을 알 수 있습니다. 따라서, 문제를 풀 때 주어진 벡터장이 보존적인지를 확인하려면 

 

$$\nabla \times \mathbf{F}$$ 

 

의 값을 계산해보는 것이 가장 효과적이며, 이 값이 0이라면 보존 벡터장임을 단번에 낚아챌 수 있습니다. 동시에 나머지 조건들도 성립하게 되는 것이고요.