3차원 슈뢰딩거 방정식 (3-dimension Schrodinger equation)

이제 3차원에서의 슈뢰딩거 방정식을 해결해 봅시다. 1차원 슈뢰딩거 방정식에서 변수 2개를 늘린 것이긴 하지만, 3차원부터는 기저(=변수)가 2개 더 증가한다고 볼 수 있기 때문에 미분방정식을 푸는 것이 당연하지만 복잡해집니다. 특히 수소 원자와 각운동량 및 스핀에 관한 이해는 차후에 등장할 양자역학 개념의 이해에 있어 기초 중의 기초로 여겨지기 때문에 3차원 문제를 반드시 잘 활용하고 머리 속에 저장할 수 있어야 합니다.

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1. 3차원 슈뢰딩거 방정식

 

1) 기본적인 형태

 

3차원에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 주어진다.
$$i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t)=\mathcal{H}\Psi(x,t)$$ 3차원에서 해밀토니안과 운동량 연산자는
$$\mathcal{H}=\frac{p^2}{2m}+V=\frac{1}{2m}\left( p_x^2+p_y^2+p_z^2 \right)+V\;\;,\;\;
\mathbf{p}=\frac{\hbar}{i}\nabla=-i\hbar \nabla$$ 으로 주어진다.

파동함수는
$$\Psi_n\left( \mathbf{r},t \right)=\psi_n(\mathbf{r})e^{\displaystyle \frac{-iE_nt}{\hbar}} \\
\Psi(\mathbf{r},t)=\sum_{n}^{}c_n\psi_n(\mathbf{r})e^{\displaystyle \frac{-iE_nt}{\hbar}}$$ 으로 주어지고, 규격화 식은
$$\int \left| \Psi(\mathbf{r},t) \right|^2\,d\tau=1$$ 와 같다.

 

1차원일 때와 크게 달라지는 것은 없습니다. 그렇다면 위와 같은 과정을 통하여 연산자를 사용해서 방정식을 다시 적어 봅시다.

 

3차원에서 슈뢰딩거 방정식은
$$i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},t)+V\Psi(\mathbf{r},t)$$ 이고, Time-independent 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi=E\psi$$

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e
Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e