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칸토어의 대각법은 수학에서 몇가지 중요한 정리들을 증명하는데 사용됩니다. 매우 참신한 아이디어라 이를 어떻게 떠올렸을지 참 신기한 생각이 많이 듭니다. 오늘은 칸토어의 대각법을 이용해서 실수 집합이 무한집합이며 가부번집합이 아님을 증명할 것입니다. 결과를 먼저 설명하면 여태까지 자연수, 정수, 유리수가 가부번집합임을 보였는데, 실수는 비가부번 즉 비가산집합이고, 무리수 집합 역시 그러합니다.
공교롭게도 이 수학 개념이 2024년 수능특강 독서의 과학/기술 2번째 지문으로 수록되어 있습니다. 수학적으로 증명을 하는 과정은 고등학생에게 대단한 도전이 될 수 있습니다. 그럼에도 제가 고등학생 수준으로 약간 눈높이를 낮추어 영상을 만든 것이 있습니다. 이곳을 참고하시기 바랍니다.
1. 실수는 비가산집합이다.
정리(S.T) 4.16)
실수 R 의 부분집합 (0,1) 은 무한집합이고, 비가부번집합(따라서 비가산집합)이다.
증명) x∈(0,1) 에 속하는 모든 수 x 를 x=0.x1x2x3⋯ 의 형태로 전개한다. 여기서 각각의 n∈N 에 대하여 xn∈{0,1,2,⋯,9} 가 된다.
그런데 유한소수나 순환소수는 분수 표현로 나타낼 수 있는데, 유한소수로 표현되는 숫자도 무한소수로 표현하려고 한다. 이때 0.999...=1을 이용한다. 예를 들면 0.5=0.4999..... 라 표기하는 것이다.
그러면 임의의 x,y∈(0,1) 에 대하여 x=0.x1x2x3⋯,y=0.y1y2y3⋯ 로 표현할 때, 모든 첨자 k∈N 에 대하여 xk=yk 이어야만 두 수가 같다. 고로 임의의 소수점 아래 k 번째 자리에서 xk≠yk 가 성립하면(단 하나의 k 에 대해서 성립하기만 해도) 두 수는 같지 않아, x≠y 인 셈이다.
이를 바탕으로 주어진 명제를 증명하자. 귀류법을 사용하기 위해 (0,1) 이 가부번집합이라 가정해보자. 그러면 일대일대응인 함수 f:N∼(0,1) 이 존재하여 (0,1) 의 원소를 다음과 같이 나열한다고 생각해보자.
f(1)=0.a11a12a13⋯f(2)=0.a21a22a23⋯f(3)=0.a31a32a33⋯⋮f(k)=0.ak1ak2ak3⋯
이때 각 aij 에 대하여 aij∈{0,1,2,⋯,9} 이 성립한다. 이제 위에 나열된 모든 f(k) 들 중에 어느 것과도 일치하지 않는 수 z∈(0,1) 가 존재함을 통해 모순을 일으키려고 한다. z=0.z1z2z3⋯ 의 각 zk 를 다음과 같이 정의하자.
zk={5(akk≠5)1(akk=5)
이렇게 zk 를 정의하면, 모든 1k∈N 에 대해 zk≠akk 가 된다. 왜냐하면 위의 정의에 따라 akk 와 항상 같지 않게 zk 를 정의하기 때문이다. 따라서 z≠f(1), z≠f(2), z≠f(3), ⋯z≠f(k) 가 되면서 z∉f(N)=(0,1) 이 성립한다. 고로 이것은 z∈(0,1) 에 대해 모순이므로 주어진 명제는 참이다. ◼
이 증명법을 칸토어의 대각법이라고 부릅니다. 각각의 f(k) 에 존재하는 akk 소숫점의 숫자들과 다른 숫자들로 z 를 구성하여 모순을 이끌어내기 때문입니다.
따름정리(S.T) 4.16.1)
실수 집합 R 은 무한집합이고, 비가부번집합, 곧 비가산집합이다.
따름정리(S.T) 4.16.2)
무리수 집합도 무한집합이고, 비가부번집합, 곧 비가산집합이다.
첫 번째 따름정리의 증명) 예제 1)과 예제 2), 그리고 동치관계의 추이성을 고려하면 (0,1)∼R 이다. 따라서 R 은 비가산집합이다. ◼
두 번째 따름정리의 증명) 무리수 집합은 R−Q 으로 나타낼 수 있다. 이것이 가부번집합이라고 가정하자. Q 은 가부번집합이므로, 정리(S.T) 4.11) 에 의하여 합집합 (R−Q)∪Q=R 또한 가부번집합이다. 이는 R 이 비가산집합이므로 모순이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. ◼
[참고문헌]
You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery
- 그래서 이 정의에서 5나 1이라는 숫자가 굳이 중요한 것은 아닙니다. 그냥 임의의 두 수를 선택하면 됩니다. [본문으로]
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