모순과 가능세계 [2019학년도 수능/논리학] + 분석 도우미

 

[그림 1] 경주 불국사에 위치한 다보탑. 가능세계의 개념을 이해할 때 실제로 어떤 세계가 존재한다기보다는 간단히 '개연성'의 의미로 받아들이는 것이 좋다.

 

  두 명제가 모두 참인 것도 모두 거짓인 것도 가능하지 않은 관계를 모순 관계라고 한다. 예를 들어, 임의의 명제를 P라고 하면. P와 ~P는 모순 관계이다.(기호 '~'은 부정을 나타낸다.) P와 ~P가 모두 참인 것은 가능하지 않다는 법칙을 무모순율이라고 한다. 그런데 "다보탑은 경주에 있다."와 "다보탑은 개성에 있을 수도 있었다."는 모순 관계가 아니다. 현실과 다르게 다보탑을 경주가 아닌 곳에 세웠다면 다보탑의 소재지는 지금과 달라졌을 것이다. 철학자들은 이를 두고, P와 ~P가 모두 참인 혹은 모두 거짓인 가능세계는 없지만 다보탑이 개성에 있는 가능세계는 있다고 표현한다.

 

  '가능세계'의 개념은 일상 언어에서 흔히 쓰이는 필연성과 기능성에 관한 진술을 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 'P는 가능하다'는 P가 적어도 하나의 가능세계에서 성립한다는 뜻이며, 'P는 필연적이다'는 P가 모든 가능세계에서 성립한다는 뜻이다. "만약 Q이면 Q이다."를 비롯한 필연적인 명제들은 모든 가능세계에서 성립한다. "다보탑은 경주에 있다."와 같이 가능하지만 필연적이지는 않은 명제는 우리의 현실세계를 비롯한 어떤 가능세계에서는 성립하고 또 어떤 가능세계에서는 성립하지 않는다.

 

  가능세계를 통한 담론은 우리의 일상적인 몇몇 표현들을 보다 잘 이해하는 데 도움이 된다. 다음 상황을 생각해 보자. 나는 현실에서 아침 8시에 출발하는 기차를 놓쳤고, 지각을 했으며, 내가 놓친 기차는 제시간에 목적지에 도착했다. 그리고 나는 "만약 내가 8시 기차를 탔다면, 나는 지각을 하지 않았다."라고 주장한다. 그런데 전통 논리학에서는 "만약 A이면 B이다."라는 형식의 명제는 A가 거짓인 경우에는 B의 참 거짓에 상관없이 참이라고 규정한다. ^[각주:1] 그럼에도 내가 만약 그 기차를 탔다면 여전히 지각을 했을 것이라고 주장하지는 않는 이유는 무엇일까? 내가 그 기차를 탄 가능세계들을 생각해 보면 그 이유를 알 수 있다. 그 가능세계 중 어떤 세계에서 나는 여전히 지각을 한다. 가령 내가 탄 그 기차가 고장으로 선로에 멈춰 운행이 오랫동안 지연된 세계가 그런 예이다. 하지만 내가 기차를 탄 세계들 중에서, 내가 기차를 타고 별다른 이변 없이 제시간에 도착한 세계가 그렇지 않은 세계보다 우리의 현실세계와의 유사성이 더 높다. 일반적으로, A가 참인 가능세계들 중에 비교할 때 B도 참인 가능세계가 B가 거짓인 가능세계보다 현실세계와 더 유사하다면, 현실세계의 나는 A가 실현되지 않은 경우에, 만약 A라면 ~B가 아닌 B이라고 말할 수 있다.

 

  가능세계는 다음의 네 가지 성질을 갖는다. 첫째는 가능세계의 일관성이다. 가능세계는 명칭 그대로 가능한 세계이므로 어떤 것이 가능하지 않다면 그것이 성립하는 가능세계는 없다. 둘째는 가능세계의 포괄성이다. 이것은 어떤 것이 가능하다면 그것이 성립하는 가능세계는 존재한다는 것이다. 셋째는 가능세계의 완결성이다. 어느 세계에서든 임의의 명제 P에 대해 "P이거나 ~P이다."라는 배중률이 성립한다. 즉 P와 ~P 중 하나는 반드시 참이라는 것이다. 넷째는 가능세계의 독립성이다. 한 가능세계는 모든 시간과 공간을 포함해야만 하며, 연속된 시간과 공간에 포함된 존재들은 모두 동일한 하나의 세계에만 속한다. 한 가능세계 W1의 시간과 공간이, 다른 가능세계 W2의 시간과 공간으로 이어질 수는 없다. W1과 W2는 서로 시간과 공간이 전혀 다른 세계이다.

 

  가능세계의 개념은 철학에서 갖가지 흥미로운 질문과 통찰을 이끌어 내며, 그에 관한 연구 역시 활발히 진행되고 있다. 나아가 가능세계를 활용한 논의는 오늘날 인지 과학, 언어학, 공학 등 분야로 그 응용의 폭을 넓히고 있다.

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본문의 각주 1번에 대해 고려해봅시다.

 

 

"만약 A이면 B이다."라는 형식의 명제는 A가 거짓인 경우에는 B의 참 거짓에 상관없이 참이라고 규정한다.

 

이 문장의 뜻은 다음과 같습니다. 두 명제 P, Q에 대하여, 각각을 '전건', '후건'이라고 합니다. 이 때 조건문 P→Q 의 참·거짓 판별은 두 명제 P, Q 각각의 참·거짓에 의존하는데, 총 네 가지 경우의 수 중에서 오로지 P가 참이고 Q가 거짓인 경우에만 조건문이 거짓입니다.

 

P		Q	P→Q
T		T	T
T		F	F
F		T	T
F		F	T

 

따라서 주어진 문장의 뜻은 전건이 거짓일 때는 후건이 참인지, 거짓인지에 관계 없이 조건문은 참이라는 것입니다. (위 표의 3, 4행에 해당)

 

그러므로 본문에서 A는 '기차를 타지 않았다'이고 B는 '지각을 했다'인데, A가 거짓인 경우, 곧 ~A일 때, 다시 말해 기차를 탄 상황일 때는, 지각을 했다고 말하든지(=B) 지각을 하지 않았다고 말하든지(= ~B) 상관이 없지만, 왜 우리는 이 경우 지각을 하지 않았을 거라고 판단을 하는지에 대한 설명을 하는 것입니다. 기호로 쓰자면 ~A→B 와 ~A→~B 모두 참이지만 우리는 A→B 가 참일 땐 ~A→~B 라고 말한다는 것이죠. 그 까닭이 바로 다음의 해당 지문의 3번째 문항(2019학년도 수능 41번)입니다.  

 

 

참고로 위 표의 내용, 즉 조건문의 참과 거짓을 다룬 지식은 수능을 대비하는 수험생이라면 배경지식으로 기억하고 있는 것이 좋습니다. 연언(and;&)이나 선언(or;V)의 참·거짓도 알면 좋지만, 연언문 P&Q는 P, Q가 모두 참일때만 참이고, 선언문 PVQ는 P, Q가 모두 거짓일 때만 거짓입니다. 사실 이 둘은 상식적으로 해결 가능하니 굳이 외울 필요는 없고, 상술한 조건문의 진리값은 기억해야 합니다. 참고로 이 진리값에 관한 내용은 철학의 논리학 뿐만 아니라 수학의 집합론에서도 상세히 다룹니다.

 

 

 

1. 이 문장의 정확한 이해는 고전 논리학에 관한 약간의 지식이 필요하다. 아래에서 보충 설명하겠다. [본문으로]