복소수를 복소평면에서 나타내는 기본적인 표현은 실수부분과 허수부분을 직교하는 축에 찍어내는 것입니다. 하지만 그보다 좀 더 범용적으로 쓰이면서 가치있는 표현법은 복소수를 극 형식으로 나타내는 것입니다. 이는 일종의 오일러 공식으로부터 가능한 표현이라고 볼 수 있으며, 삼각함수의 사인과 코사인을 직교기저로 사용할 수 있다는 선형대수학적 사고에도 기반을 두고 있습니다. 오일러 공식이 삼각함수와 허수를 든 지수함수를 연결지어 주는 셈이라고 볼 수 있습니다.
1. 복소수의 극 형식
1) 정의
정의($C.N$) 1-4) 복소수의 극 형식
복소수 $z=x+yi$ 에 대응하는 복소평면상의 점 $(x,y)$ 의 극 좌표를 $(r,\theta)$ 라 하자. 그러면 $x=r\cos \theta $ 이고 $y=r\sin \theta$ 를 이용하여
$$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ 와 같이 나타낼 수 있다. 이를 복소수 $z$ 의 '극 형식(polar form)'이라고 한다. 이는 본질적으로 오일러 공식(Euler's Fomula) $e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$ 를 활용하는 셈이다. 그러면 켤레복소수 표현은 다음과 같다. $$\overline{z}=re^{-i\theta}=r\left\{ \cos(-\theta)+i\sin(-\theta) \right\}= r\left( \cos\theta-i\sin\theta \right)$$
이 개념은 미적분학에서도 다루었을 것이라 믿습니다. 직교좌표계 외에 극 좌표계에서 점을 표현하는 방법을 말한다고 보아도 좋습니다.
2) 편각의 주 값
여기서 눈여겨보아야 할 점이 있습니다. 복소수 $z=re^{i\theta}$ 가 가리키는 점은, 아래 [그림 2]와 같이 $z=x+iy$로 나타낼 수 있는데, 평면에서 그 점까지 회전을 정확히 $\theta$ 만큼 돌아도 저 점을 가리키지만 사실 $n\in\mathbb{Z}$ 라 두면 $2n\pi+\theta$ 를 돌아도 저 점을 가리킬 수 있지요. 1
그렇다는 것은 한 점(치역)을 가리키는 여러개의 값(정의역)이 존재할 수 있음을 뜻합니다.2 그러나 가장 간단하게 $-\pi\leq\theta\leq \pi \;\;\mathrm{or}\;\; 0\leq \theta\leq2\pi$ 로 $\theta$ 의 범위를 제한하는 것이 좋겠지요? 두 범위 중 무엇으로 할지는 책이나 문제에서 제시해주는 조건에 따라 다릅니다. 이에 관한 다음의 개념을 정리합시다.
정의($C.N$) 1-5) 복소수의 편각
복소수를 극 형식으로 나타낼 때, 한 점에 대응되는 $\theta$ 의 각 값을 '편각(argument)'이라 한다. 편각은 무수히 많이 존재하여 전체 편각들로 이루어진 집합을 $\mathrm{arg}\;z$ 로 표기한다.
편각 중에서 구간 $-\pi<\theta\le\pi$ 에 속한 하나뿐인 값을 보통 $\Theta$ 로 표기하며 이를 $\mathrm{arg}\;z$ 의 '주 값(principal value)' 이라 부르고 $\mathrm{Arg}\;z$ 으로 나타낸다. 곧, $-\pi<\Theta\le\pi$ 이라 할 수 있다. 그렇다면 다음 관계가 성립한다.
$$\mathrm{arg}\;z=\mathrm{Arg}\;z+2n\pi\;\;\;(n\in \mathbb{Z})$$
$\theta$ 가 $\pi$ 일 때나 $-\pi$ 일 때 물리적으로 가리키는 점이 같기 때문에 보통 범위에서 한 쪽에만 등호를 붙여 주는 편입니다. 음수보단 양수가 편하니 여기서는 $-\pi<\theta \le\pi$ 라 적었습니다. 대부분의 문제에서 $z=re^{i\theta}$ 가 가리키는 점을 찾을 때 각도는 주 값으로 고려하는 것이 일반적입니다.
정리($C.N$) 1.3) 편각의 연산 성질
두 복소수 $z_1, z_2\in\mathbb{C}$ 에 대해 다음이 성립한다.
① $\arg (z_1z_2)\equiv \arg z_1 + \arg z_2\;(\text{mod}\; 2\pi)$
② $\arg(z^{-1})=-\arg z+ 2k\pi \;\;(k\in\mathbb{Z}) $
③ $\arg \left( \displaystyle \frac{z_1}{z_2} \right)=\arg z_1 - \arg z_2+ 2k\pi \;\;(k\in\mathbb{Z}) $
증명) ① 에서 사용한 합동 표현이나 ②, ③ 에서 사용한 꼬랑지에 달아 둔 $2k\pi$ 의 의미는 같음을 먼저 인지하자.
① $z_1=r_1e^{i\theta_1}$, $z_2=r_2e^{i\theta_2}$ 이라 하자. 그러면 $z_1z_2=(r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ 가 된다. 여기서 $\arg z_1=\theta_1$, $\arg z_2=\theta_2$ 라 둔 것이다. 그러면 $\arg(z_1z_2)=(\theta_1+\theta_2)+2k\pi \;\;(n\in\mathbb{Z})$ 라 둘 수 있고, $\arg z_1=\theta_1 + 2n_1\pi \;\;(n\in\mathbb{Z})$ 라 둘 수 있다. 이로부터
$$\left( \theta_1+\theta_2 \right)+2n\pi = (\theta_1 + 2n_1\pi)+ \{ \theta_2 + 2(n-n_1)\pi\}$$
가 되므로, $\arg z_2 = \theta_2 + 2(n-n_1)\pi$ 와 같이 두면 주어진 관계가 성립한다. 이는 $\arg (z_1z_2)$ 의 값과 $\arg z_1$ 의 값이 정해지면, $\arg z_2$ 의 값을 정할 수 있음을 보여준다.
② $z_2^{-1}=\displaystyle\frac{1}{r^2}e^{-i\theta_2}$ 로부터, $\arg z_2^{-1}= -\arg z_2 + 2k\pi \;\;(k\in\mathbb{Z})$ 가 된다.
③ 단순히 위 두 결과를 적용하면 된다. ① 에서 $z_2$ 대신에 그것의 역원을 넣고, ② 를 적용해준다. 그러면 $\arg \left( \displaystyle \frac{z_1}{z_2} \right)=\arg z_1 +\arg{z_2^{-1}}=\arg z_1 -\arg z_2$ 를 얻는다. $_\blacksquare$
예제 1) $z=-1-i$ 를 극 형식으로 써라.
$r$을 먼저 구하면,
$$r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$$
그리고 실수 부분과 허수 부분으로 점을 찍으면 좌표는 $(-1,-1)$ 이니, 3사분면에서, $x$축의 양의 방향과 이루는 각도가 $\displaystyle\frac{5\pi}{4}$ 이 됩니다. 고로 답은 $z=e^{\displaystyle\frac{5\pi i}{4}}$ 이 됩니다.
[참고문헌]
Complex variables and applications, James Ward Brown & Ruel V. Churchill, 9e
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