평행판 축전기의 여러가지 특징

가장 대표적으로 문제에 등장하는 축전기는 평행판 축전기인데, 평행판 축전기의 공식은 간단하여 고등학교 물리에서부터 자주 등장하며 일반물리학 연습문제에도 많습니다. 평행판 축전기의 특징들을 자세히 분석해서 나올 수 있는 여러 유형을 살펴봅시다.

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1. 평행판 축전기

 

평행판 축전기의 전기용량 공식은 다음과 같습니다.

 

$$C=\varepsilon_0 \frac{A}{d}$$

 

$A$는 극판의 면적, $d$는 두 극판 사이의 거리입니다.

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2. 전기용량의 변화

 

1) 유전체 삽입의 효과

 

전기용량을 늘리는 가장 인기있는 방법은 두 도체 극판 사이에 유전체(Directrics)를 삽입하는 것입니다. 

 

 

[그림 1] 유전체를 넣었을 때 약화된 전기장

 

원리는 위 [그림 1]의 (a)에서처럼 어떤 외부 전기장이 축전기에 가해져 있는 상황을 먼저 고려합시다. 이로 인해 축전기에는 전하량 $Q$만큼의 전하가 충전되었다고 하고, 기존 전기장의 세기는 $\mathbf{E}_0$ 라 해보죠. 여기서 가운데에 유전체를 넣으면 유도전하가 만들어지게 됩니다. 이 유도전하는 당연히 기존 전기장과는 반대 방향으로 전기장을 만들고 그것을 $\mathbf{E}$ 라 한다면, 알짜 전기장은 $\mathbf{E}_{\mathrm{net}}=\mathbf{E}_0-\mathbf{E}$ 가 됩니다. 그렇다면 충전된 전하량은 그대로인데 전기장의 세기가 감소하였으므로 $V=Ed$ 에서 $V$ 또한 줄어든 것이라, $Q=CV$ 로부터 전기용량 $C$는 증가하게 됨을 알 수 있습니다. 이 비율을 '유전상수(directric constant)'라고 합니다.

 

$$\kappa =\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$$

 

이 유전상수는 '카파(kappa)'라 읽는 그리스 문자 $\kappa$ 를 사용하거나 엡실론에 첨자를 달아 $\varepsilon_r$ 로 나타냅니다. 그러면 평행판 축전기 공식에서 앞에 붙어있던 진공의 유전율 대신 이제 삽입한 유전체의 유전율이 들어가게 되므로, 변화된 평행판 축전기 공식은 다음과 같습니다.

 

정리($F.P$) 1.6

유전율이 $\varepsilon$ 인 유전체를 평행판 축전기에 삽입하면, 축전기의 전기용량은 다음과 같이 변한다.
$$C\,'=\kappa \,\varepsilon_0\frac{A}{d}=\varepsilon\frac{A}{d}$$

 

 

 

2) 직렬로 삽입

 

축전기 안에 유전체를 넣는 방법도 직렬로 넣는 것인지, 병렬로 넣는 것인지 고민해 볼 수 있습니다.

 

 

[그림 2] (좌측)과 [그림 3] (우측)

 

[그림 2]와 같이 유전체가 판 사이에 평행판과 나란하게 삽입된 경우, 두 유전체는 직렬로 연결되어 있다고 볼 수 있습니다. 평행판 축전기의 변화된 공식인 위 정리($F.P$) 1.6 을 참조해서 공식을 이끌어 내 봅시다.

 

$$C_1=\varepsilon_1\frac{A}{d/2}=2\kappa_1C\;\;,\;\;C_2=\varepsilon_2\frac{A}{d/2}=2\kappa_2C\\\\
\therefore \;\; C\,'=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{2\kappa_1\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\,C$$

 

 

3) 병렬로 삽입

 

반면 [그림 3]처럼 평행판과 수직된 방향으로 유전체를 넣어주게 되면 평행판의 절반은 유전체 1, 나머지 절반은 유전체 2 이렇게 이어진 것으로 두 유전체가 병렬연결된 것이라 할 수 있습니다. 보다 정확하게 말하자면 진공이었을 때는 축전기가 하나였지만 저렇게 반반씩 유전체를 넣어주게 되면 축전기가 사실상 절반으로 쪼개진 것과 다름이 없습니다. 그러면 병렬연결 시 전기용량의 합성식을 사용해 변화된 축전기의 전기용량을 구해야 합니다.

 

[그림 4]

 

$$\varepsilon_1=\kappa_1\varepsilon_0\;\;,\;\;\varepsilon_2=\kappa_2\varepsilon_0 \;\;\rightarrow\;\;
C_1=\varepsilon_1\frac{A/2}{d}=\frac{1}{2}\kappa_1C\;\;,\;\;C_2=\varepsilon_2\frac{A/2}{d}=\frac{1}{2}\kappa_2C\\\\
\therefore \;\; C\,'=C_1+C_2=\frac{1}{2}C\left ( \kappa_1+\kappa_2 \right )$$

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3. 스위치 문제

 

유전체를 넣는 방법을 포함하여 극판의 면적이나 극판 사이 거리 등을 조절하면 평행판 축전기의 전기용량을 변화할 수 있습니다. 그런데, 이와 같은 작업은 축전기를 전지에 연결해 둔 상태에서 시행하는데 아니면 축전기를 전지에서 떼어낸 뒤 시행하는지에 따라 큰 차이가 발생합니다. 실제 물리학2 기출문제들이라던지 일반물리학 연습문제들을 보시면 '스위치'를 닫았는지, 열었는지를 주고 축전기에 저장되어 있는 에너지의 크기, 전하량, 그리고 퍼텐셜이 어떻게 달라지는지 많이 물어보는 문제들이 포진해 있음을 알 수 있습니다. 이에 관한 내용을 한번에 정리해 봅시다.

 

 

1) 평행판 축전기의 극판 사이 거리를 $d$에서 $d'$으로 증가시키는 경우

 

아래와 같이 Case 분류를 합니다. 여기서 스위치를 열었다는 것은 충전을 다 마치고 나서 열었다는 것입니다. 그러면 전지와 연결이 끊겼으니, 전기용량이 바뀔 시 전압은 바뀌게 되지만 저장되어 있는 전하량은 보존되어야 하므로 전하량은 똑같습니다. 반면 스위치를 닫고 작업을 진행하면 계속해서 전지와 연결되어 있으니 전지의 전압이 유지되는 겁니다.

 

① 스위치를 연 상태에서 극판 사이 거리를 증가시킬 때 (전하량 $Q$ 일정)

전기용량 : $C=\varepsilon_0\displaystyle\frac{A}{d'}$ 으로 감소
전위차 : $Q=CV$ 일정에서 $C$가 감소하고 $Q$가 일정하니 전위차는 증가
전기장 : $E=Q/\varepsilon_0 A$ 에서 일정
축전기에 저장된 에너지 : $U=\displaystyle\frac{1}{2}QV$ 는 증가

 

② 스위치를 닫은 상태에서 극판 사이 거리를 증가시킬 때 (전압 $V$가 일정)
전기용량 : $C=\varepsilon_0\displaystyle\frac{A}{d'}$ 으로 감소
전하량 : $Q=CV$ 에서 $V$ 일정 $C$ 감소하니 전하량도 감소
전기장 : $E'=\displaystyle\frac{V}{d'}$ 에서 감소
축전기에 저장된 에너지 : $U=\displaystyle\frac{1}{2}QV$ 는 감소

 

 

2) 유전체를 삽입하는 경우

 

유전체를 넣었을 때 축전기의 전기용량이 어떻게 바뀌었는지는 위에서 다루었지만, 여기서는 스위치까지 함께 고려해 보도록 합시다. 전반적인 접근법은 1)에서와 동일합니다.

 

① 충전 후 스위치를 열어놓은 상태에서 유전체를 삽입 (전하량 $Q$가 일정)
전기용량 : $\varepsilon_0 \;\;\rightarrow \;\;\kappa\varepsilon_0=\varepsilon$ 으로 증가
전위차 : $Q=CV$ 에서 $C$는 증가, $Q$가 일정하니 $V$는 감소
전기장 : $E=\frac{V}{d}$ 에서 $d$는 일정한데 전위차가 감소하였으니 전기장도 감소
축전기에 저장된 에너지 : $U=\frac{1}{2}QV$ 에서 $V$가 감소하니 에너지도 감소

 

② 스위치를 계속 닫아놓은 채로 유전체를 삽입 (전압 $V$가 일정)
전기용량 : $\varepsilon_0 \;\;\rightarrow \;\;\kappa\varepsilon_0=\varepsilon$ 으로 증가
전하량 : $Q=CV$ 에서 전하량도 증가
전기장 : $V=Ed$ 에서 일정하다
축전기에 저장된 에너지 : $U=\frac{1}{2}QV$ 에서 $V$ 일정, $Q$ 증가하므로 에너지도 증가한다.

 

 

 

[참고문헌]

Halliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl - Fundamental of Physics, 10th, WILEY