양자 산란에서 부분파 방법(Partial wave analysis)

산란 진폭을 계산하는 방법은 전통적으로 두 가지가 있습니다. 그 중에 첫번째 방법인 부분파 분석에 대해 살펴볼 것입니다.

 

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1. 부분파 분석

 

1) 도입

 

항상 어떤 개념을 시작할 때 그것이 가지는 의미나 목적을 우선적으로 생각해 볼 필요가 있습니다. 부분파 분석은 평면파의 진행 방향을 $\hat{z}$ 라고 잡았을 때, 파수벡터가 그것과 나란한 경우 큰 $r$ 값에 대해 평면파를 $r=0$ 중심으로 들어오는 구면파와 나가는 구면파의 형태로 나타내는 방법입니다. 말을 들어봐도 쉽지가 않지요.

 

이는 일종의 근사라고 할 수 있습니다. 원래는 평면파를 퍼텐셜에 넣으면 그냥 평면대로 진행하는 것도 있을 것이고, 구면파로 꺾여서 산란하는 것도 있을 터인데 그냥 구면파 두개로 퉁쳐서 계산하겠다는 것입니다.

 

물론 이러한 방법이 무조건 먹힌다고 우길 수는 없겠지요. 근사라는 것은 언제나 수학적인 기술을 사용해서 성립한다는 것을 보일 수 있습니다. 그래서 부분파 분석에서는 수많은 계산의 공격을 견뎌내야 할 필요가 있습니다. 천천히 하나 하나 계산해 나갈 것입니다.

 

 

2) 구면 대칭 퍼텐셜과 영역의 분리

 

구면 대칭 퍼텐셜 $V(r)$ 이 주어져 있다고 하였을 때, 슈뢰딩거 방정식의 해는 변수분리법을 사용하여 $r$ 방향과 구면조화함수(Spherical harmonics)로 쪼갤 수가 있습니다.

 

$$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_l^m(\theta,\phi)$$

 

$u(r):=rR(r)$ 로 정의하면, 지름 부분 방정식은

 

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2}+\left\{ V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2} \right\}\,u=Eu\;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (1)$$

 

이 되고, 이 $(1)$ 에서 중괄호 안의 항은 '유효 퍼텐셜(Effective potential)'이라 부르고 그 안에서 두번째 항은 '원심력 항(Centrifugal term)' 이라고 부르지요.

 

[그림 1] 세 영역

 

지금부터 영역을 분리해서 경우의 수를 나누어 방정식을 풀 것입니다. 영역이 나뉘는 이유는 $r$ 값의 범위에 따라 슈뢰딩거 방정식 $(1)$ 의 꼴이 달라지기 때문에 해의 모양도 달라지기 때문입니다.

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① $r$ 값이 굉장히 큰 영역 : 정확히는 $kr>>1$ 인 지역을 말합니다. 이때는 퍼텐셜의 영향을 받지 않는 퍼텐셜의 원천에서 굉장히 먼 지점이므로 $V(r)\rightarrow 0$ 이 되어 유효 퍼텐셜 항이 전부 사라집니다. $k$가 파수일 때, 이 방정식은

 

$$\frac{d ^2u}{dr^2}\simeq -k^2u \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (2)$$

 

가 되고 이것의 해는 허수단위를 지수에 둔 지수함수의 선형결합인데,

 

$$u(r)=Ce^{ikr}+De^{-ikr}=Ce^{ikr} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(3)$$

 

으로 $D=0$ 으로 두도록 합니다. 왜냐하면 $e^{-ikr}$ 는 들어오는(incoming) 파이고 산란 이론에서는 산란되어 나가는 파(outgoing)를 관찰하는 것이기 때문입니다. 그러면 최종적으로 해는

 

① 복사 영역(Radiation zone)^[각주:1] : $kr>>1$ 범위에서, 지름 방정식의 해는 다음과 같다.
$$R(r)=C\cdot\frac{e^{ikr}}{r}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(4)$$

 

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② 중간 지역(intermidiate zone)

 

[그림 1]에서 가장 가운데 지역은 산란 지역으로 불리는데, 여기선 유효 퍼텐셜 중 두 항 모두가 0이 아닌 경우고, 중간 지역은 산란 지역과 복사 지역을 연결하는 지점입니다. 여기서는 유효 퍼텐셜 항 중에서 $V(r)$ 만 무시하고 원심력 항이 살아있는 경우입니다. 다시 말해 퍼텐셜의 두 항 중 원심력 항과 $V$ 항이 0으로 가는 속도가 다른 상황을 일반적으로 고려하겠다는 것입니다.

 

그런데 원심력 항이 $V(r)$ 에 비해 0으로 가는 속도가 느리다고 장담할 수 있을까요? 당연히 꼭 그렇다는 것은 아니고, 주어진 퍼텐셜이 그러한 경우가 많기 때문에 이와 같은 가정을 하는 것입니다.^[각주:2] 그러면 지름 방정식은

 

$$\frac{d^2u}{dr^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}\cdot u=-k^2u \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(5)$$

 

이것은 '구면 베셀 방정식'입니다. 이 포스팅을 아직 하지 못해서, 간단하게 푸는 방법을 소개하겠습니다. 참고로 이것을 이해하려면 베셀 방정식까지는 알아야 합니다.

 

구면 베셀 방정식(Spherical Bessel equation)은

$$\frac{d }{dr}\left( r^2\frac{d R}{dr} \right)+k^2r^2R(r)-l(l+1)R(r)=0$$ $$\frac{1}{r}\frac{d }{dr}\left( r^2\frac{d R}{dr} \right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\cdot rR(r)=-k^2rR(r)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(6)$$^[각주:3]
이다. 이 식은 $(5)$와 동일하다. $(6)$ 에서 우변이 0인 경우, 베셀 방정식이 되어 해는 베셀 함수가 되니 기저로 $r^l$ 과 $\displaystyle \frac{1}{r^{l+1}}$ 이 등장한다. 하지만 여기서 우변이 $(6)$ 과 같은 경우이면
$$R(r)=\frac{1}{\sqrt{r}}Z(r)$$ 로 치환한 다음, 베셀 방정식과 비교해보면 $J_m(kr)=J_m(x)$ 에서 $m$ 대신 $l+\displaystyle\frac{1}{2}$ 로 달라지는 것만 차이가 난다. 이 방정식의 해를 '구면 베셀 함수(Spherical Bessel function)'이라고 부르며 $j_l(kr)=j_l(x)$ 로 쓴다.

그런데 구면 베셀 함수는 기저 1개일 뿐이라, 최종적인 해는 나머지 1개의 기저로 '구면 뉴이만 함수(Spherical Neumann function)'를 삼아 규격화 및 선형결합을 통해 쓰면
$$u(r)=A\cdot rj_l(kr)+B\cdot rn_l(kr)$$ 이 된다. 여기서 두 함수는
$$j_l(kr)=j_l(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{l+\frac{1}{2}}(x )$$ $$n_l(kr)=n_l(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}N_{l+\frac{1}{2}}(x ) $$ 에 해당한다. $N$ 은 뉴이만 함수(제 2종 베셀 함수)이고 $J$는 베셀 함수이다.

 

그런데 구면 베셀 함수나 구면 뉴이만 함수는 모두 각각 하나만으로는 나가는 파(outgoing wave)를 의미하지 못합니다. 왜냐하면 구면파든 평면파든 파동을 만들려면 허수단위를 지수에 포함한 지수함수가 필요합니다. 오일러 공식을 쓰면 이것은 다시 말해 코사인과 $i$ 사인의 선형결합 꼴이 되어야 한다는 것입니다. 그런데 구면 베셀 함수는 근사하는 경우(Asymptotic behaivor) 사인 함수처럼 행동하고, 구면 뉴이만 함수는 코사인 함수처럼 행동합니다. 그래서 파동 꼴을 만드려면 해를 구면 베셀 함수와 구면 뉴이만 함수의 선형결합인 함수를 사용해야 합니다. 이것은 다음과 같습니다. ^[각주:4]

 

파동을 나타내는 지수함수 형태($\displaystyle e^{\pm ikr}$)의 함수를 만들기 위해서는 구면 베셀 함수와 구면 뉴이만 함수의 선형결합을 이용해야 한다. 이는 '구면 한켈 함수(Spherical Hankel function)'이라고 부르며 다음과 같이 정의되는 함수이다.

① 제 1종 구면 한켈 함수 : $h^{(1)}_l(x):=j_l(x)+in_l(x)$
② 제 2종 구면 한켈 함수 : $h^{(1)}_l(x):=j_l(x)-in_l(x)$

두 함수는 켤레(conjugate) 관계이다. 여기서 $x=kr$ 에 해당하고, 만일 큰 $r$ 값, 대략 $x=kr\simeq 1$ 인 복사와 중간 경계 영역에서 두 함수는 다음과 같이 점근적으로 행동한다(asymptotic behavior) :
$$h^{(1)}_l(x)\;\;\rightarrow\;\; \frac{1}{x}\left( -i \right)^{l+1}e^{ix}\\\\ h^{(2)}_l(x)\;\;\rightarrow\;\; \frac{1}{x}\left( +i \right)^{l+1}e^{-ix}$$

 

[그림 2] 몇가지 구면 한켈 함수(Spherical Hankel function)

 

구면 한켈 함수는 두 종류가 있지만, 우리는 산란되고 들어오는 파가 아닌 나가는 파(Outgoint)를 기술하기를 원합니다. 따라서 지수함수의 지수가 양수인 경우를 택하면, 제 1종 구면 한켈 함수가 되고 마치 $\displaystyle \frac{e^{\displaystyle ikr}}{r}$ 형태로 이동하기에, 우리가 원하는 꼴이 됩니다. 그러므로,

 

② 중간 지역(Intermidiate zone) : $r$ 값이 적당히 커서, $V\simeq 0$ 인 경우 지름 방정식의 해는
$$R(r)\sim h^{(1)}_l(kr)$$ 형태로 쓰면 된다.^[각주:5]

 

이를 참고하여 파동함수 식을 쓰면,

 

$$\psi(r,\theta,\phi)=A\left\{ e^{ikz}+\sum_{l,m}^{} C_{l,m}h^{(1)}_l(kr)Y^l_m\left( \theta,\phi \right) \right\} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (7)$$

 

이 됩니다. 그런데 퍼텐셜이 구대칭을 이룬다고 가정했기 때문에, 파동함수는 방위각 대칭성을 가집니다. 그러므로 $\phi$  에 대한 의존성이 사라져서 구면 조화 함수는

 

$$Y^0_l(\theta)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}\cdot P_l(\cos\theta) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (8)$$

으로 쓰면 되고, 여기서 상수 $C_{l,m}$ 은 ^[각주:6] 그 형태는

 

$$C_{l,0}=i^{l+1}k\sqrt{4\pi(2l+1)}\cdot f_l(\theta) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (9)$$

 

와 같이 나옵니다. $(9)$ 와 $(8)$ 을 $(7)$ 에 넣어 해를 완성시켜 써봅시다.

 

중간지역(Intermidiate zone) 에서 파동함수의 해는 다음과 같다. (방위각에 대한 의존성이 없다)
$$\psi(r,\theta)=A\left\{ e^{ikz}+k\sum_{l=0}^{\infty}i^{l+1}(2l+1)\cdot f_l(\theta)\cdot h^{(1)}_l(kr)\cdot P_l(\cos\theta) \right\} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (10)$$
여기서 $f_l(\theta)$ 를 '$l$ 번째 부분파 진폭($l$ th partial wave amplitude)'라고 부른다.

 

 

3) 마지막으로 산란 지역, 그런데..

 

그런데 영역을 굳이 나누어서 한번씩 풀어 재끼는 이유가 무엇일까요? 부분파 분석의 의의를 다시 생각해 봅시다. 그 까닭은 퍼텐셜이 주어졌을 때 슈뢰딩거 방정식을 완전히 수학적으로 풀어서 파동함수 해를 얻기가 어렵기 때문입니다. 그렇기 때문에 부분파 방법이라는 근사를 사용하고 있는 것이지요. 그래서 중간 지역과 복사 지역에 해당하는 산란의 바깥쪽 영역에서의 해를 찾아 보아았던 것이고, 거기서 부분파 진폭 $f_l(\theta)$ 를 미지수로 아직 결정하지 못했음을 얻었습니다. 이제 목적은 적절한 경계조건을 사용해서 이 값을 찾고, 산란 영역과 이어주는 파동함수 식을 완성하는 것입니다.

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2. 좌표계를 연결하기

 

1) 좌표계를 연결하기

 

연결 작업에 있어서 문제가 하나 발생합니다. 우리는 구면좌표계로 산란파(구면파)를 기술하였고, 직교좌표계에서 입사파(평면파)를 기술하였기 때문에 두 좌표계를 연결하는 작업을 한 번 거쳐야 합니다.

 

'부분파 방법(Partial wave method)'은 결국 $\mathbf{k}$ 가 $\hat{z}$ 와 나란한 경우, 큰 $r$ 값에 대하여 평면파
$$e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}=e^{ik\cos\theta}=e^{ikz}$$ 를 구면좌표계 $r=0$ 을 중심으로 들어오는 구면파와 나가는 구면파의 형태로 나타낼 수 있다는 것이다. $e^{ikz}$ 의 값은 다음의 '레일리 공식(Rayleigh's formula)'에 의해 나타낼 수 있다.^[각주:7]
$$e^{ikz}=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cdot i^l\cdot j_l(kr)\cdot P_l(\cos\theta) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (11)$$

 

레일리 공식을 활용해서 평면파에서 구면파를 만들어 내는 것이 우리의 목적입니다. 이 과정에서 $kr>>1$ 일 때, 구면 베셀 함수의 근사(asymptotic behaivor)

 

$$j_l(kr)\simeq \frac{1}{kr}\sin\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (12)$$

 

를 사용합시다. 그러면 레일리 공식에 의하여

 

$$\begin{align*}

e^{ikz}&=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cdot i^l\cdot j_l(kr)\cdot P_l(\cos\theta)\\\\&=
\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cdot i^l\cdot P_l(\cos\theta)\cdot \frac{1}{kr}\sin\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right)
\\\\&= \frac{i}{2k}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cdot i^l\cdot P_l(\cos\theta)
\left\{ \frac{1}{r}e^{\displaystyle-i\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right)} -\frac{1}{r}e^{\displaystyle +i\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right)} \right\} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\; (13)

\end{align*}$$

 

$(13)$ 의 우변에 시간에 관한 항인 $\displaystyle e^{\displaystyle \frac{-iEt}{\hbar}}$ 을 곱해주게 되면 중괄호 안의 첫 항은 $r=0$ 으로 들어오는 구면파이고, 둘째 항은 $r=0$ 에서 나가는 구면파를 완벽히 기술하는 형태가 됩니다. 즉 목적을 달성하였고 여기서 $l$ 값은 부분파의 각운동량에 해당합니다.^[각주:8] 여기까지 정리하면 드디어 산란 영역(Scattering region)에 대한 분석이 가능해집니다.

 

 

2) 산란 영역에서의 계산

 

이제 드디어 $V\neq 0$ 인 산란 영역을 봅시다. 퍼텐셜이 존재하기 때문에 입사파의 일부가 흡수 또는 산란되어 $r=0$ 으로부터 나가는 파가 변형될 것입니다. 식 $(13)$ 의 두번째 항을 다음과 같이 바꿔봅시다.

 

$$\frac{i}{2k}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cdot i^l\cdot P_l(\cos\theta)
\left\{ -\frac{1}{r}e^{\displaystyle +i\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right)} \right\} \cdot S_l(k)$$

 

$S_l(k)$ 란 산란 퍼텐셜에 의해 입사파의 일부가 산란 또는 흡수되는 것과 관계되는 항입니다. 이 항의 정체는 추후에 알게 될테니 그냥 만들고 갑시다. 그러면 파동함수는

 

$$\begin{align*}
\psi(\mathbf{r})&=\frac{i}{2k}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)i^l\left\{ \frac{1}{r}e^{\displaystyle -i\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right)}-\left\{ \left( S_l-1 \right)+1 \right\}\frac{1}{r}\,e^{\displaystyle i\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right) }
 \right\}\cdot P_l(\cos\theta)\\\\&=e^{ikz}+\frac{1}{2ik}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)i^l\left\{ S_l(k)-1 \right\}\cdot \frac{1}{r}e^{\displaystyle i\left( kr-\frac{l\pi}{2} \right)}\cdot P_l(\cos\theta)
\end{align*}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(14)$$

 

수식을 겁나 생략하고 있는데... 누군가는 열심히 이 글을 볼 것이라고 생각하고 다 써보겠습니다. $(14)$ 의 두번째 항은 $i^l:=x$ 라고 치환을 합니다. 복소수의 테크닉을 조금 써야 합니다.

 

$$\ln i^l=\ln x=l\ln (0+1\cdot i)=l\cdot \ln e^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}li$$

 

임을 이용하면,

 

$$\begin{align*}
\left( \frac{1}{r}e^{ikr} \right)\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\left( i^l\cdot \frac{1}{i^l} \right)
\frac{1}{2ki}\left\{ S_l(k)-1 \right\}\cdot P_l(\cos\theta)&=
\frac{1}{r}e^{ikr}\left[ \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)P_l(\cos\theta)\cdot \frac{1}{2ki}\left\{ S_l(k)-1 \right\}
 \right]\\\\&:=\frac{1}{r}e^{ikr}\sum_{l=0}f_l(\theta):=\frac{1}{r}e^{ikr}f(\theta)
\end{align*}$$

 

다음과 같이 정의합니다.

 

$f_l(\theta)$ 는 '부분파 산란 진폭(partial wave scattering amplitude)'라 하고 $f(\theta)$ 는 그들의 총합인 '산란 진폭(Scattering amplitude)'라고 한다.
$$f(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}f_l(\theta):=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)P_l(\cos\theta)\cdot \left\{ \frac{S_l(k)-1}{2ki} \right\}$$ 그러면 파동함수는 $(14)$ 에 의하여 요 글에서의 $(1)$ 꼴과 같은 꼴의 식을 얻는다.
$$\psi(\mathbf{r})=e^{ikz}+f(\theta)\cdot\frac{e^{ikz}}{r}$$

 

 

3) 탄성 산란

 

탄성 산란의 경우를 살펴보겠습니다. 당연히 비탄성인 경우가 훨씬 어렵습니다. 학부 수준에서는 제 생각에 탄성 수준까지만 다루어도 충분하지 않나 싶습니다. 탄성 산란이란 들어오는 파와 나가는 파의 확률밀도가 보존되는 것입니다. $r=0$ 을 중심으로 두 파의 확률밀도가 같다면 위에서 상정한 물리량 $\left| S_l(k) \right|=1$ 이 됩니다.^[각주:9] 그래서 한 번 $ S_l(k) = e^{\displaystyle 2i\delta_l(k)}$ 으로 놓아보도록 합시다. 그럼

 

$$S_l(k)-1=e^{ 2i\delta_l(k)}-1=e^{i\delta_l}\left( e^{i\delta_l}-e^{-i\delta_l} \right)
=2ie^{i\delta_l}\cdot\sin \delta_l$$

 

가 나오지요. 이것은 자유입자($V=0$) 일 때에 비해서 위상차(Phase shift, Phase difference)가 발생한다는 뜻입니다. 산란진폭을 계산해보면(중간에 오일러 공식을 사용합니다)

 

$$\begin{align*}
&\mathrm{Im}\left[ f(\theta) \right]=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty}\left( 2l+1 \right)\sin^2\delta_l\cdot
P_l(\cos\theta)
\\\\& \mathrm{Im}\left[ f(0) \right]=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty}\left( 2l+1 \right)\sin^2\delta_l
\end{align*}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(15)$$

 

마지막으로 산란 단면적(total cross section)을 구해봅시다. 이게 목적입니다. 이 계산은 쉽습니다. 중간의 르장드르 다항식의 직교성인

 

$$\int_{-1}^{1}P_l(x)P_l'(x)dx=\int_{0}^{\pi}P_l(\cos\theta)P_l'(\cos\theta)\sin\theta d\theta = \left( \frac{2}{2l+1} \right)\delta_{ll'}$$

 

식을 씁니다.

 

$$\begin{align*}
\sigma&=\int_{}^{}\frac{d \sigma}{d\Omega}d\Omega=\int_{}^{}D(\theta)d\Omega=\int_{}^{}\left| f(\theta) \right|^2d\Omega \\\\&=\frac{1}{k^2}\int\left\{ \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l\cdot P_l(\cos\theta) \right\}
\left\{ \sum_{l'=0}^{\infty}(2l'+1)e^{i\delta_l'}\sin\delta_l'\cdot P_l'(\cos\theta) \right\}d\Omega
\end{align*}$$

 

드디어 결론을 얻습니다. 사실 연습문제를 풀 땐 이 공식만 가져다 벅벅 쓰시면 됩니다. 하지만 공부는 개념을 이해하는게 주가 되어야 하겠지요.

 

전체 산란 단면적(Total cross section) $\sigma$ 는 부분 산란 단면적(partial scattering cross section) $\sigma_l$ 의 합으로 계산하며 아래와 같다.
$$\sigma(=\sigma_t)=\sum_{l=0}^{\infty}\sigma_l=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\cdot \sin^2\delta_l\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(16)$$

[광학정리(Optical Theorem]
여기서 $(15),(16)$ 을 연결하면 다음을 얻는다.
$$\sigma(=\sigma_t)=\frac{4\pi}{k}\cdot \mathrm{Im}\left[ f(0) \right]$$

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e
Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

1. 광학에서 이를 복사 영역이라고 부릅니다. [본문으로]
2. 예를 들어서 전기력의 쿨롱 퍼텐셜은 $V$가 원심력 항보다 더 빠르게 영으로 가지 않습니다. 분모에 $r$ 인자가 하나만 존재하기 때문입니다. [본문으로]
3. 위 아래 두 식은 같습니다. 위 식을 $r$로 나누면 아래 식을 얻습니다. [본문으로]
4. 양자역학이 어려운 이유는 이렇게 배웠던 내용이 총체적으로 등장하기 때문입니다. 그래서 이러한 수학적인 방법은 수리물리학에서 공부해야 하고, 스킵해서 쭉쭉 대충 공부하는 경우도 있긴 하지만 원리를 설명하자면 이러합니다. 함수에 대한 테이블과 각종 방정식을 푸는 방법은 수리물리 책을 같이 참고하시기 바랍니다. [본문으로]
5. 물결 기호는 수학과 물리에서 종종 쓰이는데 뜻은 다음과 같습니다. 우선 이 식처럼 미분방정식의 해를 쓸 때 물결 기호가 등장한다면 이는 해의 기저를 나타내는 것입니다. 여기서는 1차 구면 한켈 함수를 기저로 삼아 해를 쓰면 된다는 것이니 앞에 적당한 상수가 경계조건으로 붙을 것이라고 볼 수 있습니다. 그 외 일반적으로 수학적 관점에서 물결 기호는 '닮음(Similarity)'이나 집합론에서 '관계(Relation)' 등을 나타내는 기호로 사용됩니다. [본문으로]
6. 이를 구하는 과정은 생략할 것입니다. 직접 해보시면 좋을 것 같습니다. [본문으로]
7. 레일리 공식의 증명은 본 포스팅에서 하지 않습니다. 나중에 기회가 있으면 작성하겠씁니다. 수리물리학 책을 참고해 주시면 됩니다. [본문으로]
8. 그래서 부분파 방법을 선운동량의 고유상태를 각운동량의 고유상태로 바꿔 표현하는 방법이라고 말하기도 합니다. [본문으로]
9. 증명을 해보려면 파동함수를 놓고 확률밀도를 입체각에 대해 적분합니다. 플럭스의 크기가 보존됨을 보이면 되는데 그것까지 다 쓰면 너무 길어질 것 같아서 생략했습니다. 혼자서 해보시고 도저히 모르시겠으면 댓글 달아주세요. [본문으로]