삼각함수의 덧셈정리와 그 파생공식 정리

삼각함수의 덧셈정리 및 그로부터 파생되어 만들어지는 여러 공식을 정리한 글입니다. 파생공식은 덧셈정리로부터 유도 가능하고 덧셈정리는 정석에서도 등장하니 따로 증명하지 않습니다.

---

1. 삼각함수의 덧셈정리

 

삼각함수의 덧셈정리
$$\sin \left( \alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\\\
\sin \left( \alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\\\
\cos \left( \alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\\\
\cos \left( \alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

---

2. 삼각함수의 곱, 합 공식

 

이 공식은 2007 교육과정 고등학교 '수학 II'에 실려 있었습니다. 교과서에는 있지만 수능과 모의평가에 단 한차례도 등장한 적이 없는 공식입니다. 신푸신은 두신코, 코마코는 마두신신.. 이런 식으로 외웠었죠.

 

① 곱 공식
$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left\{ \sin (\alpha+\beta) +\sin \left( \alpha - \beta \right)\right\} \\\\

\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin (\alpha+\beta)-\sin \left( \alpha - \beta \right)\right\} \\\\

\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos (\alpha+\beta) +\cos \left( \alpha - \beta \right)\right\} \\\\

\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\left\{ \cos (\alpha+\beta) -\cos \left( \alpha - \beta \right)\right\}$$ 
② 합 차 공식
$$\sin A+\sin B=2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) \\\\

\sin A-\sin B=2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) \\\\

\cos A+\cos B=2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) \\\\

\cos A-\cos B=-2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $$

---

3. 복소수 공식

 

정리($M.P$) 1.1
[지수함수와 삼각함수의 관계]
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

따름정리($M.P$) 1.1.1
$$\sin x=\frac{1}{2i}\left( e^{ix}-e^{-ix} \right) \\\\ \cos x= \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{-ix} \right)$$