선적분의 정의와 스칼라 함수의 선적분 (Line Integral)

고등학교 수학 과정에서는 x축이나 y축만을 따라 적분을 하여 정적분의 기하적 의미를 넓이로 이해할 수 있었지만, 대학 수학에서의 적분은 대개의 경우 이 개념을 확장시킨 선적분에 해당합니다.

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1. 선적분의 탄생 과정

 

정적분의 경우, $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$ 의 형태로 생겼는데, 이것의 의미는 2차원 좌표평면에서 $f(x)$를 $x=a$부터 $x=b$까지 적분한 것입니다. $f(x)>0$이고 $a<b$라면 정적분은 $x=a,x=b$,$x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이에 해당합니다.

 

미적분학으로 넘어오게 되면 피적분함수의 대상이 다변수 함수가 되거나 벡터함수가 되는 경우가 발생합니다.

그래서 정적분에 관한 내용을 확장시키고, 일반화를 할 필요가 있습니다. 여기에는 다음의 방법이 있습니다.

 

1) 첫째, 피적분함수의 변수 개수를 늘린다.

 

상술했던 피적분함수가 다변수 함수가 되고, 적분의 차원이 증가하는 것입니다. 즉 기존의 고등학교에서 배우던 적분은 1차원의 적분구간을 가진 반면, 중적분은 2차원 구간을 가지고, 삼중적분에선 3차원 구간을 가집니다.

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$$\iint_{\mathcal{S}}^{}f(x,y)d\sigma\;\;,\;\;\iiint_{\mathcal{V}}^{}f(x,y,z)d\tau$$

 

따라서 고등학교에서 배운 1차원 정적분은 피적분함수 $f(x)$가 0 또는 1이 아닐 땐 기하적 의미가 면적이 되고, 중적분은 부피가 되며, 삼중적분은 4차원의 체적이 됩니다. (만일 피적분함수가 1이라면, 중적분과 삼중적분의 기하적 의미는 각각 면적, 부피입니다.) 미적분학 책들을 보면 중적분, 삼중적분을 배우고 벡터 미적분학 단원이 소개됩니다. 그리고나서 선적분을 다룹니다.

 

 

2) 둘째, 적분구간을 단순히 $x$축의 두 점 사이가 아닌, 평면 상의 임의의 두 점을 선택하고 그 두 점을 잇는 직선상에서 적분을 수행한다.

 

이 개념이 바로 선적분입니다. 정적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$에서는 $dx$의 의미가 $x$축을 따라 적분하라는 의미인데, 선적분은 이 적분 구간을 굳이 $x$축이 아니라 임의의 곡선으로 바꿔보자는 것입니다. 이것의 응용은 물리학에서 어떤 물체에 일을 해 줄 때 경로가 꼬불꼬불한 경우 한 일의 값을 구해보자는 아이디어와 연결됩니다.

 

 

본래 미적분학에서 정적분을 정의할 때는 적분구간을 분할하여 norm을 만든 다음 리만합(Riemann sum)의 극한을 취하는 과정으로 나아갑니다. 이러한 과정이 선적분에서도 동일하게 적용됩니다.위 그림과 같이 좌표평면에 두 점 A,B를 선택한 뒤, 그것을 분할한 다음 리만합에 극한을 취한 꼴로 선적분을 정의합니다.

 

$$\int_{C}^{}f(x,y)ds=\lim_{\left | P \right |\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_i},\bar{y_i})\Delta s_i$$

 

​여기서 좌변을 읽는 방법은 매우 중요하며 '$s$에 대한 곡선 $C$에서의 함수 $f(x,y)$의 선적분' 이라고 읽습니다. 앞으로 선적분 표기를 보자마자 저게 적분구간이 $C$라는 곡선 위이고, 이들을 잘게 쪼갠 단위 $s$에 관하여 $f(x,y)$를 선적분하라는 뜻인지 이해할 수 있어야 합니다!

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그러면 좌표 공간에서 선적분은의 기하학적 의미가 무엇일까요? 바로 아래 그림과 같습니다.

 

 

곡선 $C$는 현재 구불구불하게 $xy$평면에 그려져 있는 선이고, 그 위에 진한 색으로 그려져 있는 것이 피적분함수이며,

그림상의 $dl$은 위에서 제가 설명했었던 것과 같이

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'$l$ 에 대한 곡선 $C$에서의 함수 $f(x,y)$의 선적분'

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라는 의미를 갖습니다. 곧, 미소 길이 벡터 $d\mathbf{l}$에 대해 각각의 함수 $f(x,y)$가 놓여 있으니 이들의 곱의 선적분은 결과적으로 기하학적 의미가 위 그림에서 커튼처럼 보이는 면적이 된다고 할 수 있습니다.

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2. 선적분의 대상

 

선적분을 어떻게 읽을 수 있는지 제가 위에서 강조를 해 드렸는데, 또 중요한 것이 하나 있습니다. 바로 피적분함수가 스칼라 함수인지, 벡터함수인지를 체크하는 일입니다.

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선적분에서 중요한 것은 벡터함수의 선적분이고, 스칼라 함수의 선적분은 사실 빈도수로 따지면 좀 밀리는 편이며 뒤에 계속 나오는 그린정리, 스토크스 정리, 발산정리는 모두 벡터함수에 관련된 것입니다.  오늘은 스칼라 함수 선적분에 대해서만 소개할 것입니다.

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스칼라 함수의 선적분은 말그대로 피적분함수가 스칼라라서, 벡터가 아닙니다. 조금 쉽게 구분하는 방법은 벡터함수의 선적분은 피적분함수 벡터와, $ds$에 해당하는 적분요소가 '내적'의 형태로 결합되어 있습니다.

 

$$\int_{C}^{}\mathbf{F}(x,y)\cdot d\mathbf{s}=\int_{C}\left \{ g(x,y)dx+h(x,y)dy \right \}$$

 

그래서 내적을 풀어 해치면 피적분함수의 $x$성분, $y$성분이 각각 $dx, dy$와 곱해져 서로 더해진 꼴이 나오게 됩니다.

이와 같은 적분은 벡터함수의 선적분이고, 다음 포스팅에서 벡터함수의 적분을 할 때 깊게 다룰 것입니다.

 

반면 스칼라 함수의 선적분의 해법은, 일반적으로 "매개변수로 치환"하는 방법을 이용해 풀어낼 수 있습니다.

치환을 어떻게 해야 하는지는 보통 문제에서 조건을 줍니다. 아래에서 매개변수는 보통 $t$로 씁니다.

 

$$\int_{C}^{}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{\left \{ x'(t) \right \}^2+\left \{ y'(t) \right \}^2}dt$$

 

이 때, $ds$는 다음의 관계를 만족하는 길이요소에 해당하는 친구입니다.

 

$$ds=\sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^2}dy=\sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}dx=
\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^2+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^2}dt$$

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예제 2) $\int_{C}x^2y\;ds$ 의 값을 계산하여라. 여기서 곡선 $C$는 $x=3\,\textrm{cos}t \;\; y=3\,\mathrm{sin}t\;,\;0\leq t\leq \frac{\pi}{2}$로 결정된다.

 

보자마자 곡선 $C$가 원임을 알 수 있습니다. 그러면 $x$와 $y$를 원에 관한 식으로 써서 적분해도 동일한 답을 얻습니다. 어쨌든 피적분함수가 스칼라 함수라는 것이 바로 파악되니, 매개변수로 치환해 답을 구해보겠습니다.

$$\int_{C}x^2y\;ds=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left ( 3\mathrm{cos}t \right )^2\left ( 3\mathrm{sin}t \right )
\sqrt{9\mathrm{cos^2}t+9\mathrm{sin^2}t}\;dt
=81\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{cos^2}t\;\mathrm{sin}t\;dt
=81\int_{0}^{1}u^2\;du=27$$