변분법에서의 오일러 방정식 (Euler Equation in the Calculus of Variation)

오일러 방정식은 저번 글에서 설명했던 범함수의 극값을 찾는 변분법에 관한 방정식입니다. 고로 오일러 방정식을 풀면 범함수의 극값을 건져낼 수 있습니다.

 

정리($C.D$) 3.2

변분 $J(y)=\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}}f\left \{ y(x),y'(x);x \right \}dx$ 가 극값을 가져 정상적(Stationaty)이 되도록 할 조건 $\left [ \displaystyle\frac{\partial J(\alpha)}{\partial \alpha} \right ]_{\alpha=0}=0$ 은 곧 다음의 '오일러 방정식(Euler Equation)' 을 만족하는 것이다.
$$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial f}{\partial y'} \right )=0$$

 

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1. 오일러 방정식의 증명

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변분 식의 양변을 $\alpha$ 에 대하여 미분하면

 

$$\frac{\partial J(\alpha)}{\partial \alpha}=\frac{\partial }{\partial \alpha}\int_{x_1}^{x_2}f
\left \{ y(\alpha ,x),y'(\alpha,x);x \right \}dx=\int_{x_1}^{x_2}\left ( \frac{\partial f}{\partial y}
\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \alpha} \right )dx$$

 

이고, $y$값을 쓸 때 $\alpha , \eta$ 를 사용하여 $y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x)$ 라고 했었기 때문에, 

 

$$\frac{\partial y}{\partial \alpha}=\eta(x)\;,\;\frac{\partial y'}{\partial \alpha}=\frac{d\eta}{dx}$$

 

가 성립합니다. 이것을 원래 식에 대입하면,

 

$$\frac{\partial J(\alpha)}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left ( \frac{\partial f}{\partial y}
\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \alpha} \right )dx
=\int_{x_1}^{x_2}\left ( \frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx} \right )dx$$

 

여기서 피적분함수 내의 두번째 항만 먼져 보겠습니다. 부분적분을 해서 간단히 만들 것입니다.

 

$$\begin{align*} 
&\eta(x_1)=\eta(x_2)=0 
\\\\& \rightarrow \;\; \int_{x_1}^{x_2}\left ( \frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx} \right )
dx=\left [ \frac{\partial f}{\partial y'}\eta(x) \right ]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left ( 
\frac{\partial f}{\partial y'} \right )\eta(x)dx\\\\&
=-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left ( 
\frac{\partial f}{\partial y'} \right )\eta(x)dx
\end{align*}$$

 

그러므로 첫째항과 합치면,

 

$$\frac{\partial J(\alpha)}{\partial \alpha}=
\int_{x_1}^{x_2}\left \{ \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial f}{\partial y'} \right ) \right \}dx=0$$

 

을 만족해야 합니다. 그런데, 처음 $y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x)$ 의 식을 만들 때 $\eta(x)$ 는 어떤 임의의 함수라고 했습니다. 여기다가 상수 $\alpha$ 를 곱해서, 원래 극값의 경로에 대하여 변형된 경로를 만드는 것이라고 설명했었죠.

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그런데 우리가 지금 처리해야 할 적분은 임의의 $\eta(x)$ 에 대하여 정적분의 값이 항상 0이 되어야 합니다. 그렇다면 $\eta(x)$ 를 제외한 파란색 피적분함수 부분이 언제나 0이 되어야 위 식이 만족함을 알 수 있습니다. (이것을 정적분의 값이 0이 나오려면 피적분함수가 반드시 0이 되어야 한다는 말과 동일한 것이 아님을 주의해야 합니다)

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이 결과는 $J(y)$ 가 극값을 가지기 위한 조건으로, '오일러 방정식(Euler Equation)' 이라 하며 변분법의 알파이자 오메가입니다.

$$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial f}{\partial y'} \right )=0$$

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2. 종속변수가 여러개인 함수에 관한 오일러 방정식

 

종속변수가 여러개라 함은, 범함수 $f$가

 

$$f=f\left \{ y_1(x),y'_1(x),y_2(x),y'_2(x),\cdots ;x \right \}$$

 

꼴을 가지고 있다는 뜻이 됩니다. Index 를 사용해서 일반적인 표현법으로 나타내면

 

$$f=f\left \{ y_i(x),y'_i(x),y_2(x)\cdots ;x \right \}\;\;\;(i=1,2,\cdots ,n)$$

 

$\alpha$ 를 이용한 표현에 있어서도 첨자 $i$ 를 달아주어야 하고,

 

$$y_i(\alpha,x)=y_i(0,x)+\alpha\eta(x) \;\;\;(i=1,2,\cdots ,n)$$

 

그랬을 때 변분 $J$가 극값을 가질 조건은 오일러 방정식이 모든 $y_i$ 에 대해 성립해야 하므로 종속변수가 여러개일 때의 오일러 방정식은 다음과 같습니다.

 

$$\frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial f}{\partial y_i'} \right )=0 \;\;\;(i=1,2,\cdots ,n)$$