양자 산란 이론(Quantum scattering theory)

양자 산란 이론에서는, 입사하는 대상이 파동성을 가진 파동이라 생각하고 파동에 관한 식을 써야 합니다. 파동에 대한 함수를 쓰려면 지수함수, 삼각함수가 등장하기 때문에 계산이 복잡해지고, 미시세계에선 고려해야 할 점이 많아서 조금 어렵습니다. 천천히 생각해 보겠습니다.

 

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1. 파동함수 만들기

 

1) 산란진폭의 도입

 

양자역학에서 산란을 다룰 때는 평면파가 입사하고, 어떤 퍼텐셜을 만나 그로 인해 산란파가 발생하는 상황을 떠올리게 됩니다. 그러므로 다음과 같은 파동함수의 꼴을 해로 갖는 슈뢰딩거 방정식을 푸는 셈입니다. 이 해의 모양은 주구장창 언급할 것이기 때문에 앞으로 이 식을 '노란 박스식'이라고 부를 것입니다.

 

큰 $r$ 값에 대하여, 파동함수는
$$\psi(r,\theta)\simeq A\left\{ e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \right\}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 가 된다고 생각한다. 여기서 $f(\theta)$ 는 '산란 진폭(Scattering amplitude)'라고 정의한다.

 

설명을 먼저 해보자면, 우선 $k$ 값은 $k=\displaystyle \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ 으로 파수(wave number) 이고, 우변의 첫 항 $e^{ikz}$ 는 평면파를, 둘째 항의 $\displaystyle \frac{e^{ikr}}{r}$ 는 구면파를 뜻합니다. 퍼텐셜을 만나서 산란이 되면 산란파는 구면파로 진행하고, 산란되지 않고 그냥 진행하는 평면파도 존재합니다.

 

[그림 1] 양자 산란 상태

 

찾아야 하는 것은 구면파에 붙어 있는 산란 진폭의 값을 알아내는 것입니다. 이것은 각도 $theta$ 로 산란하는 확률와 비율을 알려주는 값이기 때문입니다.

 

 

2) 확률 계산

 

 

위 그림은 산란되기 위해 입사파가 들어가는 면적을 모식적으로 나타낸 것입니다. 속력 $v$ 로 이동하는 입사파가 시간 $dt$ 동안 미소 면적 $d\sigma$ 를 지날 확률은

 

$$dP=\left| \psi_{incident} \right|^2 dV=\left| A \right|^2\left( v\,dt d\sigma \right)$$

 

이것은 입자가 대응되는 입체각 $d\Omega$ 로 산란될 확률과도 같아서

$$dP=\left| \psi_{scattered} \right|^2 dV=\frac{\left| A \right|^2\left| f \right|^2}{r^2}\left( v\,dt \right)\,r^2d\Omega$$

 

고로 $d\sigma=\left| f \right|^2d\Omega$ 의 관계를 통해, 미분 산란 단면적과 산란 진폭의 관계를 얻습니다.

 

미분 산란 단면적과 산란 진폭의 관계는 다음과 같다.
$$D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left| f(\theta) \right|^2\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

$f(\theta)$ 의 값은 보통 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻고, $D(\theta)$ 의 값은 실험적으로 얻습니다. 실험을 진행해서 얻은 값이 이론적으로 맞는지 검증을 한다는 것입니다.

 

여기까지가 양자 산란 이론의 기본적인 토대입니다. 이론적으로 $f(\theta)$ 의 값을 구하는 것은 다음부터 시작할텐데, 굉장히 험난합니다.

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e