직교좌표계, 구면좌표계, 원통좌표계에서 길이, 넓이, 부피요소와 그래디언트, 발산, 회전

벡터 미적분에서는 좌표계를 빈번히 번갈아 가면서 벡터 연산을 하고는 합니다. 물리학에서는 특히 전자기학에서 그러한 경우가 압도적으로 많은데, 여러 문제를 빠르게 풀기 위해서 반복하여 외워 두면 도움이 되는 경우가 많습니다.

 

이들의 위치 변환은 흔히 작은 그림을 그려서 접근하고는 하는데, 조금 더 원론적으로는 미분기하에서의 좌표변환(coordinates transformation)과 야코비안 개념을 통해 증명할 수도 있습니다.

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1. 직교좌표계(Cartesian coordinates)

 

정리($M.P$) 1.3) 직교좌표계
① 위치벡터 : $\mathbf{r} = (x,y,z) = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$
② 길이요소 : $d\mathbf{l} = dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}$
③ 면적요소 : $da = dxdy, dydz, dzdx$
④ 부피요소 : $d\tau = dxdydz$
⑤ 그래디언트 : 
$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i}
+ \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}
+ \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}
$$ ⑥ 발산 : 
$$\nabla \cdot \mathbf{F} =
\frac{\partial F_x}{\partial x}
+ \frac{\partial F_y}{\partial y}
+ \frac{\partial F_z}{\partial z}$$ ⑦ 회전 : $$
\nabla \times \mathbf{F} =
\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \mathbf{i}
+ \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \mathbf{j}
+ \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
$$ ⑧ 라플라시안 : $$\nabla^2 f =
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

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2. 구면좌표계

 

정리($M.P$) 1.4) 구면좌표계
① 위치벡터 : $\mathbf{r} = (r,\theta, phi)$
② 길이요소 : $d\mathbf{l} = dr\hat{r}+rd\theta \hat{\theta} + r\sin \theta d\phi \hat{\phi}$
③ 면적요소 : $da = r^2\sin \theta d\theta d\phi$ , $d\mathbf{a} = r^2\sin \theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{r}}$
④ 부피요소 : $d\tau = r^2\sin \theta drd\theta d\phi$
⑤ 그래디언트 :
$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\hat{\mathbf{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f }{\partial \theta}\hat{\mathbf{\theta}} + \frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\hat{\mathbf{\phi}} $$ ⑥ 발산 :
$$\nabla \cdot \mathbf{v} = 
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 v_r) 
+ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta v_\theta) 
+ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial v_\phi}{\partial \phi}$$ ⑦ 회전 :
$$\nabla \times \mathbf{v} = 
\frac{1}{r \sin \theta}
\left[
\frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta v_\phi)
- \frac{\partial v_\theta}{\partial \phi}
\right] \hat{\mathbf{r}} 
+ \frac{1}{r}
\left[
\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial v_r}{\partial \phi}
- \frac{\partial}{\partial r}(r v_\phi)
\right] \hat{\boldsymbol{\theta}} 
+ \frac{1}{r}
\left[
\frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta)
- \frac{\partial v_r}{\partial \theta}
\right] \hat{\boldsymbol{\phi}}$$ ⑧ 라플라시안 : 
$$\nabla^2 f =
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}
\left( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$$

 

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3. 원통좌표계

 

정리($M.P$) 1.5) 원통좌표계
① 위치벡터 $\mathbf{r} = (\rho , \phi, z)$
② 길이요소 : $d\mathbf{l} = ds\hat{\mathbf{s}} + sd\phi \hat{\mathbf{\phi}} + dz \hat{\mathbf{z}}$
③ 면적요소 : $d\mathbf{l} = d\rho \hat{\mathbf{\rho}} + \rho d\phi \hat{\mathbf{\phi}} + dz \hat{\mathbf{z}}$
④ 부피요소 : $d\tau = \rho d\rho d\phi dz$
⑤ 그래디언트 : 
$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \hat{\mathbf{\rho}} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{\partial f}{\partial z} \, \hat{\mathbf{z}}$$ ⑥ 발산 :
$$
\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho v_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial v_\phi}{\partial \phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$$ ⑦ 회전 :
$$\nabla \times \mathbf{v} =
\left( \frac{1}{\rho} \frac{\partial v_z}{\partial \phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial z} \right) \hat{\mathbf{\rho}} +
\left( \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} \right) \hat{\boldsymbol{\phi}} +
\frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho v_\phi) - \frac{\partial v_\rho}{\partial \phi} \right] \hat{\mathbf{z}}.
$$ ⑧ 라플라시안 : 
$$\nabla^2 T =
\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho \frac{\partial T}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 T}{\partial \phi^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$$