복소수 범위에서 로그함수와 지수표현(Complex logarithms and exponential representation)

이제 로그함수입니다. 실수만을 고려하다 복소수로 수 체계를 확장했을 때, 가장 까다로운 것이 바로 이 로그함수입니다. 아마도, 여러분들은 고등학교 수학에서 로그의 진수(argument)에는 항상 양수만이 들어갈 수 있음을 배웠습니다. 복소수에서는 그 규칙이 깨지며 진수에는 양수와 음수, 그리고 $i$ 를 포함한 식까지 전부 들어갈 수 있습니다. 다만 $0$ 이 들어갈 수는 없습니다. 아무튼 음수의 삽입을 허용하려면 아무래도 몇가지 규칙이 필요하겠지요? 그 때문에 약간 익숙하지 않을 수 있지만 아주 어려운 것은 결코 아니기에 또 한 번 열심히 달려가 봅시다.

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1. 복소수 범위에서 로그함수

 

1) 자연상수, 자연로그의 정확한 정의?

 

우선 몇가지 짚고 넘어갈 것이 있으니 이들을 살펴봅시다. 고등학교 수학에서 $\ln$ 을 정의하는 순서와 방법은 다음과 같습니다. 일반적인 로그 $\log$ 를 학습한 다음, 밑(base)가 무리수 $e$ 인 로그를 자연로그 $\ln$ 이라고 정의하지요. 자연상수로 불리는 무리수 $e$ 역시 극한을 통해 정의합니다. 이것은 잘못된 내용은 아니지만, 미적분학에서 $\ln$ 의 정의, 그리고 무리수 $e$ 의 정의는 미분과 적분을 통해 좀 더 엄밀하게 다음과 같이 합니다.

 

 

정의($C.C$) ?.?) 자연로그의 정의
유리함수 $\displaystyle\frac{1}{t}$ 의 (유일한) 역도함수를 '자연로그함수'라 정의한다 : 
$$\ln x :=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt\;\;\;(x>0)$$

정의($C.C$) ?.?) 무리수 $e$ 와 지수함수 $e^x$ 의 정의
지수함수 $e^x$ 의 정의는 다음의 두 가지 방법 중 하나로 한다.
① $\ln x$ 의 역함수를 '자연지수함수(natural exponential function)'이라 하며, $e^x$ 로 표기한다. 즉 $f(x)=\ln x$ 일 때 $f^{-1}(x):=e^x$ 이다. 이때 $e$ 는  $\ln e=1$ 이 되게 하는 유일한 양의 실수로 정의한다.
② 도함수와 원함수가 같은 (유일한) 함수를 $e^x$ 와 같이 정의한다. 
$$\frac{d }{dx}f(x)=f(x)\;\;\Longleftrightarrow f(x)=e^x$$ 이 지수함수의 밑(base)는 무리수이고 $e$ 와 같이 표기하며, 그 값은 약 $e\simeq 2.7$ 이다.

 

보통은 ①의 정의를 사용하면, ②를 유도할 수 있기 때문에 첫번째 것을 보편적인 정의로 취급하는 편입니다. 물론, 처음에 언급했지만 자연로그와 자연지수함수는 고등학교 방식으로 정의해도 수학적인 문제는 없습니다. 어차피 그렇게 정의해도 위의 결과를 이끌어낼 수는 있기 때문이죠. 그냥 관점의 차이라고 보면 됩니다.

 

그러나 이러한 설명을 굳이 하고 가는 이유는 대학교 수학 수준에서는 이러한 정의가 좀 더 적절하게 적용되는 경우가 많기 때문입니다. 예를 들어, 고등학교 수학에서는 $\log$ 를 먼저 배우고 그것의 밑이 $e$ 인 특수한 경우가 $\ln$ 이라는 방식으로 가르치지만, 대학교 미적분학이나 해석학에서는 $\ln$ 을 위와 같이 먼저 정의하고 밑이 $e$ 가 아닌, 곧 일반적인 $\log$ 는 $\ln$ 을 통해 정의하는 경향성이 있습니다. 예컨대, $\log_ab:=\displaystyle \frac{\ln b}{\ln a}$ 와 같이 정의한다는 뜻입니다. 이러한 관점은 오늘 설명할 내용과 연관되어 있습니다. 이런 관점에서, 밑이 $e$ 가 아닌 경우 지수함수는 다음과 같이 정의합니다.

 

 

정의($C.C$) ?.?) 밑이 $e$ 가 아닌 지수함수와 로그함수
$a>0$ 과 임의의 $x\in \mathbb{R}$ 을 고려하자. 그러면 밑이 $e$ 가 아닌 지수함수는 다음과 같이 정의한다 : 
$$a^x:=e^{x \ln a}$$ 또한, 이 함수의 역함수는 $a\neq 1$ 일 때 $y:=\log_ax$ 로 정의한다.

 

또한 대학교 수학에서는 그냥 로그함수라고 하면 $\log$ 를 떠올리는 것이 아니라 $\ln$ 을 떠올리는 것이 기본값으로 설정되어 있다고 이해해야 합니다. 따라서, 오늘 할 복소수의 로그 표현이라는 것도 특별한 말이 없더라도 항상 $\ln$ 을 의미하는 것이라고 생각해주시면 됩니다.

 

 

2) 복소수 범위에서 로그값

이제 로그를 살펴봅시다. 복소수 범위에서 로그는 부정적분 따위로 정의되지 못하며, 지수 표현으로부터 유도됩니다. $0$ 이 아닌 $z\in \mathbb{C}$ 와 $w\in\mathbb{C}$ 를 먼저 고려합니다. 복소수는 극 형식을 통해 $re^{i\theta}$ 꼴로 쓸 수 있으므로,

 

$$z=e^w$$

 

와 같이 어떤 지수함수 꼴로 나타낼 수 있다고 생각할 것입니다. 물론 이렇게 되면 일단 $z$ 의 모듈러는 $1$ 로 취급할 수 있겠죠. 그런 다음 지수함수와 로그함수가 역함수 관계라는 사실을 사용하면,

 

$$z:=e^w\;\;\Longrightarrow \;\;w=\ln z$$

 

가 됩니다. 이제, 다시 $z$ 는 복소수이므로 극 형식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

정리($C.N$) 1.9) 복소수 범위에서 로그값
복소수 $0\neq z\in\mathbb{C}$ 를 진수로 하는 로그 표현은
$$w=\ln z = \ln (re^{\theta}) = \mathrm{Ln}\, r+\ln e^{i\theta}=\mathrm{Ln}\,r+i\theta$$ 과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $\mathrm{Ln}\, r$ 은 복소수의 모듈러 $r\in\mathbb{R}$ 을 진수로 하는 로그이므로 실수값에 대한 로그값이다.

 

그러니 우리는 진수에 복소수를 넣는 것이지만, 복소수의 극 형식 표현에 의하면 모듈러 부분은 반드시 실수가 되기 때문에 $\mathrm{Ln}\,r$ 은 진수가 반드시 실수에 해당한다는 점을 부각하기 위해 대문자로 쓴 것입니다. 하지만 이 정리에서나 그를 강조하기 위해 이렇게 쓴 것이고 앞으로는 그냥 $\ln r$ 이라고 적을 것입니다. 

 

그렇기 때문에 만일 $z=0$ 인 경우는 로그를 정의할 수 없습니다. $z=0$ 은 곧 극형식에서 $r=0$ 을 함의하는데, $r=0$ 이면 $\ln r= \ln 0$ 이라는 뜻이 됩니다. $\ln 0$ 을 정의하기 위해 $\ln 0$ 을 어떤 값으로 정의한다는 것은 순환 논리이므로, 로그에 대해서 복소수 범위까지 정의역을 확장해도 진수에는 절대 $0$ 을 넣지 못하는 것으로 약속합니다.

 

이 정리를 이용하면 이제 진수에 0이 아닌 복소수, 예컨대 음의 실수 등이 들어가더라도 로그 값을 구할 수 있게 됩니다. 예제를 몇개 확인해봅시다.

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예제 1) $\ln (-1)$ 의 값을 구하여라.

 

 

Sol) 진수를 극형식으로 바꿔서 계산한다. 이때 복소수의 크기인 모듈러스는 반드시 $r>0$ 이 되도록 잡아야 함에 주의한다. $-1$ 이라는 숫자는 복소평면에서 $(-1,0)$ 에 찍힌다는 것에 주목하자. 그러면

 

$$\begin{align}
\ln (-1)&=\ln (1\times e^{i\theta})=\ln (1\times (\cos \theta + i\sin \theta))
\\\\&= \ln (1\times (-1+i\cdot 0))
\end{align}$$

 

이말은 즉슨 $\cos\theta = -1$ 이고 $\sin \theta= 0$ 이 되어야 한다는 뜻이다. 고로

 

$$\theta = \pi \pm2n\pi\;\;(n\in\mathbb{Z})$$

 

가 되어야 함을 뜻한다. 따라서 답은

 

$$\begin{align}
\ln(-1)&=\ln (1\times e^{i(\pi\pm 2n\pi)})=\ln 1 + i(\pi\pm2n\pi)
\\\\&= i\pi, -i\pi, 3i\pi, -3i\pi,\cdots
\end{align}$$

 

와 같이 적으면 된다. 무한히 많다는 것에 유의하자. $_\blacksquare$

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예제 2) $\ln (1+i)$ 의 값을 구하여라.

 

 

Sol) $1+i$ 는 복소평면상에서 $(1,1)$ 에 찍힌다. 그러면 $r=\sqrt{2}$ 이고 주 각은 $\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4}$ 에 해당한다. 그러므로

 

$$\begin{align}
\ln (1+i)&=\sqrt{2}\left( \cos\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi +i\sin\displaystyle \frac{\pi}{4}+2npi \right)
\\\\&= \sqrt{2}e^\left\{ i\left( \displaystyle \frac{\pi}{4}\pm 2n\pi \right) \right\}
\\\\&=\ln \sqrt{2}+i\left( \frac{\pi}{4}\pm 2n\pi \right)
\end{align}$$

 

이 값 역시 나열하면 무수히 많다는 것에 유의하라. $_\blacksquare$

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예제 3) $\ln i$ 의 값을 구하여라.

 

Sol) $i$ 는 복소평면에서 $(0,1)$ 에 찍히므로 주 각은 $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ 에 해당한다. 그렇기에

$$\begin{align}
\ln i&=\ln \left( e^\left\{ i\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm 2n\pi \right) \right\} \right)
\\\\&= i\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm 2n\pi \right)
\end{align}$$

 

이 값 역시 나열하면 무수히 많다. $_\blacksquare$

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2. 복소수 범위에서 로그를 사용하여 일반 지수 표현하기

 

위에서 밑이 $e$ 가 아닌 지수함수를 정의하는 방법을 소개했었습니다. 바로 $a^x:=e^{x \ln a}$ 이 식인데, $x\in\mathbb{R}$ 대신 $z\in\mathbb{C}$ 를 넣을 수 있을까요? 그렇게 정의하는 것이 잘 정의되는 것일까요? 정답은 그렇다는 것입니다. 왜냐하면 이 식의 우변을 보면 $\ln a$ 가 있는데, 우리는 이미 $a$ 에 복소수가 들어갈 수 있다는 사실에 대해서 위에서 다루었습니다. 또한 지수함수 $e^z$ 도 정의되기 때문에, $a^x:=e^{x \ln a}$ 식을 복소수 범위로 확장해서 적용하는 것은 유호합니다.

 

 

정의($C.N$) 1-10) 복소수의 지수-로그 관계
$a,b\in\mathbb{C}$ 에 대해 지수 표현은 다음과 같이 로그를 이용해 정의한다 :
$$a^b:=e^{b\ln a}$$

 

 

복소수 범위에서 지수와 로그가 짬뽕되어있는 많은 식을 처리해야 하는데, 이 정의 관계를 이용하는 식 처리가 가장 복잡합니다. 크게 어렵진 않지만 계산을 주구장창 때려야 하는 경우가 많기에 예제를 몇가지 살펴봅시다.

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예제 4) $i^{-2i}$ 의 값을 구하여라(간단히 하여라).

 

 

Sol) 일단 $i^{-2i}:=e^{-2i\ln i}$ 와 같이 정리할 수 있다. 그리고 $\ln i$ 의 값은 위의 예제 3) 에서 구했기에 그 결과를 활용하여 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align}
i^{-2i}&=e^{-2i\ln i}=e^{-2i}\cdot e^{\ln i}
\\\\&= e^{-2i \cdot i\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm 2n\pi \right)}
=e^{2\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}\pm 2n\pi \right)}
\\\\&=e^{\pi\pm 4n\pi}
\\\\&=\cdots, e^{-3\pi}, e^{\pi}, e^{5\pi},\cdots \;\;\in\mathbb{R}
\end{align}$$

 

놀랍게도 이 값은 완전히 실수라는 결과가 나온다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Mathematical methods for physical sciences, Mary L Boas