그래디언트, 나블라, 델 연산자 (Gradient, nabla, Del operator)

과학과 공학에서 사용하는 미분연산자 중 으뜸인 것이 바로 그래디언트(gradient) 연산자 입니다. 그래디언트는 구배(勾配), 기울기벡터, 나블라(nabla), 델(del)이라고도 부르는데, 그래디언트가 가장 공식적으로 사용하는 용어입니다. 다만 엄밀하게 따지면 단순히 그래디언트라고 하면 주로 스칼라 함수에 1번 연산자가 붙어 기울기 벡터를 나타내는 뜻으로 많이 쓰이고, 정확히 $\nabla$ 기호만을 가리킬 때는 엄밀하게는 '델(del)' 연산자 또는 '나블라(nabla)', 혹은 '그래디언트 연산자'라고 읽는게 적절하지만, 대충 그래디언트라고 퉁쳐서 부를 때가 많습니다. ^[각주:1] 그래서 주인장도 그렇게 부를 것입니다.

 

그래디언트는 단순히 고등학교 때 배웠던 여러 다항함수, 초월함수의 접선의 기울기를 구하는 것이 아니라 미분 연산자(operator)의 개념입니다. 또한 스칼라를 벡터로 만들어주는 연산자이기 때문에 벡터 연산자라 부르기도 합니다. 자연현상과 기술을 나타내는 수많은 개념들은 벡터로 구성되기 때문에, 벡터에 관해 미분하고 적분하는 벡터 미적분학에서 그래디언트는 알파이자 오메가입니다.

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그래디언트는 그 자체로 기울기의 역할을 하는 것도 있지만, 미적분학에서는 이를 이용해 방향도함수라는 임의의 방향에 대한 기울기를 구할 수 있고, 더욱이 벡터함수에 관련된 정리들 - 그린정리, 스토크스 정리, 발산정리 - 에 쓰여 회전과 발산을 나타내는 기능이 강조됩니다. 사실 대학 1학년 수학에서 가장 중요한 내용이 바로 이것들입니다. 여러분이 수학을 사용하는 전공에 속해 있다면 99% 이 역삼각형 연산자는 4학년까지 여러분들을 괴롭힐 가능성이 농후합니다. 한방에 멋지게 정리를 하고 넘어갑시다.

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 1. 그래디언트의 도입과 정의 : 스칼라함수의 그래디언트

 

먼저, 그래디언트를 스칼라함수에 붙여볼 것입니다.

 

고등 수학에 따르면, 우리가 아는 도함수는 어떤 $y=f(x)$라는 함수에 대하여 $x$가 $dx$만큼 변할 때 $y$가 $dy$만큼 변한다는 의미를 내포합니다.

 

$$dy=f'(x)dx=\left ( \frac{dy}{dx} \right )dx\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(1)$$

 

그러나 변수가 여러개로 확장된 다변수함수에 대해서도 변화율을 측정하고 싶을 때가 생길 것입니다. 예를 들어 방 안의 위치에서의 온도를 나타내는 온도함수 $T(x,y,z)$에 대해 도함수는 어떤 의미를 가지고, 어떻게 나타내야 할까요? 온도함수의 변수는 $x,y,z$로 3개이고, 이것의 도함수가 가지는 의미는 한 점에서 다른 점 또는 방향으로 어느정도 위치를 변경할 때 온도가 변화하는 정도에 해당합니다. 이 때 다변수함수는, 일변수함수와 달리 '편미분(Partial derivative)'을 사용해야 하므로 세 방향에 대해 온도의 변화량은

 

$$dT=\left ( \frac{\partial T}{\partial x} \right )dx+\left ( \frac{\partial T}{\partial y} \right )dy+\left ( \frac{\partial T}{\partial z} \right )dz$$

 

으로 나타내야 합니다.

그런데 변화라는 것에 대한 일반적인 해석은, 변화'량' 뿐만 아니라 변화하는 '방향'까지 동반하여 고려하는 것이 보다 훌륭합니다. 그리하여 온도의 변화 $dT$는 미소변위벡터 $d\mathbf{s}$와 괄호 안의 편미분으로 구성된 양의 내적으로 나타내어

 

$$\begin{align*}
dT&=\left ( \frac{\partial T}{\partial x} \right )dx+\left ( \frac{\partial T}{\partial y} \right )dy+\left ( \frac{\partial T}{\partial z} \right )dz 
\\\\&=\left ( \frac{\partial T}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial T}{\partial y}\,\mathbf{j}+\frac{\partial T}{\partial z}\,\mathbf{k} \right )\cdot \left ( dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k} \right ) \\\\& =\nabla T\cdot d\mathbf{s}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(2)
\end{align*} $$

 

가 됩니다. 식 $(2)$는 $(1)$의 3차원 확장형인 셈이죠. 그러면 고등학교 도함수 식 $(1)$에서 $f'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 역할을 하는 녀석은

 

$$\nabla F=\left ( \frac{\partial F}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\,\mathbf{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\,\mathbf{k} \right )=F_x\,\mathbf{i}+F_y\,\mathbf{j}+F_z\,\mathbf{k}$$

 

입니다. 이것이 그래디언트의 정의입니다. 특징을 살펴보면, 이 연산자는 만일 스칼라함수 $F=F(x,y,z)$ 에 그래디언트를 붙이면, 결과값은 벡터함수가 됨을 알 수 있습니다. 중요하면서도 기본적인 개념입니다.

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2. 심화 : 벡터장의 그래디언트와 일반적인 그래디언트 연산자의 식

 

그래디언트 연산자(델 연산자)는 위에서 보았듯이 스칼라함수에 걸면 그것을 벡터로 바꾸어주며, 수학적 의미는 미분과 관련되어 기울기 값을 보여준다는 것입니다. 그런데 서론에서 이야기했듯이 모든 그래디언트가 항상 기울기가 되는 것은 아니고, 스칼라함수에 붙였을 때만 기울기의 의미가 됩니다.

 

그래디언트는 벡터함수에도 붙일 수 있고, 그러면 기울기가 아니라 전혀 다른 발산이나 회전의 의미가 되기도 합니다. 또한 어떤 좌표계에서 그래디언트를 수행하는지에 따라 형태도 달라지는데요. 미적분학을 벗어나면 라플라스 방정식이나 포아송 방정식 등 그래디언트가 여러번 나오기도 하는 미분방정식을 풀어야 합니다. 그래서 그래디언트의 일반적 정의는 다음과 같고, 미적분학 수준에서는 필요하지 않지만 나중에 언젠가 마주치게 될 겁니다.

 

그래디언트 연산자 (델 연산자)의 일반적 정의 식은 다음과 같다.

$$\nabla \equiv \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{h_i}\,\frac{\partial }{\partial x}\,\mathbf{e}_i$$
여기서 $\mathbf{e}_i=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\partial R}{\partial \mathbf{e}_i}}{\left | \displaystyle\frac{\partial R}{\partial \mathbf{e}_i} \right |}\;\;,\;\;h_i=\left | \displaystyle\frac{\partial R}{\partial \mathbf{e}_i} \right |$ 이다. $h_i$는 각각의 좌표계에서 다음과 같다.

직교 좌표계 : $h_x=h_y=h_z=1$
구면 좌표계 : $h_r=1\;\;,\;\;h_{\theta}=r\mathrm{sin}\theta \;\;,\;\; h_{\phi}=r$
원통 좌표계 : $h_{\rho}=1\;\;,\;\;h_{\phi}=\rho \;\;,\;\; h_z=1$

 

일반적 정의에선 $h_i$가 추가로 붙는데, 이것은 $i$ 방향으로의 '스케일 벡터(Scale vector)'라고 부르며, 그 값은 위에 적은 것과 같이 어떤 좌표계에서 각각의 기저벡터 방향으로의 단위벡터의 크기(노름)와 같습니다. 직교 좌표계에서는 이 값이 항상 1이 됩니다. 이 값은 좌표계를 바꿀 때마다 달라지는데 직교 좌표계에서는 1이므로 무시해도 되어서 1학년 미적분학 수준에선 $h_i$의 정체를 깊게 탐구하지 않습니다. 구면 좌표계와 원통 좌표계를 다룰 때 주의깊게 살펴보면 됩니다.

 

 

 

1. 그래디언트 = 그래디언트 연산자 로 이해하자는 것입니다. [본문으로]