벡터장이란? (Vector Field)

벡터 미적분학은 학부의 자연계 학생들이 공부하는 미적분학(Calculus)의 마지막 꼬리 부분을 담당하고 있으며, 미적분학 책 내에서 가장 난이도가 높다고 평가받는 부분입니다.

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그러나 벡터 미적분학 부분의 내용, 즉 크게 보면 벡터장, 선적분의 기본정리, 선적분, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등은 고학년에서 배우는 수학을 이해하기 위한 필수적인 단추 역할을 합니다. 게다가, 스토크스 정리나 발산 정리 같은 경우에는 물리적 해석을 꼭 짚고 넘어가지 않으면 이것들이 왜 회전과 발산에 관한 것인지 이해를 할 수가 없습니다.

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미적분학 후반은 보통 극좌표를 배우고 난 다음, 중적분의 세계로 들어가게 되고, 마지막에 벡터 미적분이 등장합니다. 이 포스팅 카테고리에서는 벡터 미적분학에 대한 전반적인 이해와 함께, 처음 공부했을 때 놓치기 쉬웠던 간과했던 곳까지 차근차근 설명함과 동시에 왜 그러한 물리적 의미를 가지고 있는지 논의를 해보도록 하겠습니다. 그러나 미적분학의 이러한 중요 개념들은 사실 그보다 한 단계 위의 고급수학을 활용할 때 사용되는 도구인 만큼 세세한 증명을 하지 않는 경우도 있다는 점 알아두시기 바랍니다. 물론, 주요 공식에 관한 증명은 할 것입니다.

 

그리고 이제부턴 벡터가 무수히 많이 등장하므로 표기법을 알아야 합니다. 벡터의 표기는 고등학교 수학때는 보기 쉽게 문자 위에 화살표를 달아 표기하지만, 대학교 수학에서는 그보다는 볼드체를 이용해 표현합니다. 그러니 앞으로 문자 위에 특별히 화살표 표기가 없더라도, 모든 볼드체는 벡터로, 볼드체가 아닌 것은 스칼라로 이해하여야 합니다.

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1. 벡터장(Vector Field)

 

벡터장이 무엇인지 이해하기 위해서 함수의 개념부터 시작하면 좋습니다.

 

1) 실수 변수 1개를 입력했을 때, 실수가 나오는 함수 : $y=f(x)$

 

2) 실수 변수 2개를 입력했을 때, 실수가 나오는 함수 : $z=f(x,y)$

 

3) 변수가 실수인 변수 1개를 입력했을 때 벡터가 나오는 함수 : $\mathbf{F}(t)=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}$

 

4) 실수 변수 2개를 입력했을 때, 벡터가 나오는 함수 = 벡터를 입력했을 때 벡터가 나오는 함수

: $\mathbf{F}(x,y)=\mathbf{M}(x,y)\mathbf{i}+\mathbf{N}(x,y)\mathbf{j}+\mathbf{P}(x,y)\mathbf{k}$

 

 

이제부터 다룰 대상은 4)의 입력과 출력이 모두 벡터인 함수입니다. 이는 어떤 $n$차원 공간의 각각의 점 $\mathbf{p}=\mathbf{p}(x,y)$에 벡터 $\mathbf{F}(\mathbf{p})$를 결정하는 함수를 말하고, 이러한 함수를 '벡터장(Vector Field)'이라고 합니다.

 

[그림 1] 벡터장을 기하학적으로 나타낸 그림.

 

여기서 공간의 어떤 점 $\mathbf{p}=\mathbf{p}(x,y)$가 왜 벡터인가? 라고 생각할 수 있는데, 여기서 $\mathbf{p}$는 단순히 점의 좌표를 뜻하는 것이 아니라 점을 가리키는 위치벡터를 말하는 것입니다. 그러니 4)의 실수 변수 2개를 입력했다는 것은 단순히 점 $(x,y)$를 넘어 그 점을 가리키는 위치벡터인 것입니다. 그래서 입력물과 출력물이 모두 벡터라고 지칭한 것입니다.

 

예컨대, $\mathbf{F}(x,y)=-\frac{1}{2}y\;\mathbf{i}+\frac{3}{4}x\;\mathbf{j}$ 은 벡터장입니다. 그래서 만일 어떤 점 $(x,y)$를 이 벡터장에 대입하면, 그 점에서의 벡터값을 구할 수 있게 됩니다. 만일 제가 $(1,1)$을 선택했다면 $(1,1)$에서 벡터장은 $\mathbf{F}(1,1)=-\frac{1}{2}\;\mathbf{i}+\frac{3}{4}\;\mathbf{j}$ 가 되는 것입니다.

 

고로 평면 위의 모든 점에 대하여 벡터장에 각각의 점을 대입함으로서 그 점에서의 고유 벡터가 정해지고, 이들을 여러개 그리면 위의 [그림 1]처럼 어떤 공간에서 여러 벡터들을 한눈에 파악함으로서 기하학적 의미를 손쉽게 이해할 수 있게 됩니다.

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2. 보존 벡터장(Conservative Vector Field)

 

물리학에서 '일(Work)'은 힘과 거리의 곱 $W=Fs$이라는 말을 물리 시간에 들어본 적이 있을 것입니다. 그런데 엄밀하게는 힘이 그냥 힘이 아니라 알짜힘이어야하고, 힘은 벡터이며, 이동거리 또한 변위벡터로 나타낼 수 있고, 일의 정확한 정의는 두 벡터의 내적으로 정의됩니다.$$W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{s}$$

여기서 힘 $\mathbf{F}$가 보존력이면, 일의 양이나 위치에너지 변화량은 경로에 무관하고, 비보존력이면 경로에 의존됩니다.만약 제가 1층에서 16층으로 제가 살고 있는 집에 올라간다고 했을 때, 계단을 이용해 걸어 올라가든지, 엘레베이터를 타고 올라가던지 위치에너지의 증가량은 같다는 것입니다. 즉, 증가한 높이(h)에만 의존한다는 것이고 경로에 무관하다는 답이 나오는 것이죠.

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사실은 벡터장 중에서도 보존 벡터장이 중요합니다.

보존 벡터장의 수학적 정의는 다음과 같습니다.

 

스칼라장 $f$의 gradient인 벡터장 $\mathbf{F}$을 '보존 벡터장(Conservative Vector Field)'라고 하며, 여기서 $f$를 '퍼텐셜 함수(Potential Function)'이라고 한다. 곧, 다음이 성립한다.
$$\mathbf{F}=\nabla f$$

 

'보존'이라는 말과 '퍼텐셜'이라는 말은 위에서 일에 관한 예시를 든 것처럼, 결국 물리학적 의미와 연관성이 있습니다. 다만 본문에서는 벡터장에 대한 간략한 이해만을 적고, 이에 관해서는 뒤에서 차근차근 정확히 설명하겠습니다. 실제로 그린정리의 '그린'도 수리물리학자고, 스토크스 정리의 '스토크스'도 과학자이며, 발산 정리도 '가우스 정리'라고 불리는데 이유가 있습니다. 가우스는 수학자이면서 물리학자인데 물리학에 굉장히 많은 영향을 끼칩니다.