정수에서 서로소의 의미(relatively prime in the Number theory)

'서로소'라는 말은 수학에서 크게 보았을 때 집합 관계 또는 정수론에서 사용하는 용어입니다. 이들은 각각 교집합을 가지지 않는 관계 혹은 최대공약수가 1임을 의미하는 말에 해당하는데, 한국어에서는 모두 '서로소'라고 표현하나 영어 표현은 살짝 다릅니다. 집합에서의 서로소 개념은 'mutally disjoint' 에 가깝고, 정수론에서의 서로소 즉 최대공약수가 1인 고나계는 'relatively prime' 이라고 표현합니다. 여기서는 후자의 개념에 대한 소개입니다.

 

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1. 서로소

 

정의($N.T$) 1-7) 정수론에서 서로소
적어도 둘 중 하나의 정수가 0이 아닌 $a,b\in\mathbb{Z}$ 에 대하여, $\gcd (a,b)=1$ 을 만족하면 두 수는 '서로소(relatively prime)'이라고 한다.

 

개념은 중고등학교 수학에서와 완전히 일치합니다. 아래의 두 정리도 내용이 매우 간단하며 중고등학교 수학에서도 배우는 내용에 해당하기는 합니다.

 

 

정리($N.T$) 1.7) 서로 다른 두 소수는 언제나 서로소이다
임의의 두 서로 다른 소수 $p,q$ 에 대하여 $\gcd (p,q) = 1$ 가 성립한다.

증명) $g=\gcd (p,q)$ 라 하자. $g\mid p$ 이므로 $g=p$ 이거나 $g=1$ 이어야 한다. 마찬가지로 $g\mid q$ 이므로 $g=q$ 이거나 $g=1$ 이어야 한다. $g=p=q$ 이라면 이것은 가정에 모순이 된다. 따라서 $g=1$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

정리($N.T$) 1.8) 소수의 기본 성질
$p$ 가 소수이고 $p\mid (ab)$ 이면, $p\mid a$ 또는 $p\mid b$ 이다.

증명) $p\mid a$ 가 성립하면 결론이 참이니 그렇지 않다고 해보자. 그러면 $\gcd (a,p)=1$ 이다. $p$ 가 소수이므로 $g=p$ 또는 $g=1$ 이다. $g=p$ 라면 우리의 가정에 모순이다. 따라서 $g=1$ 이고, 그러면 유클리드 보조정리에 의해^[각주:1] $p\mid b$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Number Theory - William W. Adams, Larry Joel Goldstein

 

 

 

 

1. 게시글 순서로 보면 유클리드 보조정리는 바로 다음 글입니다. [본문으로]