기울기와 변위벡터의 내적이 퍼텐셜 에너지 함수의 미분량임을 증명

다음 식을 증명하겠습니다.

 

퍼텐셜 함수(물리학적 의미는 퍼텐셜 에너지) $U$와 미소 변위 벡터 $d\mathbf{r}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\nabla U\cdot d\mathbf{r}=dU$$

 

증명 ) 위치벡터 $\mathbf{r}=(x,y,z)$에 대하여 퍼텐셜 에너지 함수 $U=U(\mathbf{r})$의 전미분은

$$dU=\left ( \frac{\partial U}{\partial x} \right )dx+\left ( \frac{\partial U}{\partial y} \right )dy+\left ( \frac{\partial U}{\partial z} \right )dz$$
이고, 그래디언트 값과 미소 변위 벡터는 각각

$$\nabla U=\left ( \displaystyle\frac{\partial U}{\partial x} \right )\mathbf{i}+\left ( \displaystyle\frac{\partial U}{\partial y} \right )\mathbf{j}+\left ( \displaystyle\frac{\partial U}{\partial z} \right )\mathbf{k}\;\;,\;\; d\mathbf{r}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}$$
이므로 둘을 연립하면 
$$\nabla U\cdot d\mathbf{r}=dU$$
이 성립한다.