중심력장에서의 궤도와 전환점 (Orbits and turning point in a Central force field)

중심력이 작용할 때 입자가 어떤 궤도를 그리며 운동할지에 관한 예측을 하는 것은 중심력장 이론에서 중요한 주제입니다. 천체들의 운동 궤도를 보면 보통 이차곡선에 해당하는 궤도를 그린다는 사실을 알 수 있는데, 이에 대한 분석을 위해선 유효 퍼텐셜까지를 다루어야 하고, 오늘은 그를 소개하기 전에 보다 특별한 궤도에 대해 간단히 설명하려고 합니다.

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1. 전환점(Turning point)

 

태양 주위를 공전하는 지구나 지구 주위를 도는 달처럼 끊임없이 정해진 궤도만을 도는 천체도 있지만, 어떤 천체는 방향을 크게 바꾸거나, 순간적으로 속도가 0이 되는 경우도 있습니다. 중심력장에서의 에너지 식

$$E=H=T+U=\frac{1}{2}\,\mu\left (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right )+U(r)$$

에 대하여 입자의 반지름 속도 $\dot{\mathbf{r}}$에 대해 정리하면

 

$$\dot{\mathbf{r}}=\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu}\left ( E-U \right )-\frac{l^2}{\mu^2r^2}}$$

 

반지름 방향의 속도가 0이 되는 지점을 찾아봅시다. 이 식이 0이 되는 지점이므로

 

$$E-U(r)-\frac{l^2}{2\mu r^2}=0$$

 

반지름 방향의 속도가 0이라는 건 원점에서 반지름을 그었을 때, 그 반지름에 수직한 방향(접선방향)으로의 속도만 갖는 지점을 말하니, 아래 [그림 1]과 같이 꽃잎 비스무레한 모양의 궤도에서 붉은색 원으로 표시한 부분에 입자가 위치할 때를 말합니다.

 

[그림 1] 닫힌궤도와 전환점

여기서  $\dot{\mathbf{r}}=0$ 인 지점은 '전환점(Turning point)'라고 하며 일반적으로 (실제 운동이 2차원 평면에선 2차방정식이니) $r_{\mathrm{min}}\,,\,r_{\mathrm{max}}$로 두 개가 존재하고, 입자의 운동이 $r_{\mathrm{min}}\leq r\leq r_{\mathrm{max}}$ 으로 구속되게 됩니다. 여기서 주의해야 할 것은 반지름의 크기가 늘었다 줄며 전환점을 그리는 궤도가 항상 타원은 아니라는 것입니다. 위에 [그림 1]처럼 존재할 수도 있다는 뜻이죠.

 

그런데 특별하게 이차방정식이 중근을 가져 근이 1개만 존재할 수도 있습니다. 이 때 전환점은 1개가 되므로 $r_{\mathrm{min}}=r=r_{\mathrm{max}}$ 즉 $r=(\mathrm{Constant})$ 인 경우가 발생할 수 있습니다. 이는 반지름의 크기가 일정한 채 각변위 $\theta$ 만 변하는 운동이니 '원운동(Circular motion)'입니다. 이렇게, 전환점을 가지는 궤도에 한하여 이차방정식의 근으로도 궤도의 모양을 어렴풋이 추측할 수는 있지만, 보다 구체적으로 이차곡선 궤도를 가지는 운동은 앞서 말한대로 차후에 다룰 '유효 퍼텐셜'의 개념을 도입해야 합니다.

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2. 닫힌 궤도(Closed orbit)

 

전환점을 설명할 때 닫힌 궤도라는 표현을 사용했는데, 이의 정확한 뜻은 다음과 같습니다.

 

입자의 운동이 $r_{\mathrm{min}}\leq r\leq r_{\mathrm{max}}$ 에서 유한번의 왕복 회전 이후에 시작점으로 되돌아오는 경우, 그 궤도는 '닫혀 있다(closed orbit)'고 한다. 반면 유한번의 왕복 운동 이후 시작점으로 되돌아오지 않는다면 그 궤도는 '열려 있다(open orbit)'고 한다.

 

궤도가 닫혀있는지에 대한 파악은 위와 같이 하면 되는데, 시작점으로 되돌아오는지 아닌지를 어떻게 계산할 수 있을까요? 바로 각도 변화량을 보는 것입니다. 반지름이 최소일 때부터 최대일 때까지 각도에 대한 적분을 했을 때, $2\pi$의 무리수가 아닌 유리수 배가 나오면 궤도가 닫혀 있다고 판단할 수 있음이 알려져 있습니다.

 

다음의 경우 중심력장의 궤도는 닫혀 있다.

$$\Delta\theta=2\displaystyle\int_{r_{\mathrm{min}}}^{r_{\mathrm{max}}}\frac{\left ( l/r^2 \right )}{ 
\sqrt{2\mu \displaystyle\left ( E-U-\frac{l^2}{2\mu r^2} \right )}}\,dr=2\pi\left ( \frac{a}{b} \right )\;\;\; 
\mathrm{where}\;\;\;a,b\in\mathbb{Z}$$

입자는 $b$주기 동안 $a$회 회전하여 초기 위치로 복귀한다.

 

먼저, 각도에 대한 적분을 한다고 했는데 $dr$이 존재하는 이유는 다음의 관계식을 이용했기 때문입니다.

 

$$d\theta=\frac{\dot{\theta}}{\dot{r}}dr=\frac{dr}{\dot{r}}\left ( \frac{l}{\mu r^2} \right )$$

 

왜 그 값이 $2\pi$의 유리수 배어야 할까? 의문을 쉽사리 해결하지 못할 수도 있습니다. 간단히 생각해보면, $r_{\mathrm{min}}\leq r\leq r_{\mathrm{max}}$ 에서 각도에 대한 적분을 수행했을 때 닫혀있다면 되돌아 온다는 거니까, 적어도 어쨌든 $2\pi$의 정수배로는 나올 것입니다. 그러나 유리수여도 되는 까닭은 그 정수배로 각도가 돌았을 때 걸린 시간이 궤도의 주기와 맞아 떨어지라는 법이 없기 때문입니다. 즉 어떤 입자가 제자리로 되돌아오는데 5초가 걸리고, 그 동안 5바퀴가 아니라 3바퀴밖에 돌지 않았을 수도 있죠. 어쨌든 위치적으로 봤을 땐 초기위치로 왔으니 닫힌 궤도지만, 주기와 횟수가 달라 적분 결과가 $2\pi$ 의 유리수 배이기만 하면 된다는 겁니다.

 

[참고 문헌]

Classical dynamics of particles and systems, 5e, Marion&Thornton