행렬식의 여러 성질들 (Various properties of determinant)

행렬식의 계산을 유용하기 위해 쓰이는 수많은 행렬식의 성질들이 있습니다. 이들은 전부 다는 아니더라도 중요한 성질 위주로 암기를 해 놓으면 좋습니다.

 

정리($L.A$) 3.4

행렬 $A,B,C\in M_n(F)$ 일 때, 행렬식에 대해 다음 성질들이 성립한다.

① 행렬 $A$ 가 영행을 가지면 $\mathrm{det}A=0$ 이다.
② 행렬 $A$ 의 두 행이 서로 같으면 $\mathrm{det}A=0$ 이다.

③ 행렬 $A$ 의 두 행을 교환해서 얻은 행렬을 $B$라 하면 $\mathrm{det}A=-\mathrm{det}B$ 이다.
④ 행렬 $A$의 한 행에 영이 아닌 스칼라 $k$를 곱해서 얻은 행렬을 $B$라 하면 $\mathrm{det}A=k\,\mathrm{det}B$ 이다.
⑤ 행렬 $A$의 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더하여 얻은 행렬을 $B$라 하면 $\mathrm{det}A=\mathrm{det}B$ 이다.

⑥ 행렬 $C$가 삼각행렬이면, 행렬식의 값은 모든 주대각성분들의 곱이다. 즉 $\mathrm{det}C=c_{11}c_{22}\cdots c_{nn}$ 이 성립한다.

⑦ 행렬 $A$의 랭크가 $n$보다 작으면, $\mathrm{det}A=0$ 이다.
⑧ 행렬 $A$가 가역일 필요충분조건은 $\mathrm{det}A\neq 0$ 인 것이다. 또한
$\mathrm{det}(A^{-1})=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{det}A}$ 가 성립한다.

⑨ 행렬 $A,B$에 대하여 $\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}A\cdot\mathrm{det}B$ 가 성립한다.
⑩ 행렬 $A$에 대하여 $\mathrm{det}(kA)=k^n\,\mathrm{det}(A)$ 이 성립한다.
⑪ 행렬 $A$와 그의 전치행렬의 행렬식의 값은 같다. 즉 $\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(A^T)$ 이다.

 

겁나 많네요. 오래 걸리겠으나 순차적으로 증명을 하기는 할 것입니다. 일단 좀 정리를 해야 하는데, 보기 좋게 하려고 위 박스에서 비슷한 성질을 가진 친구들끼리 칸을 띄어 분리해 놓았습니다.

먼저 ①,②는 보자마자 행렬식이 0이라는 단서를 주게 되는 정리로, 계산할 필요 없이 행렬식의 값이 0임을 알 수 있으니 꼭 챙겨야 하는 내용입니다.

 

③,④,⑤ 은 기본 행 연산(Elementraty row operation) 을 행렬식에 적용했을 때 행렬식의 값이 어떻게 바뀌는지 알려주는 정의입니다. 행을 교환하면 음수가 붙고, 한 행에 스칼라를 곱하면 행렬식에도 스칼라가 곱해지고, 스칼라 배를 해서 다른 행에 더하면 행렬식이 같음을 알려주고 있습니다. 기본 행 연산은 역행렬을 구하기 위해 어떤 행렬을 기약 행 사다리꼴로 간단화 하는 과정에서 사용한 도구였습니다. 여기서도 마찬가지로, 행렬식의 계산을 할 때 복잡한 행렬을 기본 행 연산을 통해 다른 형태의 행렬로 바꾸면 행렬식 계산이 편해지기 때문에 꽤 쓸모있는 정리들입니다.

⑥은 삼각행렬에 관한 행렬식 정리입니다. 주대각성분만 곱하면 된다니 계산이 아주 편해짐을 알 수 있습니다. 이는 대각행렬의 행렬식을 구하는데 도움이 되어 고유치 문제에서 다시 등장할 것이므로 꼭 외워둡시다.

 

⑦,⑧ 은 가역성과 관련된 행렬식의 정의입니다. 가역과 행렬식의 값이 0이 아님은 필요충분조건(iff) 관계입니다.

 

⑨,⑩,⑪ 의 경우 서로 연관성은 딱히 없으나, 중요한 정리입니다. 다른 정리의 증명이나 활용에 많이 쓰이니 외워야 합니다.