구면좌표계나 원통좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 다 보면 방위각 부분에서 주기성이나 대칭성을 갖는다는 말이 등장합니다. 전자의 경우 주기성을 이유로 방위각 부분의 변수분리 해를 정수조건을 달아 지수함수로 만들고, 후자의 경우 방위각을 해에 아예 적지를 않습니다. 그 까닭이 무엇이고, 그 둘은 어떻게 다른지 구분을 잘하지 않으면 상당히 피곤합니다. 전공책들에 그러한 설명이 의외로 자세하지 않아 간단히 정리를 해보려고 합니다.
구면좌표계에서(원통좌표계도 방위각이 존재하니 마찬가지입니다.) 라플라스 방정식을 변수분리법으로 풀면 다음과 같은 상황이 등장합니다.
$$\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d }{dr}\left( r^2 \frac{d R}{dr} \right)+\frac{\sin\theta}{P}\frac{d }{d\theta}
\left( \sin\theta \frac{dP}{d\theta} \right)+\frac{1}{W}\frac{d ^2W}{d\phi^2}=0$$
이 때 방위각 파트의 해는
$$\frac{1}{W}\frac{d ^2W}{d\phi^2}\equiv -m^2 \;\;\;(m\in \mathbb{Z})\;\;\Rightarrow \;\; W(\phi)
=e^{\pm im\phi}\;\;\mathrm{or}\;\;\left\{ \begin{array}{cl}
\sin m\phi & \\
\cos m\phi &
\end{array} \right.$$
이라고 하고 $m$은 정수라는 조건을 반드시 달게 됩니다. 그리고 책에 항상 이 때 '방위각 주기성(periodic function of azimuth)'라는 간단한 설명이 붙습니다. 이게 무슨 뜻일까요?
1. 방위각 주기성
방위각 주기성이란 예를 들어 어떤 점에서 어떤 상태(온도, 전위 등)의 값이 하나로 정해져 있다고 하였을 때, 한 바퀴 360도를 회전해서 다시 그 자리로 오면 그 점은 방위각 좌표는 360도만큼 차이가 나겠지만, 물리적으로 동일한 위치이므로 동일한 상태(온도, 전위 등)을 갖기 때문에 같은 것으로 취급해야 한다는 뜻입니다. 예를 들어 (5,0,30도)라는 점이나 (5,0,360+30도)라는 점은 수학적으로 치역의 관점에서 다른 원소일 수 있지만 물리적으로 동일한 위치이면서 같은 상태를 가지니까 같은 것으로 취급을 하겠다는 것이죠. 고등학교 수학에서 각도의 일반적 표기법을 따를 때의 맥락과 사실상 동일합니다. 즉 방위각 좌표가 360도만큼 차이나더라도 같은 점, 같은 상태로 취급한다는 뜻입니다. 이를 '방위각 주기성(periodic function of azimuth)'이 있다고 말합니다.
2. 방위각 대칭성
그런데 전자기학 문제같은걸 풀 때 변수분리법을 쓰면 종종 '방위각 대칭성(Azmuthal symmetric)'이란 말이 등장하면서 변수분리를 할 때 방위각 항을 아예 적지 않고 $V=R(r)P(\theta)$ 라 적기도 합니다. 이건 방금 제가 설명한 방위각 주기성과 다른 것입니다. 방위각 대칭성이 있다는 말은 주어진 상태가 방위각과 무관(independent)하다는 뜻과 동일합니다. 1 그러면 방위각에 대해 주기성이 있다는 것과 대칭성이 있다는 것은 무슨 차이가 있는 것일까요? 방위각 대칭성은 쉽게 말해 3차원(변수 3개)를 2차원(변수 2개)로 간단히 보겠다는 의도에서 인위적으로 문제를 간단화시킨 것으로, 구를 임의의 방위각 $phi$ 만큼 돌렸을 때 돌리기 전과의 모양을 구분할 수 없는 상태를 뜻합니다.
이렇게만 말하고 싶지만 처음 접하시는 분들은 어리둥절 할겁니다. 2 예를 들자면 일반적으로 지구같은 경우는 방위각에 대해 무관하지 않습니다. 즉 여러분이 지구본을 앞에다 두고 그것을 임의의 각도 $\phi$ 만큼 돌렸을 때 보이는 수륙 분포는 다릅니다. 따라서 서울의 좌표와 서울과 동일한 위도의 임의의 지점의 좌표를 찍을 때 두 지점의 위치를 구분하기 위해서는 반드시 방위각 좌표가 필요합니다. 그러나 방위각에 대해 무관하다는 것은 마치 아무것도 그려지지 않은 백색 공을 돌리는 상황과도 같은데, 그 때는 공을 임의의 각도 $\phi$만큼 방위각을 돌려도 항상 보이는 상태가 완전히 똑같을 겁니다. 단색 공이나, 적도에 나란한 줄무늬가 일정한 간격으로 그려진 공을 떠올려도 좋습니다. 3 따라서 이는 3차원 라플라스 방정식 문제 중 방위각을 고려하지 않겠다는 것과 같은 의도이며 2차원으로 문제 난이도를 격하시켜 간단히 보겠다는 상황인 것입니다.
하지만 보통 라플라스 방정식을 변수분리법으로 풀 때는 이러한 간단한 상황만을 보는 것이 아니라 일반적인 상태를 보자는 것이고 그러려면 방위각 주기성 조건을 지키는 해를 적어주어야 합니다. 주기성 조건은 그러니 일종의 현실에 존재하는 구라면 일반적으로 지니고 있는 보편적 특성입니다. 지구상에서 서울의 위치를 (위도,경도)로 쓰면 약 (37,126)인데, 지구를 한 바퀴 돌려서 경도가 (37,126+360) 으로 쓰더라도 두 점은 모두 서울이라는 하나의 장소를 가리키기 때문이죠. 따라서 경도조건에 한해서는 동경 126도와 동경 126+360=486도는 같다는 뜻입니다. 이것이 주기성의 개념이므로 사실상 현실에 존재하는 모든 구는 주기성 조건을 만족해야 하며, 대칭성 조건은 그 중 위에서 언급한 단색의 꾸며지지 않은 구라던지 위도에 나란한 일정한 같은 색깔 줄무늬가 있는 경우 정도의 구들에만 적용할 수 있는 것이랍니다.
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