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이제 3차원에서의 슈뢰딩거 방정식을 해결해 봅시다. 1차원 슈뢰딩거 방정식에서 변수 2개를 늘린 것이긴 하지만, 3차원부터는 기저(=변수)가 2개 더 증가한다고 볼 수 있기 때문에 미분방정식을 푸는 것이 당연하지만 복잡해집니다. 특히 수소 원자와 각운동량 및 스핀에 관한 이해는 차후에 등장할 양자역학 개념의 이해에 있어 기초 중의 기초로 여겨지기 때문에 3차원 문제를 반드시 잘 활용하고 머리 속에 저장할 수 있어야 합니다.
1. 3차원 슈뢰딩거 방정식
1) 기본적인 형태
3차원에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 주어진다.
iℏ∂Ψ(x,t)∂t=−ℏ22m∂2Ψ(x,t)∂x2+V(x)Ψ(x,t)=HΨ(x,t) 3차원에서 해밀토니안과 운동량 연산자는
H=p22m+V=12m(p2x+p2y+p2z)+V,p=ℏi∇=−iℏ∇ 으로 주어진다.
파동함수는
Ψn(r,t)=ψn(r)e−iEntℏΨ(r,t)=∑ncnψn(r)e−iEntℏ 으로 주어지고, 규격화 식은
∫|Ψ(r,t)|2dτ=1 와 같다.
1차원일 때와 크게 달라지는 것은 없습니다. 그렇다면 위와 같은 과정을 통하여 연산자를 사용해서 방정식을 다시 적어 봅시다.
3차원에서 슈뢰딩거 방정식은
iℏ∂Ψ(r,t)∂t=−ℏ22m∇2Ψ(r,t)+VΨ(r,t) 이고, Time-independent 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
−ℏ22m∇2ψ+Vψ=Eψ
[참고문헌]
Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e
Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e
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