자유도와 일반화 좌표계 (Degrees of freedom and Generalized coordinates)

보통 역학에서 좌표계라고 하면은 직교좌표계(Cartesian coordinates), 구면좌표계(Spherical coordinates), 원통좌표계(Cylindrical coordinates) 를 떠올리지만, 라그랑주 역학에서는 좌표계를 임의로 설정하여 가장 간단한 형태의 오일러 방정식을 도출하는 것이 목표입니다. 게다가 물체의 배위(Configuration)을 나타낼 때 필요한 좌표가 단순히 $(x,y)$ 같은 위치 뿐만 아니라, 속도에 관한 항이 존재합니다. 이는 해밀턴 역학에서도 변수가 위치, 운동량인 것과 연결됩니다. 어떤 물체의 운동을 나타낼 때 변수가 $x,y$ 같은 위치 뿐만 아니라 속도 혹은 운동량까지 존재한다는 뜻입니다. 이번 시간에는 어처구니 없어 보이기도 하는 이 좌표계를 다루는 방법에 대해서 살펴보도록 하겠습니다.

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1. 자유도(Degrees of freedom)

​1) 정의

 

'자유도(Degrees of freedom)'는 어떤 물체의 운동(병진, 회전)을 완전히 설명하기 위해 필요한 변수의 최소 개수를 말한다. 이때 변수들은 서로 선형독립이어야 한다.

자유도는 구속조건(Constraints)이 m개 존재하는 경우 $m$ 만큼 감소한다.

 

어떤 개념인지 와닿지 않을 것이니 바로 예시를 들어보도록 하겠습니다.

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우주 공간상에서 어떤 물체가 존재하는 경우, 일반적으로 이 물체의 자유도는 6입니다. 우주가 3차원이기 때문에, $x,y,z$ 의 병진운동방향 3개가 존재하며 회전이 가능하므로 $xy,yz,zx$ 축을 각각 회전축으로 하여 3방향의 회전을 할 수 있습니다. 이렇게 6개의 좌표를 모두 나타내면, 우주상에서 이 물체의 운동을 제대로 기술할 수 있습니다.

 

3차원 상에서 병진운동과 회전운동을 모두 고려했을 때 한 물체의 자유도는 6이다.

 

평면에서의 물체의 운동을 떠올려 봅시다. 회전을 배제하면, $x,y$ 방향으로 움직일 수 있으니 자유도는 2라고 할 수 있습니다. 그런데 만약 평면에서 원운동을 한다고 구속조건(Constraint)를 걸어주면, 이에 해당하는 구속력(Contraitn force)는 구심력에 해당하게 되고 이제 물체는 평면 중의 원 궤도 상에서만 움직이니 자유도가 2-1=1로 감소합니다.

 

$$\mathrm{Constraints}\;:\; x^2+y^2=R^2\;\;\rightarrow \;\;g(x,y)=x^2+y^2-R^2=0$$

 

구속조건은 변분법에 관한 수학 내용을 소개하는 포스팅에서 여러번 설명한 바 있는데, 결국 $n$ 개의 독립적인 변수들이 있다면 $m$ 개의 구속조건이 있을 때 실질적으로 $n-m$ 개의 변수만을 남기는 결과를 야기합니다. 더 쉽게 말하자면 변수가 3개 있는데, 구속조건이 1개 있으면, 하나의 변수를 나머지 두 변수에 관한 식으로 바꿀 수 있으니 변수가 2개 남게 된다는 것입니다. 이때 바로 이 변수의 역할이 자유도에 해당하는 것입니다.

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변수들끼리 독립이어야 한다는 내용도 서두에 적어두었는데, 이것은 변수들이 어떤 공간의 기저(basis)가 되어야 한다는 것이기 때문에 선형독립이어야 한다는 사실에 해당합니다. 만약 평면에서의 운동을 직교좌표로 분석하는데 두 변수를 $x(1,0,0)$ 과 $y(-1,0,0)$ 으로 들고 오면 안되겠지요?

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또한 자유도는 물체의 개수가 증가하면 덩달아 커집니다. 3차원 공간에서 물체가 회전하기 않고 병진운동만 한다고 생각하면 한 물체당 자유도는 $3$ 입니다. 그런데 물체가 $N$ 개 존재한다고 한다면 $N$ 개가 각각 $3$ 개씩의 자유도를 가지기 때문에, 계의 총 자유도는 $3N$ 개라고 부릅니다. 여기에 추가적으로 구속조건이 $m$ 개 있으면 총 자유도는 $3N-m$ 개로, 이것이 3차원 공간에서 가장 보편적으로 짐작되는 자유도의 개수입니다.

 

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2. 일반화 좌표계

 

1) 정의

 

어떤 입자계의 배위(Configuration)를 구속조건에 관계없이 분명하게 명시하는데 필요한 서로 독립인 좌표들의 집합을 '일반화좌표(Generalized coordinate)'라고 한다. 문자는 보통 첨자 $j$ 를 동반하여 다음과 같이 적으면 된다. $$q_1,q_2,\cdots ,q_j$$
일반화좌표의 개수는 3차원에서 기본 자유도가 $3N$ 일 때, 구속조건이 $m$개 있는 경우 $s=3N-m$ 개 존재한다.

 

일반화 좌표계는 선형대수학의 기저 개념과 거의 동일합니다. 선형대수학에서 벡터공간 $V$ 를 구성하는 점들을 명확히 나타내는데 필요한 최소한의 원소를 기저(Basis)라고 합니다. 이들은 일차결합으로 공간의 모든 점을 나타내 '생성(span)'할 수 있어야 되고 서로 일차독립(Linear independent)이어야 할 조건을 갖춘 친구들을 말합니다.

 

어떤 공간에서의 물체의 운동을 제대로 기술한다는 것이 마치 벡터공간 $V$ 속의 임의의 점을 언제나 표현할 수 있는 기본재료의 역할을 하는 기저와 닮아보인다는 뜻입니다. 헌데 물체의 운동은 위치만 기술하는 것은 아니고 속도도 필요하기 때문에, 일반적으로 라그랑주 역학에서는 일반화좌표로 위치 및 속도를 사용합니다. 일반화 속도(Generalied velocity)는 일반화 좌표의 1차 시간 미분에 해당하니, $\dot{q_j}$ 라고 표기해 주면 됩니다.

 

 

2) 좌표를 나타내는 방정식

 

기존 직교방정식에서의 좌표와 일반화좌표의 연관성은 다음과 같이 나타냅니다. 자유도가 $s$ 인 계의 입자 좌표 $x_i$ 들을, 일반화좌표 $q$ 와 시간 $t$ 의 함수로 나타낼 수 있습니다.

 

$$x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}\left( q_1,\cdots ,q_s,t \right)=x_{\alpha,i}(q_j,t)$$

$$\dot{x}_{\alpha,i}=\dot{x}_{\alpha,i}(q_j,\dot{q_j},t)$$

 

여기서 $\alpha=1,2,\cdots, n$ 으로 총 $n$ 개의 입자가 존재한다는 뜻이고, $i=1,2,3$ 으로 보통 3차원을 다루며, $j=1,2,\cdots ,s$ 로 일반화좌표의 개수가 총 $s=3N-m$ 개 만큼 존재한다는 뜻입니다.

 

구속조건에 대해서는 다음 박스를 봅시다.

 

$$f_k\left( \dot{x}_{\alpha,i},t \right)=0\;\;\;(k=1,2,\cdots ,m)$$ 만일 구속조건이 일반화좌표와 시간에 의존하는 경우 '홀로노믹 구속(holonomic constraints)'라고 부른다. 홀로노믹 구속조건은 등호를 포함하며 적분 가능한 꼴이고, 반드시 시간에 관한 항이 있어야 하는 것은 아니지만 있어도 된다. 라그랑주 역학에서 오일러 방정식을 활용하기 위해서는 구속조건이 홀로노믹해야 한다.

 

 

 

[참고문헌]

Classical dynamics of particles and systems, 5e, Marion&Thornton