고전 산란 이론(Classical scattering)

산란은 물리학 실험에서 단골 소재입니다. 두 입자의 충돌이 발생하면, 단순히 멀어지기도 하고 융합되거나 분열될 수도 있기는 하지만 많은 경우 하나의 입자가 상대적으로 덜 움직이고, 나머지 하나의 입자가 충돌 후 산란되어 비스듬하게 지나가는 경우가 많습니다. 아주 대표적인 산란 실험으로는 러더퍼드의 알파 입자의 산란 실험이 있지요.

 

산란을 물리학적으로 기술할 때는 몇가지 물리량을 잘 알고 있어야 합니다. 고전적으로 산란 이론은 난해한 점이 몇가지 있습니다만 기본적인 산란 구조 그림과 물리량에 대한 지식을 갖추고 있으면 잊을 법 할 때 종종 등장합니다. 이를 살펴보도록 하겠습니다.

---

1. 고전 산란 이론

 

1) 용어와 개념

 

고전 산란 이론이라는 이름을 붙인 까닭은 양자역학에서의 산란과 비교해야 하기 때문입니다. 기본적으로 두 개의 입자가 충돌해서 하나가 튕겨져 비스듬히 꺾인 채 진행하는 것을 떠올리면 됩니다.

 

[그림 1] 산란의 모식도

 

 

어떤 산란 중심에 입자가 입사하는 상황을 고려해 봅시다. 입자는 에너지 $E$ 를 가지고, 산란 중심에서 $b$ 만큼 떨어진 지점에서 직진하다 산란 이후 산란각 $\theta$ 만큼 휘어져 진행하게 됩니다. 여기서 $b$ 는 '충돌 매개변수(impact parameter)' 이라 부릅니다. 고전 산란 이론에서는 $b$ 가 주어질 때 산란각 $\theta$ 를 구하는 것이 목적입니다.

 

[그림 2] 산란의 구체적인 모식도. 구면 좌표계 기준이다.

 

 

산란 실험을 할 때는 아래 그림이 적극적으로 소개됩니다. 이는 입사하는 면적 $d\sigma$ 을 통과하는 입자가 대하여 산란되어 입체각 $d\Omega$ 에 대응되는 면적을 지나간다고 가정하는 것입니다. 당연히 입사 면적이 클수록 입체각도 커지게 될 것입니다. 따라서 다음 물리량을 정의합니다.

 

입자가 산란각 $\theta$ 로 산란되었을 때, 입사 산란 면적과 입체각의 비율 관계를 '미분 산란 단면적(Differential scattering cross section)'이라고 정의한다. 
$$D(\theta):=\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}\left| \frac{db}{d\theta} \right|$$

 

물론 $D$ 값은 사실 미분을 직접 해서 구하는 양은 아니고, 위의 박스에서 설명한 것처럼 두 미분소 값의 비율이라고 생각해야 합니다. 그리고 두번째 등호 오른쪽의 식은 정의로부터 유도되는 것인데, 구면좌표계에서는 $bdbd\phi$ 이며 입체각의 정의는 $d\Omega = \sin\theta d\theta d\phi$ 라는 점을 이용하면 이끌어 낼 수 있습니다. 전형적으로 $\displaystyle \frac{db}{d\theta}$ 값은 음수이기 때문에, 절댓값을 취해서 $D$ 값을 양수로 만들고는 합니다.

 

사실 고전역학 책을 보면 이 관계를 광도와 같은 물리량을 도입해서 조금 더 구체적으로 유도하기도 하는데, 위와 같이 간단히 분석하는 것도 가능합니다.

 

그 후에는 산란된 전체 면적을 고려해야 할 것입니다.

 

'총 산란 단면적(total corss section)'은 다음과 같이 적분으로 정의한다.
$$\sigma :=\int_{}^{} \;D(\theta)\,d\Omega$$

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e