WKB 근사법은 Wentzel, Kramers, Brillouin 이 발견한 근사적 테크닉이기에 앞 글자를 따 그와 같이 부릅니다. 그런데 무엇을 근사한다는 것일까요?
섭동이론과 변분원리, WKB 근사법 모두 양자역학의 응용에 해당합니다. 응용이라는 것은 어쨌든 기본적 이론을 들고 완벽한 이론적인 상황보다 현실에 가까운 상태를 관찰하겠다는 것이죠. 실제 세계에는 섭동이 존재함을 섭동이론에서 다루었고, 그 때 섭동에 대한 정확한 해석이 까다롭기 때문에 급수 표현을 넣어서, 2차 섭동 에너지까지 값을 근사적으로 구한 바 있습니다.
변분원리는 파동함수의 형태를 감으로 때려넣어 성립하는지를 보는 방법입니다. 다시말해 파동함수를 척척 구하는 것이 아니고 그냥 어떠할 것 같다고 생각한 다음 대입을 하는 것이죠.
WKB 근사법도 슈뢰딩거 방정식을 풀기 곤란하지만 특정 상황일 때 위력을 발휘한다고 볼 수 있습니다. 그 상태는 바로 변화하는 퍼텐셜을 가리킵니다. 퍼텐셜이 중간에 아주 작게 섭동이 있는 경우는 섭동이론에서 다루었고, 여기서는 휘어진 선과 같이 퍼텐셜이 커졌다, 내려졌다가 반복하는 상황을 말합니다. (단, 이때 파동함수의 파장에 비해서 퍼텐셜의 변화 정도는 비교적 작아야 합니다.) 이것은 고전역학에서 속박상태와 비속박상태에 해당합니다.
1. 고전적인 영역(Classical region)
1) U자형 퍼텐셜에서 해를 찾기
유한 사각형 우물과 유사하게, 퍼텐셜이 U자 모양을 가지며 연속적으로 휘어져 있는 상황을 고려해 봅시다. 여기서 E=V(x)가 되는 두 지점은 '반환점(Turning points)'라고 합니다. 고전역학적으로 물체는 이 점을 넘어 E<V 인 지점까지 절대 도달하지 못하지만 양자역학에서는 가능하고 그것을 '양자 터널링'이라고 부릅니다. 즉 '반환점'이라는 말은 사실 고전역학적으로 정확한 표현이고 양자역학에선 반환할 수도 있고 하지 않을 수도 있습니다.1
우선 우리는 $E\geq V$ 인 상황을 다룰 것입니다. 이는 고전적으로도 입자가 놓일 수 있는 환경이기에 '고전적 영역(Classical region)'이라고 부릅니다. 고전적으로는 입자가 이 영역에 반드시 갇히게 됩니다.
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{p^2}{h^2}\psi=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$
여기서
$$p(x):=\sqrt{2m\left\{ E-V(x) \right\}}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$
라고 둔 것입니다. 이는 운동에너지를 $2m$으로 나눈 것이니 고전적으로도 운동량(linear momentum)에 해당합니다. 어떤 교과서들은
$$k(x)=\sqrt{\frac{2m\left\{ E-V(x) \right\}}{\hbar^2}}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(3)$$
를 대신 사용하기도 합니다.
파동함수의 꼴은
$$\psi(x)=A(x)e^{i\phi(x)}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(4)$$
와 같이 설정합니다. 진폭은 위치에 따라 변할 수 있기 때문에 $x$에 대한 의존도를 넣은 것이고, 원래 유한 사각형 우물의 파동함수는 $\displaystyle\psi(x)=A(x)e^{ik(x)x}$ 와 같이 쓰는데 $k(x)\cdot x=\phi(x)$ 로 치환해서 간단히 사용하는 것입니다. 왜냐하면 다음과 같은 미분을 해야 되기 때문이죠.
$$\frac{d \psi}{dx}=(A'+i\phi'A)e^{i\phi}$$
$$\begin{align*}
\frac{d ^2\psi}{dx^2}&=(A''+i\phi''A+i\phi'A')e^{i\phi}+(iA'\phi'+i\phi'A\cdot \phi'\cdot i)e^{i\phi}\\\\&=(A''+2iA'\phi'+iA\phi''-A(\phi')^2)e^{i\phi}
\end{align*}$$
이것을 $(1)$ 에 대입하면,
$$A''+2iA'\phi'+iA\phi''-A(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}A \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(5)$$
여기서 실수 부분과 허수 부분을 구분하여 연립방정식을 풀면 됩니다.
$$A''-A(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}A\;\;,\;\;A''=A\left\{ (\phi')^2-\frac{p^2}{\hbar^2} \right\}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(6) $$
$$2A'\phi'+A\phi''=0\;\;,\;\;(A^2\phi')'=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(7)$$
$(6)$ 를 풀면
$$A^2\phi'=C\;\;(\mathrm{constant}\;\;\Rightarrow\;\; A=\frac{C}{\sqrt{\left| \phi' \right|}}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(8)$$
$(5)$는 바로 풀 수가 없어서 근사를 사용할 것입니다. 어떤 근사냐하면 바로 $A''(x)\simeq 0$ 이라는 근사입니다. 파동함수의 진폭 $A$가 (퍼텐셜 변화에 비하여)굉장히 서서히 바뀐다고 가정한다는 것입니다. 그렇다면 진폭을 위치에 대해 두번이나 미분했을 땐 그 값이 0이 된다고 근사시키겠다는 것입니다. 이를 교과서에서는 $\displaystyle\frac{A''}{A}$ 가 $(\phi')^2$ 이나 $\displaystyle\frac{p^2}{\hbar^2}$ 에 비하여 천천히 변화한다고 서술하고 있습니다. 그렇게 된다면
$$(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}\;\;,\;\;\frac{d \phi}{dx}=\pm\frac{p}{\hbar}$$
이라고 볼 수 있어서, 다음과 같은 결론을 얻습니다.
$$\phi(x)=\pm\frac{1}{\hbar}\int p(x)dx+C' \;\;\;\;\;\mathrm{or}\;\;\;\;\;\phi(x)=\pm\frac{1}{\hbar}\int_{a}^{x}p(t)dt$$
좌측 식은 부정적분이고, 우측 식은 정적분입니다. 여기서 적분상수로 붙는 $C'$ 을 식 $(7)$ 에서 $A$에 포함되어 있는 상수 $C$에 포함시키고, $A$의 분모에서 발생하는 $\sqrt{\hbar}$ 까지 $C$에 포함시켜 주게 되면, 최종적인 해를 얻습니다.
$$\psi(x)\simeq\frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\displaystyle \pm\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(9)$$
그런데 파동함수 자체는 물리적 의미가 없으나 이를 제곱했을 때 그것은 확률을 의미해야 합니다.
$$\left| \psi(x) \right|^2=\psi^*(x)\psi(x)\simeq\frac{C^2}{p(x)}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(10)$$
이것은 위치 $x$에서 입자를 발견할 확률이, 그 지점에서의 운동량과는 반비례한다는 사실을 의미합니다. 직관적으로 보아도 적절한 뜻입니다. 입자가 아주 빠르게 이동할수록 그 위치에서 입자를 포획할 가능성이 낮아짐을 뜻하기 때문이죠.
그렇다면 곧 우리가 작성한 파동함수 $\psi(x)=A(x)e^{ i\phi(x)}$ 와, 근사 $A''\simeq 0$ 이 나름대로 적절히 받아들일만한 논리라는 것을 뜻합니다. WKB 근사법이 나름의 정당성을 확보한다는 뜻이죠.
최종적으로 정확한 해는 선형결합으로 작성합니다. 지수에 $\pm$ 이 붙어있기 때문이죠.
$$\psi(x)=\frac{C_1}{\sqrt{p(x)}}e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\int p(x)dx}+
\frac{C_2}{\sqrt{p(x)}}e^{\displaystyle -\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (11)$$
예제 1) 퍼텐셜 우물 안 사이에서 퍼텐셜 값이 (섭동이 아니라) 0이 아닌 채로 연속적으로 변화하고 있다고 하자. WKB 근사법을 사용해서 풀어보고 답을 채택할 수 있는지 점검해 보아라.
sol) 우물 안에서 $E>V(x)$ 라고 가정하면, 파동함수는 WKB 근사법에 의해
$$\psi(x)\simeq \frac{1}{\sqrt{p(x)}}\left\{ C_+e^{i\phi(x)}+C_-e^{-i\phi(x)} \right\}\simeq \frac{1}{\sqrt{p(x)}}
\left\{ C_1\sin\phi(x)+C_2\cos\phi(x) \right\}$$
그리고 $\phi(x)$ 가 무엇인지는 공식으로 외웠었죠. 되도록이면 정적분 꼴을 사용합니다. 아래 첨자는 보통 일반 상수를 쓰지만 여기서는 0이라고 잡아봅시다. 그러면
$$\phi(x)=\frac{1}{\hbar}\int_{b}^{x}p(t)dt \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \phi(0)=0$$
를 얻습니다. 이를 바탕으로 파동함수에 대한 경계조건을 사용할 것이고, 이는 $x=0$ 과 $x=a$ 에선 무한 퍼텐셜 장벽이 존재하니 파동함수가 0이 되어야 한다는 조건에 해당합니다.
$$\; i) \;x=0 \,:\, \psi(0)=0=\frac{1}{\sqrt{p(0)}}C_2\cos0=\frac{C_2}{\sqrt{p(0)}}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;C_2=0$$
$$\;ii) \;x=a \,: \,\psi(a)=0=\frac{1}{\sqrt{p(0)}}C_1\sin0\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \phi(a)=n\pi \;\;(n\in \mathbb{N})$$
따라서,
$$\phi(a)=\frac{1}{\hbar}\int_{0}^{a}p(t)dt=n\pi \;\;\;\Rightarrow \;\;\; \int_{0}^{a}p(t)dt=n\pi\hbar\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(12)$$
$\phi(a)$ 에 대한 값을 얻었습니다. 그런데 우리의 목적은 단순히 이 값을 구한다고 끝나는 것이 아니라, 이 WKB 근사법이라는 도구가 실제 답과 이어지는지를 점검하는 것이 목적입니다. 예를 들어서 우물의 바닥에서 퍼텐셜이 전부 0인 경우, $p(x)=\sqrt{2mE}$ 와 같이 운동량은 상수가 되기 때문에, 식 $(11)$ 에 의하여
$$\int_{0}^{a}\sqrt{2mE}\,dt=a\sqrt{2mE}=n\pi\hbar \;\;\; \Rightarrow \;\;\; E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
이는 무한 사각형 퍼텐셜 우물의 이론적인 답과 동일합니다. 나름대로 WKB 근사법이 먹혔다는 것을 알 수 있습니다. 단, $V(x)=0$ 인 상황에 들어맞는다고 해서 항상 WKB 근사법이 쓸모가 있는 것은 아니겠죠. 유용성을 검증하려면 여러 모양의 퍼텐셜에 대해서 문제를 풀어보아야 한다는 과제가 남는 것은 사실입니다.
예제 2) WKB 근사를 이용하여 반쪽만 높이 $V_0$ 인 문턱이 있는 무한 사각 우물에 대해 허용된 에너지를 구해보아라.
$$V(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
\;\;\;V_0 & \ \left( 0 < x < \displaystyle \frac{a}{2} \right) \\
\;\;\;0 & \ \left( \displaystyle \frac{a}{2}< x < a \right) \\
\;\;\;\infty & \ (\mathrm{otherwise})
\end{array} \right.$$
Sol) 예제 1)과 경계조건이 같아서 이들을 적용하면
$$n\pi\hbar=\int_{0}^{x}p(t)dt=\int_{0}^{x}\sqrt{2m\left\{ E-V(t) \right\}}\,dt$$
인데, 구간에 따라 퍼텐셜 값이 주어졌으니 이제 그를 대입하면 계산이 가능해집니다.
$$\begin{align*}
\int_{0}^{x}\sqrt{2m\left\{ E-V(t) \right\}}\,dt &=\int_{0}^{ \frac{a}{2}}\sqrt{2m\left( E-V_0 \right)}\,dt + \int_{ \frac{a}{2}}^{a}\sqrt{2mE}\,dt\\\\& =\frac{a}{2}\sqrt{2m\left( E-V_0 \right)} +
\frac{a}{2}\sqrt{2mE}
\end{align*}$$
$$4\left( \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \right)=4E_n=(2E_0-V)+2\sqrt{E(E-V_0)}$$
$$2\sqrt{E(E-V_0)}=4E_n-(2E_0-V_0)$$
$$16E_n^2-8E_n(2E-V_0)+4E^2-4EV_0+V_0^2=4(E^2-EV_0)$$
식을 정리하면 다음을 얻습니다.
$$\therefore \;\; E=E_n^2+\frac{V_0^2}{16E_n}+\frac{1}{2}V_0$$
2. 터널링(Tunneling)
1) 파동함수 고치기
지금까지는 $E>V$ 영역을 다루어 고전적인 영역을 살펴보았습니다. 양자역학에서는 $E<V$ 가 완전히 금지된 영역이 아님을 알고 계실 것입니다. 운동량에 관한 식 $(2)$ 를 살펴보면 $E<V$ 인 경우 근호 안이 허수가 된다는 것을 알 수 있습니다. 그러면 파동함수에서 달라지는 것이 무엇일까요? 식 $(5)$ 에서,
$$A''+2iA'\phi'+iA\phi''-A(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}A \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(5)$$
우변에 $p$가 있는데 어차피 $p^2$ 이 들어있는 바, 허수단위를 제곱해주면 결국 실수가 되어 $p^2\in \mathbb{R}$ 이 됩니다. 고로 이전과 같이 계산하되 처음 파동함수를 $\psi(x)=Ae^{\phi}$ 라고 두어 $\phi$ 는 $p$의 적분꼴인데 그 자체로 허수단위 $i$ 를 포함하고 있다고 볼 수 있습니다. 그러면 파동함수는 식 $(8)$ 과 비슷하지만 약간 다른
$$\psi(x)\simeq \frac{C}{\sqrt{\left| p(x) \right|}}e^{\pm \displaystyle \int\left| p(x) \right|dx}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(13)$$
와 같이 나타낼 수 있습니다.
2) 투과율 계산하기
그러면 그림과 같이 울퉁불퉁하지만 최댓값은 $E$ 보다 큰 퍼텐셜 장벽을 통과하는 파동함수의 모습을 떠올려 봅시다. $A$ 는 입사파의 진폭이고 $B$ 는 반사파의 진폭이며 $F$ 는 투과파의 진폭에 해당합니다. 장벽의 왼쪽 $x<0$ 에서,
$$\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\;\;\;\mathrm{where}\;\;\;k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$
와 같이 파동함수를 선형결합으로 나타내고, 장벽의 우측인 $x>a$ 에서는 우측으로 진행하는 투과파만 존재하니
$$\psi(x)=Fe^{ikx}$$
로 씁니다. 그러면 다음을 얻습니다.
'투과율(Transmission probability)'는 $T=\displaystyle \frac{\left| F \right|^2}{\left| A \right|^2}$ 로 정의되고, 그러면 터널링 영역인 $0\leq x \leq a$ 에서 WKB 근사법에 의한 파동함수는
$$\psi(x)\simeq
\frac{C}{\sqrt{\left| p(x) \right|}}e^{ \displaystyle \int_{0}^{x}\left| p(t) \right|dt}
+\frac{D}{\sqrt{\left| p(x) \right|}}e^{- \displaystyle \int_{0}^{x}\left| p(t) \right|dt} \;\;\;\;\; \cdots \;\;\;(14) $$ 로 나타낼 수 있다. 우변의 첫 항은 우측으로 진행하는 파를 나타낸 것이고 두번째 항은 좌측으로 진행하는 파를 나타낸 것이다.
즉 위 박스의 내용은 터널링 지역인 퍼텐셜 장벽 내에서 WKB 근사법에 의하면 파동함수를 앞과 뒤로 진행하는 성분의 선형결합으로 쓸 수 있다는 것입니다.
3. 두 영역 연결하기
1) 선형 퍼텐셜로 두 파동함수를 접착시키자.
WKB 근사법의 문제는 고전적 영역과 비고전적 영역의 경계 지역에서 발생합니다. 두 지역에서 각각 WKB 근사법에 의한 파동함수 식은
$$\psi_{WKB}=\psi(x)\simeq \left\{ \begin{array}{cl}
\;\;\;\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p(x)}}\left( Be^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\int_{x}^{0}p(t)dt}
+Ce^{- \displaystyle \frac{i}{\hbar}\int_{x}^{0}p(t)dt}
\right) & \;\;\;(\ x < 0) \\
\;\;\;\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \left(De^{- \displaystyle \frac{1}{\hbar}\int_{0}^{x}p(t)dt} \right)
& \;\;\; \ (x >0)
\end{array} \;\;\;\;\; \cdots \;\;\; (15) \right.$$
입니다. 그런데 문제는 경계지점인 $x=0$ 에서 $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x)}$ 이므로 WKB 근사법으로 만든 두 해는 괄호 앞의 분모에 달린 $\sqrt{p(x)}$ 때문에 영이 되니, 발산해버리는 문제가 생깁니다. 그래서 반환점(tunning point) $x=0$ 을 가로지르는 연결 파동함수를 제작해야 합니다. 이를 위해 아래 그림과 같이 선형 퍼텐셜을 $x=0$ 근방에 만듭니다.
선형 퍼텐셜은
$$V(x) \simeq E+V'(0)x \;\;\;\;\; \cdots \;\;\;(16)$$
와 같이 세웁니다. 접착(patching) 지점에서 파동함수를 $\psi_p$ 라 쓰고, 슈뢰딩거 방정식을 풀어봅니다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi_p}{dx^2}+\left\{ E+V'(0)x \right\}\psi_p=E\psi_p $$
$$\frac{d^2 \psi_p}{dx^2} + \left\{ \frac{2m}{\hbar}V'(0) \right\}\,x\psi_p=
\frac{d^2 \psi_p}{dx^2} + \left\{ \frac{2m}{\hbar}V'(0) \right\}^{\displaystyle \frac{1}{3}\times 3}\,x\psi_p :=
\frac{d^2 \psi_p}{dx^2}\alpha^3x\psi_p$$
이때 알파는
$$\alpha :=\left\{ \frac{2m}{\hbar}V'(0) \right\}^{\displaystyle \frac{1}{3}} \;\;\;\;\; \cdots \;\;\;(17)$$
으로 정의됩니다. 이 미분방정식을 풀기 위해 $z:=\alpha x$ 로 정의하여 독립변수에 흡수시키면, 미분방정식은
'에어리 미분방정식(Airy equation)'은
$$\frac{d^2\psi_p}{dx^2}=z\psi_p \;\;\;\;\; \cdots \;\;\;(18)$$ 과 같고, 해는 '에어리 함수(Airy function)'라고 한다. 각각 1종, 2종2 에어리 함수는
$$\left\{ \begin{array}{cl}
\mathrm{Ai}(z)=\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \cos\left( \frac{t^3}{3}+tz \right)dt &
\;\;\; \ (x \geq 0) \\
\;\;\;\mathrm{Bi}(z)=\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \left\{
e^{\left( -\displaystyle \frac{t^3}{3}+tx \right)}\sin\left( \frac{t^3}{3}+tz \right) \right\}\,dt
&\;\;\; \ (x < 0)
\end{array} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(18) \right.$$
이것은 '에어리 미분방정식(Airy equation)'이고 해는 '에어리 함수(Airy function)' 입니다. 에어리 미분방정식은 한 끗 차이로 포스팅 할까 말까 예전에 엄청 고민했었는데... 베셀방정식 정도를 풀 줄 안다면 이 방정식은 사실 푸는 것이 쉽습니다. 다만 급수해 방법이 아니고 이 함수를 지수함수와 삼각함수로 나타내는 것은 조금 머리를 굴려야 하는데 수리물리를 하고 있지는 않으니 결과만을 적겠습니다. 이 방정식의 해인 $z$와 구하고자 하는 $\psi_p$ 는 상수배 차이이므로 파동함수는 두 에어리 함수의 선형결합으로 쓸 수가 있는데,
$$\psi_p=C_1\mathrm{Ai}(z)+C_2\mathrm{Bi}(z) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (19)$$
2) 계수 관계 찾기
그러면 $\psi_p$ 의 형태(기저)는 세워졌고, 남은 일은 두 영역에서 파동함수를 이을 수 있도록 상수 관계를 결정하는 것입니다.
겹치는 지역(Overlap zone)는 왼쪽과 오른쪽에 두 개 존재하고, 우리가 식 $(15)$ 에서 만든 두 함수에 해당합니다. 그리고 중간의 $\psi_p$ 는 에어리 함수의 선형결합으로 선형 퍼텐셜로 근사시켜 만들어낸 파동함수입니다. 오버랩 지역과 가운데 빈 지역을 합쳐서 붙이는 영역(Patching region)이라고 합니다.
두 오버랩 영역에서 식 $(16)$ 이 성립하므로, 운동량을 계산해보면
$$\begin{align*}
p(x)\simeq \sqrt{2m\left\{ E-V(x) \right\}}&=\sqrt{2m\left\{E-E-V'(0)x \right\}}
=\sqrt{2m\left\{ -V'(0)x \right\}}\\\\&= \sqrt{-2mx\hbar^2\frac{1}{2m}\alpha^3}=\hbar\alpha^{\frac{3}{2}}\sqrt{-x}
\end{align*}$$
① 오버랩 영역 2에서는,
$$\int_{0}^{x}p(t)dt\simeq \hbar\alpha^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{x}\sqrt{t}\,dt=\frac{2}{3}\hbar\left( \alpha x \right)^{\frac{3}{2}}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(20)$$
이 되어, WKB 파동함수는 식 $(15)$ 의 $x>0$ 영역의 경우
$$\psi_{WKB}=\psi(x)\simeq \displaystyle \frac{D}{\sqrt{\hbar}\alpha^{\frac{4}{3}}x^{\frac{1}{4}}}\cdot e^{
-\displaystyle \frac{2}{3}\left( \alpha x \right)^{\frac{3}{2}}} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(21)$$
한편, $z$가 클 때 에어리 함수의 점근적 행동(Asymptotic behaivor) 에 의하면3 오버랩 지역 2에서 $\psi_p$ 는
$$\begin{align*}
\psi_p(x)&=C_1\mathrm{Ai}(\alpha x)+C_2\mathrm{Bi}(\alpha x)\\\\&\simeq \frac{C_1}{2\sqrt{\pi}\left( \alpha x \right)^{\frac{1}{4}}}\cdot e^{-\displaystyle \frac{2}{3}\left( \alpha x \right)^{\frac{3}{2}}}
+\frac{C_2}{\sqrt{\pi}\left( \alpha x \right)^{\frac{1}{4}}}\cdot e^{\displaystyle \frac{2}{3}\left( \alpha x \right)^{\frac{3}{2}}}
\end{align*} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(22)$$
이것을 WKB 근사법에서의 $x>0$ 인 해 $(21)$ 과 비교해 볼 경우 $C_1, C_2$ 와 $D$ 의 관계가 나오겠지요? 그것은
$$C_1=\sqrt{\frac{4\pi}{\alpha x}}\cdot D\;\;\;,\;\;\;C_2=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(23)$$
입니다.
② 오버랩 영역 1에서는, $p(x)\simeq \hbar \alpha^{\displaystyle\frac{3}{2}\sqrt{-x}} >0$ 가 됩니다. 왜냐하면 $x<0$ 이기 때문이죠. 그래서
$$\int_{x}^{0}p(t)dt\simeq \frac{2}{3}\hbar \left( -\alpha x \right)^{\frac{3}{2}} >0$$
으로 계산이 되고, 식 $(15)$ 에 의해 WKB 근사 파동함수의 경우
$$\psi_{WKB}=\psi(x)\simeq
\displaystyle \frac{D}{\sqrt{\hbar}\alpha^{\frac{3}{4}}x^{-\frac{1}{4}}}\cdot
\left\{ Be^{+\displaystyle \frac{2i}{3}\left( -\alpha x \right)^{\frac{3}{2}}}+
Ce^{-\displaystyle \frac{2i}{3}\left( -\alpha x \right)^{\frac{3}{2}}} \right\}
\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(24)$$
한편, 마찬가지로 에어리 함수의 점근식을 사용하는데 이번에는 $z$가 음수이면서 절댓값이 큰 경우(매우 작은 경우)의 식을 확인하는 것이 필요합니다. 그런데 오버랩 영역 2에서 이미 $C_2=0$ 을 확인했습니다. 우리는 $x<0$ 과 $x>0$ 에 모두 들어맞는 하나의 $\psi_p$ 를 찾는 중이니 $C_2=0$ 인 것이 오버랩 영역 1에서도 적용되어야 하는 것입니다.
$$ \begin{align*} \psi_p &\simeq
\displaystyle \frac{C_1}{\sqrt{\pi}(-\alpha x)^{\frac{1}{4}}}\cdot
\left\{ \sin\frac{2}{3}\left( -\alpha x\right)^{\frac{3}{2}} +\frac{\pi }{4}\right\}\\\\&=
\displaystyle \frac{C_1}{\sqrt{\pi}(-\alpha x)^{\frac{1}{4}}}\cdot\frac{1}{2i}
\left\{ e^{\displaystyle \frac{i\pi}{4}}\cdot e^{\displaystyle \frac{2i\left( -\alpha x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}}-e^{\displaystyle \frac{-i\pi}{4}}\cdot e^{\displaystyle \frac{-2i\left( -\alpha x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}}
\right\}
\end{align*}$$
오버랩 영역 2에서 하였던 것처럼, WKB 근사법 파동함수와 $\psi_p$ 를 비교하여 계수 관계를 찾습니다. 간단한 계산이니 생략하고 결과적으로 정리를 해보면
WKB 근사법에서 얻은 파동함수 $\psi_{WKB}$ 와 선형 퍼텐셜 근사로부터 얻은 파동함수 $\psi_p$ 를 연결하여 계수를 찾으면 다음과 같다.
$$B=-iDe^{\displaystyle\frac{i\pi}{4} }\;\;\;,\;\;\; C=iDe^{-\displaystyle\frac{i\pi}{4} } \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(25)$$ 이것을 '연결 공식(connection formular)'라고 부르며, 반환점(tunning poitn) 양쪽에서 모두 성립하는 식이다. $B,C$ 를 $D$에 관한 식으로 모두 고친 다음 반환점을 $x=0$ 으로 두었으나, 일반적인 점 $x=k$ 로 옮겨서 정리되는 식은 다음과 같다.
$$\psi_{WKB}=\psi_p=\psi(x)\simeq \left\{ \begin{array}{cl}
\;\;\;\displaystyle \frac{2D}{\sqrt{p(x)}}\cdot \sin\left( \frac{1}{\hbar}
\int_{x}^{k}p(t)dt+\frac{\pi}{4} \right)
& \;\;\;(\ x < k) \\
\;\;\;\displaystyle \frac{D}{\sqrt{\left| p(x) \right|}}\cdot e^{- \displaystyle \frac{1}{\hbar}\int_{k}^{x}\left| p(t) \right|dt}
& \;\;\; \ (x >k)
\end{array} \;\;\;\;\; \cdots \;\;\; (26) \right.$$
사실 결국 마지막 식인 $(26)$ 만 외워서 문제를 풀 수 있기는 합니다. 원리를 이해하지 않으면 괴롭겠지만요.
[참고문헌]
Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e
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