축전기 (Capacitor)

전기회로의 3대장은 축전기, 코일, 저항입니다. 기전력을 공급하는 전지를 제외하고서는 연결장치로 저 세개가 가장 많이 등장하게 되지요. 축전기의 원리는 도체와 전기장에 대한 개념만 잡히면 받아들이기 쉽습니다.

---

1. 축전기

 

1) 정의

 

($F.P$) 1.1

두 개의 도체를 서로 절연시켜 만든 장치를 축전기(Capacitor)라 하며 전하, 전기에너지를 저장할 수 있는 능력을 가지고 있다. 축전기가 전하 $Q$를 가지고 있다거나 전하 $Q$가 축전기에 저장되어 있다는 말은, 높은 전압의 도체는 $+Q$, 낮은 전압의 도체는 $-Q$만큼의 전하를 가지고 있음을 뜻한다.

 

 

 

전원을 연결한 뒤 도체 두 덩어리를 일정 간격으로 떨어뜨려 놓으면, 전지에 의해 퍼텐셜 차이가 발생하므로 전지의 (+)극과 연결된 쪽의 도체에는 양전하가, 전지의 (-)극과 연결된 쪽의 도체에는 음전하가 모입니다. 축전기의 충전이 끝났다는 것은, 축전기의 양 극판의 전위차가 전지의 전위차와 똑같아지는 시점을 말합니다. 축전기의 양 극판을 각각 $a,b$라 하고 전지의 전압이 $V$라고 하면

 

$$V=V_{ab}=V_+-V_-=-\int_{-}^{+}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\int_{-}^{+}\nabla V\cdot d\mathbf{l}$$

 

 

즉 양으로 대전된 도체($a$)와 음으로 대전된 도체($b$) 사잉는 전원의 전압과 같은 크기의 전위착 $V_{ab}$ 가 존재하게 됩니다.

 

 

2) 전기용량

 

같은 퍼텐셜을 걸어주었을 때, 축전기에 따라 저장되는 전하량의 크기가 달라지게 됩니다. 아무래도 같은 전압 아래에서 더 많은 전하량을 충전할수 있을수록 능력이 좋다고 말할 수 있겠지요. 전기장과 전위의 일반적인 공식을 보면 둘은 모두 전하량이 비례함이 자명합니다.

 

$$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\left ( \int dq \right )\;\;,\;\;V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}\left ( \int dq \right )$$

 

따라서 $V$와 $Q$는 비례하는데, $Q$를 $n$배 하면 $V$도 $n$배가 되므로 정비례이며, 이 때 비례상수에 해당하는 값이 전기용량입니다.

 

($F.P$) 1.2
전위차에 대한 전하의 비를 '전기용량(Capacitance)'라 정의한다.
$$C=\frac{Q}{V}\;\;\;\;\;\left [ \mathrm{F=C/V} \right ]$$

 

전기용량은 정해진 전위차에서 얼마나 많은 양의 전하 $Q$를 저장하는지에 관한 능력으로, 도체들이 배치된 모습과 각 도체의 크기, 그리고 두 도체 사이에 놓이는 부도체의 성질에 의해서만 결정됩니다.

 

 

3) 여러가지 모양의 축전기

 

고등학교 물리에서는 [그림 1]의 우측 회로도에서 묘사된 것과 같이 두 극판이 서로 평행하게 마주본 평행판 축전기만을 다루는 편입니다. 이외에도 구형 축전기나 원통형 축전기가 많이 사용됩니다. 이들의 전기용량은 전위와 전하량, 전기장 등의 관계를 통해 모두 구할 수 있게 되며 가장 대표적인 축전기들이라 볼 수 있습니다.

 

---

 

예제 1) 평행판 축전기에서의 전기용량을 구하여라.

 

 

평행도체에서 $E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ 이고, $\sigma=\frac{Q}{A}$ 이며 일정한 전기장에 대해 거리 $d$만큼 떨어져 있을 때 전위와 전기장의 관계는 $V=Ed$ 이므로, 전기장의 세기는 $E=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0A}=\displaystyle\frac{V}{d}$ 가 됩니다. 이 때 $Q=CV$에서 평행판 축전기의 전기용량은

 

$$C=\epsilon\frac{A}{d}$$

 

---

 

예제 2) 반지름이  $r_a,r_b$ 인 두 중심이 같은 도체 공껍질의 전기용량을 구하라.

 

 

안쪽 껍질에 $+Q$가, 바깥쪽 껍질에 $-Q$가 모여있다고 해봅시다. 그 사이에 가우스 면을 잡고 가우스 법칙을 사용합니다.

 

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{q_\mathrm{enc}}{\epsilon_0}=E\cdot 4\pi r^2\;\;,\;\; E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}
\frac{q_\mathrm{enc}}{r^2} $$

 

전위를 구해보면

 

$$\begin{align*}
V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})&=-\int_{-}^{+}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
\\\\&=-\int_{r_{\mathbf{a}}}^{r_{\mathbf{b}}}\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r^2}\,dr=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\left ( \frac{1}{r_\mathbf{a}}-\frac{1}{r_\mathbf{a}} \right )
\end{align*}$$

 

따라서 전기용량은 

 

$$C=\frac{Q}{V_{ab}}=4\pi \epsilon_0\left ( \frac{r_\mathbf{a}r_\mathbf{b}}{r_\mathbf{b}-r_\mathbf{a}} \right )$$

 

---

 

예제 3) 반지름이 $r_a,r_b$ 인 중심이 같은 도체 원통의 단위 길이당 전기용량을 구하여라.

 

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=E(2\pi r)L=\frac{Q}{\epsilon_0}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf{E}=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0L}\cdot \frac{1}{r}\,\hat{r}$$

 

그러면 두 껍질 사이의 퍼텐셜 차이는,

 

$$\begin{align*}
V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})&=-\int_{-}^{+}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
\\\\&=-\int_{r_{\mathbf{a}}}^{r_{\mathbf{b}}}\frac{Q}{2\pi\epsilon_0L}\left ( \frac{1}{r} \right )dr
=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0L}\ln\left ( \frac{r_{\mathbf{b}}}{r_{\mathbf{a}}} \right )
\end{align*}$$

 

따라서 단위 길이당 전기용량은

 

$$\frac{C}{L}=\frac{Q}{V}=Q\cdot \frac{2\pi\epsilon_0L}{Q}\frac{1}{\ln\left ( \displaystyle\frac{r_{\mathbf{b}}}{r_{\mathbf{a}}} \right )}=2\pi\epsilon_0\,\frac{1}{\ln\left ( \displaystyle\frac{r_{\mathbf{b}}}{r_{\mathbf{a}}} \right )}$$

 

 

 

[참고문헌]

University Physics with Modern Physics, Pearson, Hugh D. Young, Roger A. Freedman