오일러 방정식의 제 2형태 : 벨트라미 항등식 (The Second form of the Euler Equation : Beltrami Identity)

오일러 방정식에서 $f$가 $x$에 의존하지 않는 함수라서

 

$$\frac{\partial f}{\partial x}=0$$

 

을 만족하는 경우에, 좀 더 간단하고 편리한 두번째 형태의 오일러 방정식을 만들어 낼 수 있습니다. 이를 이끌어내는 과정은 계산량이 적진 않아서 복잡하다 느낄 수 있으나, 미분하는 방법이랑 식 정리만 할 줄 알면 무난히 이해할 수 있으니 포기하지 말고 도전해 봅시다. $f=f\left\{ y, y', x \right\}$ 에 대하여 도함수를 구해보면,

 

$$\begin{align*}

\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}f\left \{ y,y',x \right \}&=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{dy'}{dx}+\frac{\partial f}{\partial x}\\\\&=y'\frac{\partial f}{\partial y}+y''\frac{\partial f}{\partial y'}+\frac{\partial f}{\partial x}\;\;\;\cdots \;\;(1)

\end{align*}$$

 

그리고 다음의 관계식을 이용할 것입니다.

 

$$\frac{d}{dx}\left ( y'\,\frac{\partial f}{\partial y'} \right )=y''\,\frac{\partial f}{\partial y}+y'\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\;\;\;\cdots \;\;(2)$$

 

$(2)$ 의 우변 첫째항만을 좌변으로 넘긴 다음, 

 

$$\begin{align*}
y''\,\frac{\partial f}{\partial y}&=\frac{d}{dx}\left ( y'\,\frac{\partial f}{\partial y'} \right )-y'\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\\\\&=\frac{df}{dx}-\frac{\partial f}{\partial x}-y'\,\frac{\partial f}{\partial y}
\;\;\;\cdots \;\;(3)
\end{align*} $$

 

이 되고, 이것을 $(2)$ 의 우변에 대입할 것입니다. 대체하여 적용하면 다음을 얻습니다.

 

$$\frac{d}{dx}\left ( y'\,\frac{\partial f}{\partial y'} \right )=\frac{df}{dx}-\frac{\partial f}{\partial x}-y'\,\frac{\partial f}{\partial y}+y'\,\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\;\;\;\cdots \;\;(4)$$

 

이 식 $(4)$ 의 마지막 두 항을 봅시다. 이것은 $y'$ 을 밖으로 빼고 괄호로 묶으면 오일러 방정식이라서 어차피 값이 0이 됩니다.

 

$$y'\left ( \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y} \right )=0$$

 

결국 남는 것을 정리합니다.

 

 

정리 ($C.D$) 3.3

'오일러 방정식의 제 2형태(The Second form of Euler Equation)'이며

$$\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{d}{dx}\left ( f-y'\,\frac{\partial f}{\partial x} \right )=0$$
이다. 이것은 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=0$ 일 때에 해당하기 때문에 결국 괄호 안의 양이 상수가 되는 것이므로

$$f-y'\,\frac{\partial f}{\partial x}=C$$
로 쓸 수도 있으며, 이를 '벨트라미 항등식(Beltrami identity)'이라 한다.