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오일러 방정식에서 f가 x에 의존하지 않는 함수라서
∂f∂x=0
을 만족하는 경우에, 좀 더 간단하고 편리한 두번째 형태의 오일러 방정식을 만들어 낼 수 있습니다. 이를 이끌어내는 과정은 계산량이 적진 않아서 복잡하다 느낄 수 있으나, 미분하는 방법이랑 식 정리만 할 줄 알면 무난히 이해할 수 있으니 포기하지 말고 도전해 봅시다. f=f{y,y′,x} 에 대하여 도함수를 구해보면,
dfdx=ddxf{y,y′,x}=∂f∂ydydx+∂f∂y′dy′dx+∂f∂x=y′∂f∂y+y″∂f∂y′+∂f∂x⋯(1)
그리고 다음의 관계식을 이용할 것입니다.
ddx(y′∂f∂y′)=y″∂f∂y+y′ddx∂f∂y′⋯(2)
(2) 의 우변 첫째항만을 좌변으로 넘긴 다음,
y″∂f∂y=ddx(y′∂f∂y′)−y′ddx∂f∂y′=dfdx−∂f∂x−y′∂f∂y⋯(3)
이 되고, 이것을 (2) 의 우변에 대입할 것입니다. 대체하여 적용하면 다음을 얻습니다.
ddx(y′∂f∂y′)=dfdx−∂f∂x−y′∂f∂y+y′ddx∂f∂y′⋯(4)
이 식 (4) 의 마지막 두 항을 봅시다. 이것은 y′ 을 밖으로 빼고 괄호로 묶으면 오일러 방정식이라서 어차피 값이 0이 됩니다.
y′(ddx∂f∂y′−∂f∂y)=0
결국 남는 것을 정리합니다.
정리 (C.D) 3.3
'오일러 방정식의 제 2형태(The Second form of Euler Equation)'이며
∂f∂x−ddx(f−y′∂f∂x)=0
이다. 이것은 ∂f∂x=0 일 때에 해당하기 때문에 결국 괄호 안의 양이 상수가 되는 것이므로
f−y′∂f∂x=C
로 쓸 수도 있으며, 이를 '벨트라미 항등식(Beltrami identity)'이라 한다.
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