오늘은 편미분방정식에서 굉장히 중요한 것을 풀어보려 합니다. 물리 문제에 종종 등장하는 대표적인 편미분방정식인 라플라스 방정식이 그 대상인데, 이를 구면 좌표계에서 풀 것이고 변수분리법을 이용할 것입니다. 3차원 구면좌표계에서 변수분리법을 써서 라플라스 방정식을 풀게되면 구면조화함수(Sperical harmonics)와 연관 르장드르 다항식(Associated Legendre polynomial)을 얻습니다. 르장드르 다항식 같은 경우는 르장드르 함수 및 르장드르 방정식이 있고, 고유의 수많은 특징을 가지기 때문에 물리학에서 폭넓게 애용됩니다. 르장드르 다항식의 경우 모함수(generating funtion)이나 프로베니우스 방법을 이용하는 것이 정통적인 방법이라면, 오늘 등장하는 방법을 통해 얻게 되는 것은 응용적 측면이라고 할 수 있습니다. 즉 르장드르 함수가 편미분방정식을 구면좌표계에서 풀 때 등장하는 함수이므로 일전에 작업했었던 급수해 방법 등을 익혀 두어야 한다는 뜻입니다.
1. 3차원 구면좌표계에서 라플라스 방정식
1) 형태
3차원 라플라스 방정식을 구면좌표계에서 풀자. $r$은 위치벡터 성분, $\theta$ 는 극각, $\phi$ 는 방위각이다. 그 형태는 다음과 같다.
$$\nabla ^2 V=\nabla ^2 V (r,\theta, \phi)=0$$
이것의 해는
$$V(r,\theta,\phi)=\sum_{l}^{}\sum_{m}^{}\left( A_{lm}r^l+B_{lm}r^{-(l+1)} \right)\cdot P_l^m(\cos\theta)
\cdot e^{im\phi}$$
델 기호가 두번 작용한 상태를 라플라시안이라고 부릅니다. 구면좌표계에서 라플라시안 형태는 아래와 같고 이는 굳이 외울 필요까진 없다고 생각하나 매우 많이 반복하다가 저절로 외워지는 것이 바람직합니다. 각 좌표계마다 라플라시안은 미분적분학 수준에서 유도 가능하고 생략할 것이며, 자주 등장하기에 테이블을 만들어 두기는 했습니다. 아무튼 그 꼴은
$$\nabla ^2 V=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2\frac{\partial V}{\partial r} \right)
+\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial ^2V}{\partial \phi^2}=0$$
변수분리는 각 변수에 관한 함수의 곱들로 해가 구성된다는 것이니, $V=R(r)P(\theta)W(\phi)$ 라 놓습니다.1 그리고 양변에 $\displaystyle \frac{r^2\sin ^2\theta}{RPW}$ 을 곱하고 정리해줍시다.
$$\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d }{dr}\left( r^2 \frac{d R}{dr} \right)+\frac{\sin\theta}{P}\frac{d }{d\theta}
\left( \sin\theta \frac{dP}{d\theta} \right)+\frac{1}{W}\frac{d ^2W}{d\phi^2}=0$$
방위각 부분을 봅시다. 첫번째와 두번째 항에 방위각에 관한 식이 없고 우변이 0이므로, 분리상수(separation constant)를 도입하여 등식을 만들어야 합니다.
$$\frac{1}{W}\frac{d ^2W}{d\phi^2}\equiv -m^2 \;\;\;(m\in \mathbb{Z})\;\;\Rightarrow \;\; W(\phi)
=e^{\pm im\phi}\;\;\mathrm{or}\;\;\left\{ \begin{array}{cl}
\sin m\phi & \\
\cos m\phi &
\end{array} \right.$$
여기서 $m$이 정수여야 하는데 그 까닭은 구면좌표계에서 보고자 하는 도형이 구 모양의 방위각 주기성을 가지기 때문입니다. 방위각 주기성은 구라면 반드시 만족시켜야 하는 조건이며 대칭성과는 다른 것이고, 방위각 주기성과 대칭성의 자세한 뜻은 이곳에서 충분히 설명하고 있으니 그 까닭을 잘 숙지하고 오시기 바랍니다. 그러면 분리상수를 넣어 정리하면
$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{d R}{dr} \right)+\frac{1}{P\sin \theta}\frac{d }{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d P}{d\theta} \right)=\frac{m^2}{\sin^2\theta}$$
가 되고 분리상수를 한번 더 다음과 같이 만들면, $l$은 음이 아닌 정수(non-negative integer)가 됩니다.
$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{d R}{dr} \right)\equiv k\;\;\Rightarrow \;\;k=l(l+1)$$
우선 $k$라 두는 까닭은 $r$-part 와 $\theta$-part 로 구분하기 위함입니다. 그런데 왜 $l$이 음이 아닌 정수여야 할까요? 그 까닭은 단편적으로 해설하기가 난해한데, 우리가 곧 구하게 될 $P$는 르장드르 함수가 되고 르장드르 함수는 구간 $(-1,1)$에서 수렴하며 $x=\pm 1$에서 발산하는, 즉 $x=\pm 1$에서 정칙 특이점을 갖기 때문입니다. 그런데 $l(l+1)$ 로 둔 뒤 $l$이 음이 아닌 정수라는 조건을 추가하게 되면 급수해가 정칙 특이점에서 발산하지 않는 상태로 조절할 수 있습니다.
지금 이 개념을 이해하기 위해서는 르장드르 함수를 급수해로 이끌어내는 방법, 그리고 상미분방정식이 급수해를 가질 조건 등을 알고 있어야 합니다. 이들은 미분방정식이나 수리물리학이라는 과목에서 배울 수 있습니다. (그래서 변수분리법을 처음부터 공부하기는 쉽지 않습니다.) 그러나 만일 지금 당장 변수분리법을 공부해야 되고 저 둘을 익힐 시간이 부족하다면, 르장드르 다항식이 뭔지만 공부를 한 뒤 학습을 진행해도 괜찮습니다. 그러면 방정식은
$$\frac{1}{\sin \theta}\frac{d }{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d P}{d\theta} \right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta} P
+kP=0$$
여기서 $m=0$ 인 상황, 즉 방위각 파트의 해가 $W(\phi=1)$ 이 될 때 극각 파트의 해는 '르장드르 다항식(Legendre Polynomials)'이 됩니다. 왜냐하면 주어진 방정식이 르장드르 방정식이기 때문입니다.
$$P=P(\theta)=P_l(\cos\theta)$$
$m\neq 0$ 이면서 $m$이 정수일 때는 조금 더 일반적인 상황이라 볼 수 있고, 이 때 극각 파트의 해는 '버금/연관 르장드르 함수(Associated Legendre Fucntion)'2 가 됩니다. 이유는 위에서와 마찬가지로 이 방정식이 연관 르장드르 방정식이기 때문입니다.
$$P=P(\theta)=P_l^m(\cos\theta)$$
그런 다음, $r$-part 방정식
$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{dR}{dr} \right)=k=l(l+1)$$
가 남았네요. $r=e^z$ 로 치환을 한번 하면 $dr=e^zdz$ 이므로
$$\begin{align*}
R\cdot l(l+1)&=\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{dR}{dr} \right)=\frac{1}{e^z}\frac{d}{dz}\left(
e^{2z}\cdot \frac{1}{e^z}\cdot \frac{d R}{dz} \right)
\\\\&=\frac{1}{e^z}\frac{d }{dz}\left( \frac{dR}{dz} e^z \right)=\frac{1}{e^z}\left( e^z\frac{dR}{dz}+e^z
\frac{d^2R}{dz^2} \right)
\\\\&= \frac{dR}{dz}+\frac{d^2R}{dz^2}
\end{align*}$$
그러므로 $R=R(z)$ 에 관한 식을 얻습니다. 여기서 $r$의 power 가 $l$ 또는 $-(l+1)$ 인 경우로 나눌 수 있는데, 이는 문제에서 주어진 조건에 따라 달라지는 것으로 전자는 구의 내부에 해당하며 후자는 구의 외부에 해당하는 식입니다. 즉,
$$\frac{dR}{dz}+\frac{d^2R}{dz^2}-R\cdot l(l+1)=0\;\;\Rightarrow \;\; R(r)=
\left\{ \begin{array}{cl}
e^{lz}=r^l \\
e^{-(l+1)z}=r^{-(l+1)}
\end{array} \right.$$
변수분리의 세 부분을 모두 구했습니다. 종합해서 일반해를 쓰려면 선형결합을 해주어야 합니다.
$$V(r,\theta,\phi)=\sum_{l}^{}\sum_{m}^{}\left( A_{lm}r^l+B_{lm}r^{-(l+1)} \right)\cdot P_l^m(\cos\theta)
\cdot e^{im\phi}$$
- 왜왜 이렇게 해가 존재한다고 가정하는지, 즉 정말 해가 변수분리꼴로 만들어지는지에 대한 보장 없이 이렇게 가정을 하는 상황이 불편하게 느껴질 수 있습니다. 상미분방정식은 해의 존재성과 유일성이 보장되는 증명이 여럿 존재하지만, 편미분방정식에 대해서는 보편적인 존재성에 대한 정리가 획일적으로 정해진 것이 없습니다. (유일성은 증명되어있습니다.) 따라서 이것 저것 많은 방법을 시도하듯이 해를 구하는 여러 방법만이 알려져 있고, 변수분리법은 그 중 하나에 속합니다. 그러니 변수분리로 하였을 때의 해가 적절한 방법을 따랐을 때 구해진다면 그것 또한 해라고 인정할 수 있다는 뜻입니다. [본문으로]
- 영어 단어 'Associated'는 형용사로 '연관된/지지하는/연합의'라는 세가지 뜻이 있고 'Associate'는 동사, 형용사 두 개의 품사가 있는데 동사는 아니니, 형용사의 뜻은 '부(副), 준(準)' 에 해당합니다. 부회장의 부, 준동사의 준으로 첫번째에 미치지 못하는 아래의 것을 뜻하는 말이며 한국말로 '버금'이라고 합니다. 그런데 Oxford 영어사전을 보면 분명 'Associated' 와 'Associate' 은 다른 단어이고 여기서 우리는 전자의 단어를 쓰고 있습니다. 따라서 저는 '버금'이라는 번역이 잘못되었다고 생각합니다. '부교수'도 영어로 'Associate professor' 이지 'Associated professor'라고는 절대 (적어도 영미권에선) 안 힙니다. 그렇다면 Associated 의 세 뜻 중 무엇을 써야 할지 고민을 해본 결과 두번째 뜻은 아니고, 결국 '연관된' 또는 '연합의'라는 뜻이 가장 가깝다고 생각합니다. $m$이 0이 아닌 경우까지 다 고려를 하는 르장드르 함수라는 측면에서 그렇다는 것으로, 저는 앞으로 이를 '연관 르장드르 함수'라고 번역하거나 이조차도 선호하진 않기에 축약형인 'ALF' 정도로 적겠습니다. [본문으로]
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