Processing math: 100%
본문 바로가기
미분류/변분법

오일러 방정식의 제 2형태 : 벨트라미 항등식 (The Second form of the Euler Equation : Beltrami Identity)

by Gosamy 2021. 1. 28.
반응형

오일러 방정식에서 fx에 의존하지 않는 함수라서

 

fx=0

 

을 만족하는 경우에, 좀 더 간단하고 편리한 두번째 형태의 오일러 방정식을 만들어 낼 수 있습니다. 이를 이끌어내는 과정은 계산량이 적진 않아서 복잡하다 느낄 수 있으나, 미분하는 방법이랑 식 정리만 할 줄 알면 무난히 이해할 수 있으니 포기하지 말고 도전해 봅시다. f=f{y,y,x} 에 대하여 도함수를 구해보면,

 

dfdx=ddxf{y,y,x}=fydydx+fydydx+fx=yfy+yfy+fx(1)

 

그리고 다음의 관계식을 이용할 것입니다.

 

ddx(yfy)=yfy+yddxfy(2)

 

(2) 의 우변 첫째항만을 좌변으로 넘긴 다음, 

 

yfy=ddx(yfy)yddxfy=dfdxfxyfy(3)

 

이 되고, 이것을 (2) 의 우변에 대입할 것입니다. 대체하여 적용하면 다음을 얻습니다.

 

ddx(yfy)=dfdxfxyfy+yddxfy(4)

 

이 식 (4) 의 마지막 두 항을 봅시다. 이것은 y 을 밖으로 빼고 괄호로 묶으면 오일러 방정식이라서 어차피 값이 0이 됩니다.

 

y(ddxfyfy)=0

 

결국 남는 것을 정리합니다.

 

 

정리 (C.D) 3.3

'오일러 방정식의 제 2형태(The Second form of Euler Equation)'이며

fxddx(fyfx)=0
이다. 이것은 fx=0 일 때에 해당하기 때문에 결국 괄호 안의 양이 상수가 되는 것이므로

fyfx=C
로 쓸 수도 있으며, 이를 '벨트라미 항등식(Beltrami identity)'이라 한다.

 

댓글