축전기의 직렬연결과 병렬연결 (Series connection and parallel connection of Capacitor)

저항과 마찬가지로 축전기 역시 직렬 방식과 병렬 방식으로 연결할 수 있으며 각각의 경우에 축전기의 효과 및 회로가 어떻게 달라지는지 관찰해 봅시다.

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1. 축전기의 직렬연결 (Series connection)

 

[그림 1] 축전기의 직렬연결

 

축전기를 직렬연결한다는 것은 두 축전기 사이에 나뉘는 교차로가 없음을 뜻합니다. 즉 하나의 길로 매끄럽게 연결되어 있으면 됩니다. 이렇게 축전기가 직렬연결되면 모든 판들이 지닌 전하의 절댓값이 같아지는데, 그 까닭은 이러합니다. 전지의 (+)극 쪽에 가장 가까이 닿아 있는 첫 판에 $+Q$의 전하가 대전되면, 같은 축전기의 아래 판엔 $-Q$가 대전되고, 그 판은 다시 아래로부터 음전하를 끌어온 것이기에 아래의 $C_2$ 축전기의 윗 판을 $+Q$로 대전시키며, 다시 이로 말미암아 그 아래 판은 $-Q$의 전하가 저장되게 됩니다. 이러한 원리를 무한히 적용하면 임의의 갯수의 직렬연결된 축전기에 저장되는 전하량의 크기가 항상 $Q$로 같음을 알 수 있습니다.

 

직렬연결의 경우 퍼텐셜이 나뉘어 걸리기 때문에, 각각의 축전기에 걸리는 전압을 [그림 1]과 같이 $V_1=V_{ac}\;,\;V_2=V_{cb}$ 라고 하면 

 

$$V_{ac}=V_1=\frac{Q}{C_1}\;\;,\;\;V_{cb}=V_2=\frac{Q}{C_2}\\\\

V_{ab}=V=V_1+V_2=Q\left ( \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \right )$$

 

여기서 '등가 전기용량(Equivatlent capacitance)'란 직렬이나 병렬로 여러개 연결된 축전기들의 합성 효과를 고려해 1개의 단일 축전기로 치환시켰을 때 이 축전기의 전기용량을 말합니다. 위 식에 의하면 전체 전하량과 전압을 각각의 축전기들의 전기용량으로 나타낼 수 있으므로, $Q=CV$ 로부터 등가 전기용량을 구하는 공식을 얻습니다.

 

정리($F.P$) 1.3

축전기가 직렬로 연결되었을 때, 등가 전기용량의 역수는 각각의 축전기들의 전기용량의 역수의 합과 같다.
$$\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots +\frac{1}{C_n}\;\;\Rightarrow \;\;C_{eq}<C_i$$

 

이로인해 직렬연결에서 등가 전기용량은 항상 개개의 어떤 축전기의 전기용량보다도 작아집니다.

 

참고로 역수를 취해 더한 다음 그 값을 다시 역수까지 취하는게 귀찮은 경우가 많은데, 2개의 축전기가 직렬연결되어 있는 경우 공식을 좀 더 간편하게 바꿔보면 다음과 같습니다.

 

$$C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$

 

물론 이 식이 바로바로 기억나도록 잘 외워야 의미가 있기는 합니다. 분모가 덧셈이었는지, 곱셈이었는지 고민하고 있으면 쓸모가 없죠. 저는 아더리움으로 외웁니다. 암호화폐 이더리움 아시죠? 그거 변형해서 아더(아래=분모가 덧셈)리움이라고 한 것입니다.. 뭐 외우는 방식은 개개인마다 편한 방법을 찾아봅시다.

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2. 축전기의 병렬연결 (Parallel connection)

 

[그림 2] 축전기의 병렬연결

축전기를 병렬로 연결하면 상황이 달라집니다. 두 축전기가 동등하게 전원과 연결되어 있어서 병렬연결된 모든 축전기는 각각 서로 같은 퍼텐셜이 걸립니다. 그러면 가진 전기용량에 따라 충전되는 전하량의 크기는 달라지게 되는 것이지요. 이 때 총 전하량은 $Q$로 보존된다는 사실을 이용해 식을 세웁니다.

 

$$Q=Q_1+Q_2=C_1V+C_2V=V\left ( C_1+C_2 \right )$$

 

그러므로 등가 전기용량은 다음과 같습니다.

 

정리($F.P$) 1.4

축전기가 직렬로 연결되었을 때, 등가 전기용량의 역수는 각각의 축전기들의 전기용량의 역수의 합과 같다.
$$C_{eq}=\sum_{i=1}^{n}C_i=C_1+C_2+\cdots +C_n\;\;\Rightarrow \;\; C_{eq}>C_i$$

 

병렬연결의 경우 등가 전기용량은 언제나 병렬연결된 그 어떤 축전기의 전기용량보다도 커집니다.

 

 

축전기는 저항, 코일과 함께 회로를 구성할 때 단골손님으로 등장하는데 연결방식이 복잡해질수록 직렬연결인지, 병렬연결인지 파악하기 어려울 때가 많습니다. 문제를 보며 어떻게 등가 전기용량을 구하는지 살펴봅시다.

 

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예제 1) 다음 회로에서 $C_1=10\mu\mathrm{F}\;,\;C_2=5\mu\mathrm{F}\;,\;C_3=4\mu\mathrm{F}$ 일 때 등가 전기용량을 구하여라.

 

[그림 3]

 

이 문제는 많이 어렵지 않습니다. 조금만 생각해보면 1,2가 직렬연결되어 있고 이들을 하나로 취급했을 때 3과는 병렬연결되어 있음을 파악할 수 있을 겁니다. 고로 1,2의 등가 전기용량을 먼저 구하면

 

$$\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}=\frac{3}{10}\;\;\Rightarrow\;\; C_{12}=\frac{10}{3}$$

 

역수 취하는 것을 까먹지 않도록 유의합시다. 그 다음 $C_3$ 와 단순히 더하면 합성(=등가) 전기용량을 얻습니다.

 

$$C_{eq}=C_{12}+C_3=\frac{22}{3}$$

 

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예제 2) 다음 회로에서 $C_1=10\mu\mathrm{F}\;,\;C_2=5\mu\mathrm{F}\;,\;C_3=4\mu\mathrm{F}$ 로 주어졌을 때 등가 전기용량을 구하여라.

 

[그림 4]

 

요 정도 회로만 나와도 처음에는 회로를 파악하는게 만만치 않습니다. 1과 3, 2와 3, 1과 2가 각각 어떤 연결인지 찾는 것이 꽤나 골치아플 수 있지요. 항상 축전기가 3개 이상이 등장할 때는 2개씩 묶어서 차근차근 생각해야 합니다.

 

위의 직렬연결과 병렬연결에서 말했듯이, 이들을 구분할 수 있는 가장 좋은 방법은 두 축전기 사이에 길이 하나뿐인지, 둘 이상의 갈래로 나뉘어져 있는지를 보는 겁니다. 그리고 가급적이면 전원에서 먼 곳의 축전기부터 합성하여 처리하는 것이 좋습니다. 현재 전원에서 축전기 3이 가장 가까우므로 1,2를 먼저 묶으면 좋다는 겁니다.

 

축전기 1에서 2로 길을 따라 이동하려면, 반드시 삼거리를 마주하게 됩니다. 세 방향이란 내가 왔던 방향, 그리고 나머지 두 갈래길이 있다는 것이죠. 따라서 1과 2는 병렬연결입니다. 직렬연결이려면 [그림 1]처럼 하나의 길만 존재해야 하니까요. 보다 알아보기 간편한 형태로 만들자면, 아래 [그림 5] 의 왼쪽처럼 축전기 2의 위치를 우측으로 약간 밀어도 됩니다. 

 

[그림 5]

 

그러면 이제 1과 2는 병렬연결인 것이 한눈에 보일 것이고, 합성해주면 $C_{12}=C_1+C_2=15$ 이지요. 그 다음으로는 [그림 5]의 우측처럼 $C_{12}$ 와 $C_3$ 이 직렬연결되어 있다는 것을 알아차려야 합니다. 따라서 역수로 더해줍니다. (이번엔 아더리움으로 바로 가 봅시다.)

 

$$C_{eq}=\frac{C_3C_{12}}{C_3+C{12}}=\frac{15\times 4}{15+4}=\frac{60}{19}=3.16\mu\mathrm{F}$$

 

 

 

[참고문헌]

Hugh D. Young, Roger A. Freedman, Lewis Ford - University Physics with Modern Physics, 12th Edition  -Addison Wesley (2007)

Halliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl - Fundamental of Physics, 10th, WILEY