복소지수함수, 복소삼각함수(Complex exponential function and Trigonometric function)

복소수 범위에서 지수함수와 삼각함수를 어떻게 다루는지 살펴봅시다. 이 둘은 오일러 공식으로 인해 끈끈하게 연결되어 있습니다.

---

1. 오일러 공식

 

대학교의 모든 수학에서 오일러 공식은 언제나 기본입니다.

 

정리($C.N$) 1.7) 오일러 공식(Euler's formula)
실수 각에 대하여 오일러 공식은
$$e^{\pm i\theta}=\cos\theta \pm i\sin\theta$$ 와 같다. 복소수 범위에서는 다음과 같이 약간 수정할 수 있다.
$$e^z=e^{x\pm iy}=e^x\left( \cos y\pm i\sin y \right)$$

 

복소수 $z$ 를 지수에 삽입하면 $x\pm iy$ 로 쪼개지고, 허수단위가 붙은 $y$ 부분만 오일러 공식으로 바꾸어 주면 됩니다.

---

예제 1) $e^{2-i\pi}$ 를 간단히 하여라.

 

Sol) $$e^{2-i\pi}=e^2\cdot e^{-i\pi}=e^2(\cos (-\pi)+i\sin (-\pi))=e^2(-1+0)=-e^2\;\;_\blacksquare$$

---

2. 복소삼각함수

 

1) 삼각함수

 

미적분학에서 삼각함수는 지수함수로 바꾸어 쓸 수 있음을 배웠을 것입니다. 복소수 범위에서도 동일하게 사용할 수 있습니다.

 

정의($C.N$) 1-8) 
복소수에 대한 삼각함수는 다음과 같이 지수함수를 사용하여 정의한다.
① $\sin z:=\displaystyle\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
② $\cos z:=\displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
③ $\tan z:=\displaystyle\frac{\sin z}{\cos z}$

 

얼핏 보면 실수일 때와 다른 점이 전혀 없어 보이지만, 이것을 응용하는 과정을 보면 조금 까다로운 부분이 있습니다. 지수함수의 지수에 허수단위가 들어가 있거나 삼각함수의 각 범위에 허수단위가 들어가 있는 경우에 그것을 실수 표현으로 바꾸려면 위 공식을 사용해야 하고, 그것은 익숙하지 않은 과정일 수 있기 때문입니다. 다음 예제들을 통해 검토해 봅시다.

---

예제 2) $\cos i$ 의 값은?

Sol) $$\cos i=\frac{1}{2}\left( e^{i^2}+e^{i^{-2}} \right)=\frac{1}{2}\left( e+\frac{1}{e} \right)\;\; _\blacksquare$$

신기하게도 허수단위에 대한 코사인 함수의 함수값이 실수라는 것입니다.

---

예제 3) $\sin\left( \displaystyle \frac{\pi}{2}+i\ln 2 \right)$ 의 값은?

Sol) $$\begin{align*}
\sin\left( \frac{\pi}{2}+i\ln 2 \right)&=\frac{1}{2i}\left\{ e^ {\displaystyle i\left( \frac{\pi}{2}+i\ln 2 \right)}-
e^{-\displaystyle i \left( \frac{\pi}{2}+i\ln 2 \right)} \right\}\\\\&=
\frac{1}{2i}\left\{ e^{\displaystyle \frac{i\pi}{2}}e^{-\ln 2}- e^{\displaystyle -\frac{i\pi}{2}}e^{\ln 2}\right\}\\\\&=
\frac{ie^{-\ln2}+ie^{\ln 2}}{2i}\\\\&=\frac{\displaystyle \frac{1}{2}i+2i}{2i}\\\\&=\frac{5}{4}\;\; _\blacksquare
\end{align*}$$

---

 

 

2) 쌍곡선함수

 

정의($C.N$) 1-9)
복소수에 대한 쌍곡선함수는 다음과 같이 정의한다.
① $\sinh z:=\displaystyle \frac{e^z-e^{-z}}{2}$
② $\cosh z:=\displaystyle \frac{e^z+e^{-z}}{2}$
③ $\tanh z:=\displaystyle \frac{\sinh z}{\cosh z}$

 

실수 범위에서 쌍곡선함수는 $\sinh x:=\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 와 $\cosh x:=\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 으로 정의한다는 것을 볼 때 형태는 완전히 같음을 알 수 있습니다. 그러나, 복소수 범위에서는 아래의 관계도 존재합니다.

 

 

정리($C.N$) 1.8)
$y\in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
① $\sin iy=i\sinh y$
② $\cos iy= \cosh y$
③ $\cosh^2 z-\sinh^2 z=1$

증명) ③ 은 매우 간단하니 생략하고 나머지 둘만 보이자. 삼각함수의 정의에 의하여 첫 번째 식은

$$\begin{align*}
\sin iy &= \displaystyle \frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}=\displaystyle \frac{e^{-y}-e^y}{2i}
\\\\&=i\cdot\displaystyle \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=i\sinh y
\end{align*}$$
가 되고, 두 번째 식은

$$\begin{align*}
\cos iy &= \displaystyle \frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\displaystyle \frac{e^{-y}+e^y}{2}
\\\\&=\cosh y
\end{align*}$$
로부터 얻는다. $_\blacksquare$

 

 

이 식은 그래서 $z=iy$ 를 넣었을 때의 결과로 볼 수 있습니다. 그러므로 $y$ 는 실수라는 조건이 달려 있는 것입니다.

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Mathematical methods for physical sciences, Mary L Boas