함수와 사상은 어떻게 다른 것인가? (How different the function with the mapping?)

이번 학습 카테고리는 복소해석학입니다. 복소해석학은 전반적인 여타 학부 과목에 비해서 어렵지 않은 편이고 해석학의 이름이 붙어 해석학을 아주 빠듯하게 알고 있어야 할 것처럼 보이지만 실상을 보면 그러한 수준은 아닙니다. 해석학에 비해 훨씬 쉬운 편이고, 미적분학 정도의 선수과목으로도 시작할 수있습니다. 하지만 응용 범위는 매우 막대하고 위력적이기 때문에, 공업수학이나 수리물리학에서 깊게 배우는 분야이기도 합니다.

 

그런데 복소수를 시작할 때 가장 먼저 전달하고 싶은 것이 있습니다. 정의는 거의 똑같아 보이는데, 서로 다른 두 용어가 등장합니다. 같은 용어라 생각할 수 있는데 실은 미세한 차이점이 있습니다. 바로 함수와 사상이라는 것인데, 함수라는 개념은 이미 '함수(function)'이라는 용어가 있는데 왜 또 '사상(mapping)'이라는 용어를 사용하는지 말인지 고려할 필요가 있습니다. 이것이 오늘의 주제입니다.

 

이것에 대한 의문은 선형대수학이나 복소해석학, 또는 다변수 미적분학(특히 중적분의 변수변환에서의  야코비안(Jacobian))을 하다 보면 조금씩 풀리기 시작합니다. 결론적으로 말하자면 고등학교나 미적분학에서 그렸던 실함수들은 단순히 도함수를 구하고, 부호를 따진 뒤 그래프를 그릴 수 있습니다. 그러나 실수 변수의 개수를 늘린다거나 복소해석을 가면, 더 이상 변수가 둘 뿐인 일반 함수의 그래프를 그릴 수 없게 됩니다.

 

실수는 하나의 숫자($-2,5,x$ 등)를 직선상에 찍을 수 있습니다. 그러나 알다시피 복소수는 하나의 복소수를 나타낼 때 실수부분과 허수부분을 나누어 나타내므로 평면이 필요합니다. 한 복소수를 하나의 직선에 찍을 수 없다는 것입니다. 그러면 복소수 함수의 그래프란 두 복소수 $z,w$ 를 모종의 관계로 연결 및 대응하여 $(z,w)$를 찍는다는건데, $z$와 $w$가 이미 2변수이므로 $(z,w)$는 4차원입니다...

 

이처럼 복소수 함수, 그리고 $y=f(x)$로 이루어진 실함수지만 $x=(u,v), y=(u,v)$ 처럼 $x,y$가 다변수인 경우 일반적인 방법으로 함수를 나타내고 정의하는 것이 까다롭습니다. 따라서, $x=(u,v), y=(u,v)$ 에 대하여 $uv$ 평면 안의 점에서 $xy$ 평면 안의 점으로의 대응 관계를 보여주는 것이 이 함수에 대한 정보를 최대한 자세하게 나타내는 방법이며, 이러한 방식으로 함수를 생각할 땐 기존 함수와 차별화를 하는 것이 좋기에 '사상(mapping)' 또는 '변환(Transformation)'이라고 부르는 것입니다.

 

 

구체적으로 분석하여 살펴봅시다. 복소해석학은 좀 더 어려우므로 미적분학 수준에서 나아가보도록 하지요. 두 변수 $x,y$가 모두 $u,v$의 함수 즉 

 

$$x=(u,v)\;, \;y=(u,v)$$

 

라 해봅시다. 이 때 함수 $F$는 점 $(u,v)$ 를 $(x,y)$으로 옮기는 함수로 정의할 것입니다. 일반적인 경우라면 그냥 $(x,y)$ 들을 찍어서 이으면 함수의 그래프가 되지만 앞서 말했듯이 $x,y$는 다변수이므로 그런 짓을 하면 4차원이 필요해서 지금은 불가능합니다. 그러니 지금은 함수 $F$가

 

$$(x,y)=F(u,v)=F(x(u,v),y(u,v))$$

 

를 만족한다는 사실을 이용할 것입니다.

 

여기서 $(x,y)$ 는 상(image) 또는 치역(Range)이라 하고 $(u,v)$ 는 원상(preimage)이라 합니다. 왜냐? 함수는 결국 치역의 원소들이 그리는 $(x,y)$들을 보고 싶은 것이니 이게 상입니다. 근데 내가 $(x,y)$를 바로 시각화 할 수 없으니 그것을 이루는 밑바닥의 변수 $u,v$가 이루는 상을 먼저 보겠다는 것입니다. 그래서 상의 원래 모습이라는 의미에서 원상이라 부릅니다.

 

따라서, 함수 $F$는 각각의 두 평면 $uv$평면과 $xy$평면을 모두 그려 이들 사이의 관계를 통해 간접적으로 묘사합니다. 다시말해 바로 $(x,y)$를 못 나타내니 $(u,v)$ 를 이용해 $(x,y)$ 로 잘 넘어간다는 대응 관계를 보여주겠다는 것입니다. 그것이 바로 [그림 1]입니다. 이는 실수 평면 두 개를 사용해 대응 관계를 보여주는 것으로 함수 $F$는 $R^2$ 에서 $R^2$ 으로의 '변환(Transformation)'이라고도 합니다. 이 변환이 선형(linear)이면 '선형변환(Linear transformation)'인 것이고 다른 말로는 선형사상이라 부를 수 있는 것이지요. 그래서 선형대수학 책을 보면 '선형함수'라는 말은 잘 안씁니다.

 

[그림 1]에도 나와있듯이 만약 화살표 방향이 반대가 되면 어떻게 되는 것일까요? 바로 역사상, 역변환에 해당하는

 

$$(u,v)=F^{-1}(x,y)$$

 

가 되는 것입니다.

 

[그림 2] 복소함수 $z=\frac{1}{w}$ 에 대한 사상. 어둡고 밝게 색칠된 영역끼리 서로 변환된다.

 

이러한 일들은 실함수를 다루는 분야보다는 하나의 복소수를 설명할 때 두 부분으로 분류해 사실상 다변수인 복소해석학에서 주되게 씁니다. 복소해석학의 뒷 파트를 보면 대부분의 책에서 함수가 아닌 사상이란 용어를 사용함을 알 수 있습니다. 그러니 함수와 사상이라는 용어는 엄밀히 말했을 때 같다기 보다는, 사상$\sqsubseteq $함수 정도로 표현하는 것이 올바르다고 생각합니다.

 

다만 미적분학에서는, 중적분의 변수변환 파트를 가면 좌표계를 바꿀때나 역함수의 치환적분 등을 고찰할 때 이 개념을 이용하여 '야코비안(Jacobian)'을 도입합니다. 헌데 저와 제 주위 경험 상 굳이 미적분학에서 이 내용을 깊게 파고들진 않습니다. 간단히 야코비안이 변수변환의 목적으로 쓰인다는 점 정도만 기억하고 (어차피 그것조차 행렬식이라 선대에서 해라 정도로 넘기고 미적분학에서 더 초점을 맞추지 않는 것 같기도 하네요) 공식만 외우게 가르치는 편입니다. 그래서 공부를 꼼꼼히 한 분들이면 1학년 때 이미 사상 및 변환의 개념을 맛본 것입니다.

 

마지막으로, 실제 어떻게 $(u,v)$를 통해 $(x,y)$를 나타내는 것인지 예제로 끝을 맺어 보겠습니다.

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예제 1) $$x=x(u,v)=u+v \\\\
y=y(u,v)=u-v$$

 

로 주어지고 $F(u,v)=(x,y)$ 라 하자. 이 때 $u,v$의 범위가 $\left \{ (u,v)\mid 3\leq u\leq 5\;\;\mathrm{and}\;\;1\leq v\leq 4 \right \}$ 로 제시될 때 바둑판 눈금 그래프로 대응 관계를 찾아라.

 

$x,y$에 관한 연립방정식을 $u,v$에 관한 연립방정식으로 바꿉니다.

 

$$\left\{\begin{matrix}
\;x=u+v\\ 
\;y=u-v
\end{matrix}\right.\;\;\rightarrow \;\;\left\{\begin{matrix}
u=\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)\\ 
v=\displaystyle\frac{1}{2}(x-y)
\end{matrix}\right.$$

 

[그림 3]

 

먼저 $u$에 대한 곡선 부분을 분석해봅시다. $u$는 범위로 주어졌으나, 바둑판 모양으로 그릴 것이라 정수 부분만 그려넣고 사각형을 만들면 됩니다. 그래서 $u=3,4,5$를 대입하면

 

$$C=\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)\;\;,\;\;C=3,4,5$$

 

이며 이것은 정리하면

 

$$y=2C-x\;\;,\;\;C=3,4,5$$

 

가 됩니다. 이는 [그림 3]의 우측의 변환된 바둑판에서 $C=3,4,5$ 일 때의 'u-curve'라 표기된 직선들을 의미합니다. 같은 방법으로 $v$에 대해서 $v=1,2,3,4$를 대입하면

 

$$y=-2C+x\;\;,\;\;C=1,2,3,4$$

 

가 나옵니다. 이것이 그림에서 'v-curve'라 나타낸 직선과 평행한 선들입니다. [그림 3]의 좌측 좌표평면은 $u,v$에 대한 것이고 우측 좌표평면은 $x,y$에 대한 것임을 꼭 명심해야 합니다.

 

 

[참고문헌]

CALCULUS, EDWIN J. PURCELL , PEARSON